中考数学压轴题精选汇编二次函数.docx

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中考数学压轴题精选汇编二次函数

二次函数

1.设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数).

(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个函数的图象;

(2)根据所画图象,猜想出:

对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明;

(3)对任意负实数k,当x<m时,y随着x的增大而增大,试求出m的一个值.

2.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A的坐标;

(2)当∠ABC=45°时,求m的值;

(3)已知一次函数y=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动点.在

(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象于N.若只有当-2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式.

 

3.已知平面直角坐标系xOy,一次函数y=

x+3的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数y=

x的图象上,且MO=MA,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)若点B在y轴上,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数y=

x+3的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.

 

4.已知二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=-bx,其中实数a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0.

(1)求证:

这两个函数的图象交于不同的两点;

(2)设这两个函数的图象交于A、B两点,作AA1⊥x轴于A1,BB1⊥x轴于B1,求线段A1B1长的取值范围.

5.已知二次函数y=ax2-4bx+4c(a>0)有两个实数根x1,x2,且2≤x1<x2≤3.

(1)求证:

存在以a,b,c为边长的三角形;

(2)求证:

6.已知二次函数y=x2+bx+c(c<0)的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)证明:

⊙P与y轴的另一个交点为定点;

(2)如果AB恰好为⊙P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.

7.已知关于x的二次函数y1=(m+2)x2-2x-1和y2=(m+2)x2+mx+m+1的图象都经过x轴上的点(n,0).

(1)求m的值;

(2)将二次函数y1=(m+2)x2-2x-1的图象先沿x轴翻折,再向下平移3个单位,得到一个新的二次函数y3的图象.

①求y3的解析式;

②在所给的坐标系中画出y2和y3的大致图象,并结合函数的图象回答:

当x取何值时,y3>y2?

 

8.已知关于x的方程:

-a-1=0有一个增根为b,另一根为c.

(1)求a、c的值;

(2)若二次函数y=ax2+bx+c+7(-

≤x≤

)图象与x轴交于E、F两点,在此二次函数的图象上求一点P,使△PEF的面积最大,求点P的坐标.

9.已知:

二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P(-2,5).

(1)求b的值,并写出当1<x≤3时y的取值范围;

(2)设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图象上.

①当m=4时,y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长?

请说明理由;

②当m取不小于5的任意实数时,y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.

10.已知A(1,0),B(0,-1),C(-1,2),D(2,-1),E(4,2)五个点,抛物线y=a(x-1)2+k(a>0)经过其中的三个点.

(1)求证:

C,E两点不可能同时在抛物线y=a(x-1)2+k(a>0);

(2)点A在抛物线y=a(x-1)2+k(a>0)上吗?

为什么?

(3)求a与k的值.

11.已知二次函数y=x2-(2m-1)x+4m-6.

(1)试说明不论m取任何实数,函数图象都经过x轴上的一个定点A;

(2)设函数图象与x轴的另一个交点为B(A与B不重合),顶点为C,当△ABC为直角三角形时,求m的值;

(3)在

(2)的条件下,若点B在点A的右侧,点D的坐标为(0,3),点E是函数图象上一点.问:

在x轴上是否存在点F,使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形?

若存在,求出F点坐标;若不存在,请说明理由.

 

12.已知二次函数y=x2+bx+c,其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表:

x

-1

0

1

2

3

y

0

-5

-8

-9

-8

(1)求该二次函数的关系式,并在给定的坐标系中画出函数的图象;

(2)若A(m,y1),B(m+4,y2)两点都在该函数的图象上.

①试比较y1与y2的大小;

②若A、B两点位于x轴的下方,点P为函数图象的对称轴与x轴的交点,点Q为函数图象上的一点,解答下列问题:

(Ⅰ)求实数m的取值范围;

(Ⅱ)是否存在实数m,使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形?

若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

 

13.已知二次函数y=x2-(2a+1)x+2a.

(1)若函数图象与x轴有两个不同交点,且分别位于点(2,0)的两侧,求实数a的取值范围;

(2)若函数图象不经过第三象限,且当x>2时,函数值y随x的增大而增大,求实数a的取值范围.

14.已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有实数根,且c为正整数.

(1)求c的值;

(2)若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.点P为对称轴上一点,且四边形OBPC为直角梯形,求PC的长;

(3)将

(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点D的坐标为(m,n),当抛物线与直角梯形OBPC只有两个交点,且一个交点在PC边上时,直接写出m的取值范围.

15.已知一次函数y1=2x,二次函数y2=mx2-3(m-1)x+2m-1的图象关于y轴对称,y2的顶点为A.

(1)求二次函数y2的解析式;

(2)将y2左右平移得到y3,y3交y2于点P,过P点作直线l∥x轴交y3于点Q,若△PAQ为等腰三角形,求P点坐标和函数y3的解析式;

(3)是否存在二次函数y4=ax2+bx+c,其图象经过点(-5,2),且对于任意一个实数x,y1≤y4≤y2均成立,若存在,求出函数y4的解析式;若不存在,请说明理由.

16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标为(1,0).

(1)求c的值;

(2)求a的取值范围;

(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:

S1-S2为常数,并求出该常数.

17.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(2,4).

(1)试用含a的代数式分别表示b,c;

(2)若一次函数y=kx+4(k≠0)图象与y轴及二次函数y=ax2+bx+c图象的交点依次为D、E、F,且

,其中O为坐标原点,试用含a的代数式表示k;

(3)在

(2)的条件下,若线段EF的长m满足3

≤m≤3

,试确定a的取值范围.

18.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(A在B的左侧),且x1+x2=4.

(1)求b的值及c的取值范围;

(2)若AB=2,求二次函数的表达式;

(3)设该二次函数的图象与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点E.问是否存在这样的二次函数,使△AOC≌△BED?

若存在,求二次函数的表达式;若不存在,请说明理由.

19.已知二次函数y=x2+mx-

m2(m>0)的图象与x轴交于A、B两点.

(1)求证:

该函数图象的对称轴在y轴的左侧;

(2)若

(O为坐标原点),求二次函数的表达式;

(3)设函数图象与y轴交于点C,若△ABC是直角三角形.求△ABC的面积.

20.已知二次函数y=-

x2+

x的图象如图所示.

(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标;

(2)将该函数图象沿它的对称轴向上平移,设平移后的图象与x轴,y轴的交点分别为A、B、C三点,若∠ACB=90°,求此时函数的解析式;

(3)设

(2)中平移后的函数图象的顶点为M,以D为圆心,AB为直径作⊙D,试判断直线CM与⊙D的位置关系,并说明理由.

 

21.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.

(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;

(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围;

(3)若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为2

,求m的值.

22.已知二次函数y=3ax2+2bx+c.

(1)若a=b=1,c=-1,求函数图象与x轴交点的坐标;

(2)若a=b=1,且当-1<x<1时,函数图象与x轴有且只有一个交点,求c的取值范围;

(3)若a+b+c=0,且当x=0和x=1时,对应的函数值y均大于0.试判断当0<x<1时,函数图象与x轴是否有交点?

请说明理由.

23.在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)作一直线与二次函数y=ax2(a>0)图象交于A、B两点,且使∠AOB=90°.

(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值,并说明理由;

(2)求a的值;

(3)当△AOB的面积为4

时,求直线AB的解析式.

24.已知二次函数y=x2+4x+m(m为常数)的图象经过点(0,4),将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象,已知平移后的函数图象满足下述两个条件:

它的对称轴(设为直线l2)与平移前的函数图象的对称轴(设为直线l1)关于y轴对称;它所对应的函数的最小值为-8.

(1)求平移后的二次函数的表达式;

(2)试问在平移后的函数图象上是否存在点P,使得以3为半径的⊙P既与x轴相切,又与直线l2相交?

若存在,请求出点P的坐标,并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度;若不存在,请说明理由.

25.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,则1就是函数y=x-1的零点.

己知函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).

(1)当m=0时,求该函数的零点;

(2)证明:

无论m取何值,该函数总有两个零点;

(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且

=-

,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.

26.已知二次函数y=x2-2mx+m2-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且与y轴交于点D.

(1)当点D在y轴正半轴时,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?

若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;

(2)当m=-1时,将函数y=x2-2mx+m2-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.当直线y=

x+b与这个新的图象有两个公共点时,求实数b的取值范围.

 

27.已知二次函数y=x2-2mx+4m-8.

(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围;

(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M,N两点在拋物线上),请问:

△AMN的面积是与m无关的定值吗?

若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;

(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值.

 

28.已知二次函数y=ax2+bx+c图象与一次函数y=mx+n图象相交于(0,-

)和(m-b,m2-mb+n)两点(a,b,c,m,n均为实数,且a,m不为0).

(1)求c的值;

(2)设二次函数图象与x轴的两个交点是(x1,0)和(x2,0),求x1x2的值;

(3)当-1≤x≤1时,设二次函数图象上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求此时|y0|的最小值.

 

29.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(0,

),且ac=

(1)若该函数的图象过点(-1,-1).

①求使y<0成立的x的取值范围;

②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切,求圆心的坐标.

(2)过点A(0,p)的直线与该函数的图象相交于M,N两点,过M,N作x轴的垂线,垂足分别为M1,N1.设△MAM1,△A

M1N1,△ANN1的面积分别为S1,S2,S3,是否存在m,使得对任意实数p≠0都有S22=mS1S3成立,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

30.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(3,0),第一象限内的点P在直线y=2x上,且∠PAO=45°.

(1)求点P的坐标;

(2)若二次函数的图象经过P、O、A三点,求该二次函数的解析式;

(3)设

(2)中的二次函数图象的顶点为M,将该二次函数图象向上或向下平移,使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处,求△APM与△APQ的面积之比.

 

31.已知二次函数y=-

x2-2

(-a-1)x-

(-a2-2a)的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2.

(1)求A、B两点的坐标(用a表示);

(2)设二次函数图象的顶点为C,求△ABC的面积;

(3)若a是整数,P是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),在x轴上方作等边△APM和等边△BPN,记线段MN的中点为Q,求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范围.

32.已知二次函数y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1(a是正整数).

(1)求该函数图象与x轴相交所截得的线段的长;

(2)当a依次取1,2,3,…,n时,该函数图象与x轴相交所截得的n条线段的长分别为L1,L2,L3,…,Ln,求L1+L2+L3+…+Ln的值.

33.已知a>b>c,且2a+3b+4c=0.

(1)求证:

a+b+c>0;

(2)若抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段长为

,求该抛物线的对称轴.

34.已知关于x的方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,且抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两侧.

(1)求实数a的取值范围;

(2)当|x1|+|x2|=2

时,求a的值.

35.已知二次函数y1=ax2-x+c的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<0,x2>0),与y轴的交点C在y轴的负半轴上,且tan∠ACO=

,S△ABC=3.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)若该二次函数的图象与反比例函数y2=

(k<0)的图象在第二象限内的交点的横坐标x0满足-3<x0<-2,求k的取值范围.

36.已知方程ax2+bx+1=x(a>0)的两个实数根为x1,x2.

(1)若x1<2<x2<4,二次函数y=ax2+bx+1图象的对称轴为x=x0,求证:

x0>-1;

(2)若|x1|<2,|x2-x1|=2,求b的取值范围.

37.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0),且方程ax2+bx+c=x的两个根x1,x2满足0<x1<x2<

(1)求证:

当0<x<x1时,x<ax2+bx+c<x1;

(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=x0对称,求证:

x0<

38.已知关于x的二次方程x2+ax+b=0有两个实数根x1,x2.

(1)若|x1|<2,|x2|<2,求证:

2|a|<4+b且|b|<4;

(2)若2|a|<4+b且|b|<4,求证:

|x1|<2,|x2|<2.

39.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且|AB|=2

,图象的对称轴为x=1.

(1)求二次函数的表达式;

(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方,求m的取值范围.

40.已知二次函数y=ax2-4ax+b(b<0)的图象开口向上,与x轴的两个交点分别为A、B,且

(O为坐标原点),与y轴的交点为C(0,t),顶点的纵坐标为k,且|k-

|≤

(1)求A、B两点的坐标;

(2)求t的取值范围;

(3)当t取最小值时,求该二次函数的表达式.

41.已知a,b为常数,当k取任意实数时,函数y=(k2+k+1)x2-2(a+k)2x+(k2+3ak+b)的图象与x轴都交于点A(1,0).

(1)求a、b的值;

(2)若函数图象与x轴的另一个交点为B,当k变化时,求|AB|的取值范围.

42.已知二次函数y=-x2+mx-m+2.

(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=

,求m的值;

(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N,且S△MNC=27,求m的值.

43.已知两个二次函数y1,y2,当x=m(m>0)时,y1取最小值6且y2=5,又y2最小值为

,y1+y2=2x2-3x+9.

(1)求m的值;

(2)求二次函数y1、y2的表达式.

44.已知ab≠0,且函数y1=x2+2ax+4b与y2=x2+4ax+2b有相同的最小值m,函数y3=-x2+2bx+4a与y4=-x2+4bx+2a有相同的最大值n,求证:

m+n=0.

45.对于x的二次三项式ax2+bx+c(a>0).

(1)当c<0时,求函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值;

(2)若不论k为任何实数,直线y=k(x-1)-

与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,求a、b、c的值.

46.已知二次函数y=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,且当x=0和x=1时,函数值y均大于0.

(1)求证:

a>0且-2<

<-1;

(2)求证:

方程3ax2+2bx+c=0有两个实数根且都大于0小于1.

47.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,3),顶点在直线y=-x+1上且在第四象限,顶点与原点的距离为

(1)求该二次函数的表达式;

(2)设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),顶点为C,直线y=-x+1交y轴于点D.在y轴上是否存在点P,使得以P、O、C为顶点的三角形与△BCD相似?

若存在,求出P点的坐标.若不存在,请说明理由.

 

48.已知y=ax2+x-a(-1≤x≤1).

(1)若|a|≤1,求证:

|y|≤

(2)若y的最大值为

,求a的值.

49.已知抛物线y=x2+mx+n上有一点P(x0,y0)位于x轴下方.

(1)求证:

此抛物线与x轴交于两点;

(2)设此抛物线与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,求证:

x1<x0<x2;

(3)当点P坐标为(1,-2011)时,求整数x1,x2的值.

50.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,且cotB=AB·cosA.

(1)求证:

a=b2;

(2)若b=2,抛物线y=m(x-b)2+a与直线y=x+4交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点,且△MON的面积为6,求m的值;

(3)若a=

b2n2,p-q=3,抛物线y=n(x2+px+3q)与x轴交于不同的两点,其中一个交点在原点右侧,试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴,说明理由.

51.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,0)、B(0,-l)两点,它的顶点在第一象限,它的一部分图象如图所示.

(1)试确定b的符号;

(2)当b变化时,求a+b+c的取值范围;

(3)是否存在实数a,使得∠ABC=120°?

若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.

 

52.如图,Rt△ABC的斜边AB在x轴上(点A在点B的左侧),直角顶点C在x轴的上方,且A(tanA,0)、B(tanB,0),二次函数y=-x2-

mx+(2+2m-m2)(x为自变量)的图象经过A、B两点.

(1)求该二次函数的表达式;

(2)判断直角顶点C是否在该二次函数的图象上,请说明理由.

53.已知抛物线F1:

y=ax2-2amx+am2+2m+1(a>0,m>0)的顶点为A,抛物线F2的顶点B在y轴上,且抛物线F1和F2关于点M(1,3)成中心对称.

(1)求m的值和抛物线F2的解析式;

(2)设抛物线F2与x轴正半轴的交点为C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值.

 

54.已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1).

(1)求证:

无论m为任何实数,函数图象与x轴总有交点;

(2)设函数图象与y轴交于点C,当函数图象与x轴有两个交点A、B(点A在点B的左侧),且△ABC为钝角三角形时,求m的取值范围;

(3)在

(2)的条件下,P是函数图象的顶点,当△PAO的面积与△ABC的面积相等时,求二次函数的解析式.

55.已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2=0有两个整数根,k<5且k为整数.

(1)求k的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=x2-2(k+1)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;

(3)根据直线y=x+b与

(2)中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值范围.

56.如图,二次函数y=ax2+bx(a>0)与反比例函数y=

的图象相交于A,B两点,且点A的坐标为(1,4),点B在第三象限,△AOB的面积为3.

(1)求二次函数的表达式;

(2)过点A作x轴的平行线,交二次函数y=ax2+bx的图象于另一点C,连接CO,在坐标平面内求点P,使△POC∽△AOB(点P与点A对应).

 

57.已知直线y=

x和y=-x+m,二次函数y=x2+bx+c图象的顶点为M.

(1)若M恰好是直线y=

x与y=-x+m的交点,试证明:

无论m取何实数值,二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点;

(2)在

(1)的条件下,若直线y=-x+m过点D(0,-3),求二次函数y=x2+bx+c的表达式;

(3)在

(2)的条件下,若二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的交点为C,与x轴的左交点为A.

①在直线y=

x上求异于M的点P,使点P在△ACM的外接圆上;

②在二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC为等腰三角形?

若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

58.已知二次函数y=x2+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2.

(1)若x1x2<0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;

(2)若x1<1,x2>1,求m的取值范围;

(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;

(4)若过点D(0,

)的直线与

(1)中的二次函数图象相交于M、N两点,且

,求该直线的表达式.

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