新教材15 全称量词与存在量词 教学设计.docx

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新教材15全称量词与存在量词教学设计

第一章　集合与常用逻辑用语

1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

教材分析：

本课是高中数学第一章第5节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解。

否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。

以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。

教学目标与核心素养：

课程目标

学科素养

A.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．

B.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．

C.会写全称量词命题和存在量词命题的否定。

D.使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．

1.数学抽象：

全称量词与存在量词的含义；

2.逻辑推理：

全称量词命题和存在量词命题的真假；

3..直观想象：

全称量词命题和存在量词命题的否定。

教学重难点：

1.教学重点：

判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；

2.教学难点：

判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

课前准备：

多媒体

教学过程：

教学过程

落实核心素养目标

1、情景引入，温故知新

情景1：

德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：

“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：

每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：

凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．

情景2：

我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件：

（1）所有学生都来自高二年级；

（2）至少有30名学生来自高二.一班；

（3）每一个学生都有固定表演路线.

结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”，“每一个”等短语，在逻辑上称为量词.

二、探索新知

探究一全称量词命题的含义

1.思考:

下列语句是命题吗?

（1）与（3）,

（2）与（4）之间有什么关系?

（1）x>3

（2）2x+1是整数

（3）对所有的x

R,x>3

（4）对任意一个x

Z,2x+1是整数

【答案】

（1）不是

（2）不是（3）是（4）是

关系：

（3）在

（1）的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定;（4）在

（2）的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.

2、归纳新知

（1）全称量词及表示:

定义：

短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。

表示：

用符号“

”表示。

（2）全称量词命题及表示:

定义：

含有全称量词的命题，叫全称量词命题。

表示：

全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p（x）成立”表示为:

。

读作:

“对任意x属于Ｍ，有p（x）成立”。

例如:

命题

（1）对任意的n

Z,2n+1是奇数;

（2）所有的正方形都是矩形。

都是存在量词命题。

3.练习：

用量词“

”表达下列命题:

（1）实数都能写成小数形式;

（2）凸多边形的外角和等于2

；

（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。

【解析】

（1）

x能写成小数形式;

（2）

x

{x|x是凸n边形},x的外角和等于

;

（3）

x·（-1）=-x.

例1.判断下列全称量词命题的真假

（1）所有的素数都是奇数;

（2）

|x|+1≥1

（3）对每一个无理数x,x2也是无理数

【解析】

（1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题

（1）是假命题;

（2）∵

|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题

（2）是真命题;

（3）∵

是无理数,但

是有理数，,∴全称命题（3）是假命题;

4、思考：

如何判断全称量词命题的真假？

【解析】若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P（x）成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得P（x）不成立即可。

探究二存在量词命题的含义

1.思考：

下列语句是命题吗?

（1）与（3）,

（2）与（4）之间有什么关系?

（1）2x+1=3

（2）x能被2和3整除;

（3）存在一个x∈R,使2x+1=3;

（4）至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

【解析】

（1）不是

（2）不是（3）是（4）是

关系：

（3）在

（1）的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使（3）变成了可以判断真假的语句;（4）在

（2）的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使（4）变成了可以判断真假的语句.

2.存在量词命题的定义

（1）存在量词及表示:

定义：

短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。

表示：

用符号“∃”表示。

（2）存在量词命题及表示：

定义：

含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

表示：

存在量词命题“存在M中的一个x,使p（x）成立”可用符号简记为∃x∈M,p（x）.

读作:

“存在一个x属于M,使p（x）成立”.

3.练习：

下列命题是不是存在量词命题？

（1）有的平行四边形是菱形;

（2）有一个素数不是奇数

【答案】都是存在量词命题。

4.练习：

设q（x）:

x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q（x）”

【解析】存在实数x,使x2=x成立；

至少有一个x∈R,使x2=x成立；

对有些实数x,使x2=x成立；

有一个x∈R,使x2=x成立；

对某个x∈R,使x2=x成立。

例2下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。

（1）有一个实数a，a不能取倒数；

（2）所有不等式的解集A,都是A⊆R；

（3）有的四边形不是平行四边形。

【解析】

（1）存在量词命题

（2）全称量词命题（3）存在量词命题

例3判断下列存在量词命题的真假

（1）有一个实数x,使x2+2x+3=0;

（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;

（3）有些平行四边形是菱形.

【解析】

（1）由于

，,

因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题

（1）是假命题.

（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题

（2）是假命题。

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。

5.思考：

如何判断存在量词命题的真假

【答案】要判断存在量词命题“∃x∈M,p（x）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可.如果在集合M中,使p（x）成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.

探究三全称量词命题和存在量词命题的否定

1.定义：

一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

牛刀小试：

说出下列命题的否定。

（1）56是7的倍数；

（2）空集是集合A={1,2,3}的真子集；

【解析】

（1）否定：

56不是7的倍数；

（2）否定：

空集不是集合A={1,2,3}的真子集。

2.思考：

（2）每一个素数都是奇数；

。

【解析】

（2）存在一个素数表示奇数；

。

从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。

【结论】含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：

全称量词命题的否定是存在量词命题。

（2）p:

每一个四边形的四个顶点在同一个圆上

【解析】

（1）否定：

存在一个能被3整除的整数不是奇数.

（2）否定：

存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；

（3）否定：

的个位数字等于3.

3.思考：

（2）某些平行四边形是菱形；

。

【答案】否定:

（1）所有实数的绝对值都不是正数;

（2）每一个平行四边形都不是菱形;

（3）

从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

【结论】存在量词命题的否定是全称量词命题。

（3）有一个偶数是素数.

【解析】

（2）该命题的否定：

所有三角形都不是等边三角形

（3）该命题的否定：

任意一个偶数都不是素数

例6写出下列命题的否定，并判断真假；

（1）任意两个等边三角形都相似；

【解析】

（1）该命题的否定：

存在两个对边三角形，它们不相似。

因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都

相似。

因此这是一个假命题。

（2）该命题的否定：

.

所以这是一个假命题。

通过实例，让学生感知、了解全称量词、存在量词。

让学生了解量词对实际生活和数学的作用，提高学生用数学的思维方式思考并解决问题的能力。

通过思考，理解全称量词、全称量词命题的含义，教会学生解决和研究问题。

通过练习进一步巩固全称量词的含义，提高学生解决问题的能力。

通过例题进一步巩固全称量词命题的含义，学会判断全称量词命题的真假，提高学生解决问题的能力。

通过思考，总结方法，提高学生分析问题、总结问题的能力。

通过思考，理解存在量词、存在量词命题的含义，教会学生解决和研究问题。

通过练习进一步巩固存在量词命题的含义，提高学生解决问题的能力。

通过例题，使学生学会区别全称量词命题及存在量词命题，提高学生的抽象概括能力。

通过例题进一步巩固存在量词命题的含义，学会判断存在量词命题的真假，提高学生解决问题的能力。

通过思考，总结判断命题真假的方法，提高学生分析问题、总结问题的能力。

介绍新定义，为进一步讲解全称量词命题和存在量词命题的否定打基础。

通过思考，总结写全称量词命题否定的方法，提高学生分析、解决问题的能力。

去体验知识方法。

发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。

通过例题进一步理解怎么写全称量词命题的否定。

通过思考，总结写存在量词命题的否定的方法，提高学生分析、解决问题的能力。

去体验知识方法。

发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。

通过例题进一步巩固怎么写全称量词命题的否定，提高学生解决问题的能力。

三、达标检测

1．下列说法中，正确的个数是（　　）

①存在一个实数x0，使－2x

＋x0－4＝0；

②所有的素数都是奇数；

③至少存在一个正整数，能被5和7整除．

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

【解析】　①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B.

【答案】　B

2．设命题p：

∃n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为（　　）

A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n

【解析】　因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，¬p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.

【答案】　C

3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．

（1）有一个奇数不能被3整除；

（2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

（3）有些三角形的三个内角都为60°；

（4）每个三角形至少有两个锐角；

（5）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

【解】　

（1）是存在量词命题，否定为：

每一个奇数都能被3整除．

（2）是全称量词命题，否定为：

∃x0∈Z，x

与3的和等于0.

（3）是存在量词命题，否定为：

任意一个三角形的三个内角不都为60°.

（4）是全称量词命题，否定为：

存在一个三角形至多有一个锐角．

（5）是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：

存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．

通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1、

（1）全称量词、全称量词命题；

（2）存在量词、存在量词命题。

2、全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题。

五、作业

习题1.53，4题

通过总结，让学生进一步巩固全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念，命题的否定，提高语言转换和抽象概括能力。

教学反思：

本节课是在初中所讲命题的基础上讲解，学生对命题的了解较少。

学生对命题的否定的学习有较大的困难，学生会简单地认为，命题的否定就是否定结论。

应给学生强调全称量词命题、存在量词命题的否定，要先变量词，然后结论否定。