最新人教A版必修一高中数学单元测试第三章函数的应用B卷 及答案.docx

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最新人教A版必修一高中数学单元测试第三章函数的应用B卷及答案

第三章 函数的应用

单元测试

(时间:

120分钟 满分:

150分)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数f(x)=2x+m的零点落在(-1,0)内,则m的取值范围为(  )

A.(-2,0)    B.(0,2)    C.-2,0]    D.0,2]

2.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间(  )

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)D.不确定

3.下列函数中,不能用二分法求零点的是(  )

A.y=3x+1B.y=x2-1

C.y=log2(x-1)D.y=(x-1)2

4.方程x3-x-3=0的实数解所在的区间是(  )

A.-1,0]B.0,1]C.1,2]D.2,3]

5.为了求函数f(x)=2x+3x-7的零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示:

x

1.25

1.3125

1.375

1.4375

1.5

1.5625

f(x)

-0.8716

-0.5788

-0.2813

0.2101

0.32843

0.64115

则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为(  )

A.1.5B.1.4C.1.3D.1.2

6.若函数y=

|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是(  )

A.m≤-1B.-1≤m<0C.m≥1D.0

7.设x0是函数f(x)=lnx+x-4的零点,则x0所在的区间为(  )

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

8.如果二次函数y=x2+mx+m+3不存在零点,则m的取值范围是(  )

A.(-∞,-2)∪(6,+∞)B.{-2,6}

C.-2,6]D.(-2,6)

9.由表格中的数据可以判定方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为(  )

x

-1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.39

20.09

x+2

1

2

3

4

5

A.-1B.0C.1D.2

10.已知x0是函数f(x)=2x+

的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(  )

A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0

11.已知函数f(x)=|log3(x-1)|-

x-1有2个不同的零点x1,x2,则(  )

A.x1·x2<1B.x1·x2=x1+x2

C.x1·x2>x1+x2D.x1·x2

12.若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续的,且存在常数λ(λ∈R),使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是“λ-同伴函数”.下列关于“λ-同伴函数”的叙述中正确的是(  )

A.“

-同伴函数”至少有一个零点

B.f(x)=x2是一个“λ-同伴函数”

C.f(x)=log2x是一个“λ-同伴函数”

D.f(x)=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)

13.函数f(x)=

的零点个数为________.

14.函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是________.

15.若函数f(x)=lg|x-1|-m有两个零点x1和x2,则x1+x2=________.

16.设定义域为R的函数f(x)=

若关于x的方程2f(x)]2-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是________.

三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知函数f(x)=

(1)求不等式f(x)>5的解集;

(2)若方程f(x)-

=0有三个不同实数根,求实数m的取值范围.

 

18.(本小题满分12分)

已知定义在R上奇函数f(x)在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分.

(1)请补全函数f(x)的图象;

(2)写出函数f(x)的表达式(只写明结果,无需过程);

(3)讨论方程|f(x)|=a的解的个数(只写明结果,无需过程).

 

19.(本小题满分12分)

某上市股票在30天内每股交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:

第t天

4

10

16

22

Q(万股)

36

30

24

18

(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;

(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;

(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?

 

20.(本小题满分12分)

定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+mx-1.

(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;

(2)若方程y=f(x)有五个零点,求实数m的取值范围.

 

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=loga(2x+1)-loga(1-2x).

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;

(2)若函数y=f(x)与y=m-loga(2-4x)的图象有且仅有一个公共点,求实数m的取值范围.

 

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx,(k∈R)为偶函数.

(1)求k的值;

(2)若函数f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.

 

详解答案

第三章 函数的应用

单元测试

1.B 解析:

由题意f(-1)·f(0)=(m-2)m<0,∴0

2.B 解析:

因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以由零点存在性定理可得,方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.

3.D 解析:

结合函数y=(x-1)2的图象可知,该函数在x=1的左右两侧函数值的符号均为正,故其不能用二分法求零点.

4.C 解析:

方程x3-x-3=0的实数解,可看成函数f(x)=x3-x-3的零点.∵f

(1)=-3<0,f

(2)=3>0,∴f

(1)·f

(2)<0.由零点存在性定理可得,函数f(x)=x3-x-3的零点所在的区间为1,2].故选C.

5.B 解析:

函数f(x)=2x+3x-7的零点在区间(1.375,1.4375)内,且|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.

6.B 解析:

函数图象与x轴有公共点,即函数f(x)=

|1-x|,g(x)=-m有交点.作出f(x),g(x)的图象,如图所示.

0<-m≤1,即-1≤m<0,故选B.

7.C 解析:

∵f

(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>lne-1=0,由零点定理得f

(2)·f(3)<0.∴x0所在的区间为(2,3).故选C.

8.D 解析:

∵二次函数y=x2+mx+m+3不存在零点,二次函数图象开口向上,∴Δ<0,可得m2-4(m+3)<0,解得-2

9.C 解析:

设函数f(x)=ex-x-2,如果零点在(k,k+1),那么f(k)·f(k+1)<0,由表格分析,f

(1)<0,f

(2)>0,故k=1,故选C.

10.B 解析:

由定义法证明函数的单调性的方法,得f(x)在(1,+∞)上为增函数,又1

解题技巧:

本题主要考查了函数的零点和单调性,解决本题的关键是判断出函数f(x)=2x+

的单调性.

11.D 解析:

∵函数f(x)=|log3(x-1)|-

x-1有2个不同的零点,∴函数f(x)=|log3(x-1)|与函数g(x)=

x+1的图象有两个不同的交点.又∵g(x)=

x+1是减函数,∴-log3(x1-1)>log3(x2-1),∴(x1-1)(x2-1)<1,整理得x1·x2

12.A 解析:

令x=0,得f

f(0)=0,所以f

=-

f(0).若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f

·f(0)=-

(f(0))2<0.又因为函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)=0在

上必有实数根,即任意“

-同伴函数”至少有一个零点.故A正确;

用反证法,假设f(x)=x2是一个“λ-同伴函数”,则(x+λ)2+λx2=0,即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f(x)=x2不是一个“λ-同伴函数”.故B错误;

因为f(x)=log2x的定义域不是R.故C错误;

设f(x)=C是一个“λ-同伴函数”,则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”.故D错误.

13.2 解析:

依题意可知f(x)=x2+2x-3的零点为-3,1,∵x≤0,∴零点为-3.f(x)=-2+lnx的零点为e2.故函数有2个零点.

14.1 解析:

依题意可知,f(-6)=(-6)2-6m-6=0⇒m=5,所以f(x)=x2+5x-6=(x+6)(x-1),令f(x)=0,解得x=-6或x=1,所以另一个零点是1.

15.2 解析:

∵函数f(x)=lg|x-1|-m有两个零点,∴函数y1=lg|x-1|与函数y2=m有两个交点,∵y1=lg|x-1|的图象关于x=1对称,∴lg|x1-1|=lg|x2-1|,∴x1+x2=2.

16.1<a<

∵题中原方程2f(x)]2-(2a+3)f(x)+3a=0有且只有5个不同实数解,

∴要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,

∴先根据题意作出f(x)的简图:

由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根.

所以有1<a<2①.

再根据2f(x)2-(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根,

得:

Δ>0即(2a+3)2-24a>0,a≠

②.

结合①②得:

1<a<

解题技巧:

本题主要考查了函数零点和方程解的关系,解决本题的关键是找出隐含条件f(x)=a有3个不同实数解.

17.解:

(1)当x≤0时,由x+6>5,得-1

当x>0时,由x2-2x+2>5,得x>3.

综上所述,不等式的解集为(-1,0]∪(3,+∞).

(2)方程f(x)-

=0有三个不同实数根,等价于函数y=f(x)与函数y=

的图象有三个不同的交点.由图可知1<

<2,解得-2

所以,实数m的取值范围(-2,-

)∪(

,2).

解题技巧:

本题主要考查了函数零点和方程解的关系,解决本题的关键是画出函数f(x)图象,使函数y=f(x)与函数y=

的图象有三个不同的交点,从而求出m的范围.

18.解:

(1)补全f(x)的图象如图

(1)所示.

(2)当x≥0时,设f(x)=a(x-1)2-2,由f(0)=0得,a=2,

所以此时,f(x)=2(x-1)2-2,即f(x)=2x2-4x,

当x<0时,-x>0,

所以f(-x)=2(-x)2-4(-x)=2x2+4x,①

又f(-x)=-f(x),代入①,得f(x)=-2x2-4x,

所以f(x)=

(3)函数y=|f(x)|的图象如图

(2)所示.

由图可知,当a<0时,方程无解;

当a=0时,方程有三个解;

当0

当a=2时,方程有4个解;

当a>2时,方程有2个解.

19.解:

(1)由图象知,前20天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),容易求得直线方程为P=

t+2;

从20天到30天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为P=-

t+8,

故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为

P=

(2)由图表,易知Q与t满足一次函数关系,即Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.

(3)由以上两问,可知

y=

当0≤t≤20,t=15时,ymax=125,

当20

∴在30天中的第15天,日交易额的最大值为125万元.

20.解:

(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x2-mx-1.

又f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),

所以f(x)=x2+mx+1(x>0).

又f(0)=0,所以f(x)=

(2)因为f(x)为奇函数,所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,

即方程f(x)=0有五个不相等的实数解,得y=f(x)的图象与x轴有五个不同的交点.

又f(0)=0,所以f(x)=x2+mx+1(x>0)的图象与x轴正半轴有两个不同的交点,

即方程x2+mx+1=0有两个不等正根,记两根分别为x1,x2,

所以

解得m<-2.

所以,所求实数m的取值范围是m<-2.

21.解:

(1)函数f(x)为奇函数.

证明如下:

∵f(x)的定义域为x∈

,关于原点对称,

f(x)+f(-x)=loga

+loga

=loga1=0,

∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

(2)函数y=f(x)与y=m-loga(2-4x)的图象有且仅有一个公共点⇔方程loga

=m-loga(2-4x)在区间x∈

上有且仅有一个实数解.

m=loga

+loga2(1-2x)=loga(4x+2).

∵-

,∴0<4x+2<4

∴loga(4x+2)∈(-∞,loga4)或loga(4x+2)∈(loga4,+∞),

∴当a>1时,m∈(-∞,loga4),当0

22.解:

(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),

即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,

∴log4

-log4(4x+1)=2kx,

∴(2k+1)x=0,∴k=-

.

(2)依题意知,log4(4x+1)-

x=log4(a·2x-a),

整理,得log4(4x+1)=log4(a·2x-a)2x],

∴4x+1=(a·2x-a)·2x(*).

令t=2x,则(*)变为(1-a)t2+at+1=0(**)只需其仅有一正根.

①当a=1时,t=-1不合题意;

②当(**)式有一正一负根时,∴

得a>1;

③当(**)式有两相等的正根时,Δ=0,∴a=±2

-2,且

>0,

∴a=-2-2

.

综上所述,a的取值范围为{a|a>1或a=-2-2

}.

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