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1、4、 每次数学思维训练课都有中心，有讨论有交流有准备。有阶段性总结和反思。四、教学内容数独初级入门课程课时教 学 内 容备注第一课数独的起源第二课数独基本知识第三课直观解法（一）单区唯一解法（1）第四课单区唯一解法（2）第五课行列摒除法（1）第六课行列摒除法（2）第七课唯一解法第八课区块摒除法第九课九宫格对列、行的区块摒除（1）第十课九宫格对列、行的区块摒除（2）第十一课行、列对九宫格的区块摒除（1）第十二课行、列对九宫格的区块摒除（2）第十三课多重区块摒除第十四课唯余解法第十五课单元摒除法（1）第十六课单元摒除法（2）第十七课巩固练习第十八课期末练习场地设备：大教室，分5个小组活动。学生成绩

2、构成：1、学生出勤情况和作业完成情况，各占50。2、课程成绩分优秀、良好、合格、不合格4个等级。第一课 数独的起源一、数独（sudoku）介绍是一种智力运动。从字面意思来看，是“单独的数字”或“只出现一次的数字”，是一种以数字为表现形式的逻辑推理谜题。数独 Sudoku（日语：数独）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字智力拼图游戏。拼图是九宫格（即3格宽3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。数独的玩法逻辑简单，数字排列方式千变万化。不少教育者认为数独是锻炼脑筋的好方法。

3、英国国家教育及教学部官方教育杂志教师杂志（Teacher Magazine）建议教师让学生填写数独，以训练大脑智慧。在英国学校中，许多数学老师纷纷运用这个与数学关系不大，但可以训练逻辑思维能力的游戏。老师们把游戏下载到电脑中，要求学生每周至少完成三则数独题目。世界数独锦标赛于2006年在意大利卢卡举行，以后每年举办一次，2013年是由中国北京承办的。第二课 数独基本知识一、数独的游戏规则在9阶方阵中，包含了81个小格（九列九行），其中又再分成九个小正方形（称为宫），每宫有九小格。标准数独的规则一般都只有三点：1、数独中每行内的数字为1-9且不重复；2、数独中每列内的数独为1-9且不重复；3、数

4、独中每宫内的数字为1-9且不重复。二、数独的元素标准数独的基本元素包括单元格、行、列、宫、区、区块、已知数、候选数等等。1、单元格：简称格，是数独盘面中最小的格子，只可以填入一个数字；2、行：数独盘面中横向9个单元格的总称；3、列：数独盘面中纵向9个单元格的总称；4、宫：数独盘面中粗线划分出的9格单元格的总称；5、区：填入一组1-9数字的区域，行、列、宫都是区的一种具体表现形式；6、区块：某宫中横向活纵向3个并列单元格的总称；7、已知数：数独题目初始给出的数字；8：候选数：某空单元格中目前还可以填入的数字。三、数独技巧数独的基本技巧有基础摒除法、排除法、假设法等；一般解题是先用基础摒除法和排除

5、法填数字能确定的格子；基础摒除法和排除法是解数独最基本的方法。当某个格子的数字不能确定时可能就要用到假设法了；当然还有其它方法！不过本人推荐用假设法，这样更好地锻炼逻辑推理能力，特别是中小学生。本人也推荐玩数独最好在纸上用铅笔玩。一般9阶数独的初级和中级都可以用基础摒除法和排除法解答完成！1、直观解法。直观解法是数独的基础解法，也是应用最多的数独解法。由于其可以用眼睛一目了然地看出，所以称之为直观解法。2、候选法。与直观法相对应的就是候选数解法，一些稍难的数独题目，把所有的直观解法都应用后还是不能解开，那么就需要标注候选数，利用候选数之间的逻辑关系进行删减获选数解题，这类技巧的难度较大。五、数

6、独的优点培养分析、逻辑、推理能力，开发智力；帮助冷静思考，纾缓压力。六、数独的种类数独包括标准数独和变形数独两大类，我们在初级课程中，主要学习标准数独，标准数独的解法掌握了，对于变形数独来讲，就可以触类旁通，解决问题了。变形数独是指宫的形状不为矩形或者在行、列、宫规则外，再附加其他条件的数独，常见的类型有不规则数独，对角线数独，连体数独和杀手数独等。第三课 直观解法（一）单区唯一解法（1）一、什么是单区唯一解法（或称“摒除法”）顾名思义，“单区”指的是一行、一列或者一宫，“唯一解”指的是某格内只有唯一一个解。摒除法的作用对象可以是宫或者行列，所以，我们又把摒除法分为两类，一类为宫摒除，另一类为

7、行列摒除二、宫摒除法 数独的规则中提到，在每个宫内，每个数字只能出现一次，也就是说如果一宫中已经出现过数字1，则这行的其他格都不能为1，由此引发出宫摒除法。首先来看一个例子：例1 因为r6c7为5，所以同处于R6的r6c6不能为5，B5的5尚未填写，在摒除了r6c6后，只剩下一个可能，那就是r4c4=5 例2 数字1对B1摒除 r1c7为1，所以同处于R1的r1c2、r1c3不能为1； r7c1为1，所以同处于C1的r2c1、r3c1不能为1， B1的1尚未填写，原本可以是1的5格有4格被排除了，所以得到r3c2=1第四课 单区唯一解法（2）例3 继续增加观察难度 数字7对B7摒除 r7c5为

8、7，则同处于R7的r7c1与r7c3不能为7；r9c9为7，则同处于R9的r9c2与r9c3不能为7；r5c3为7，则同处于C3的r7c3、r8c3、r9c3不能为7，B7的7尚未填写，6个空格有5个已被排除，所以得到r8c1=例4 有的时候需要四条摒除线 数字5对B5摒除 r2c6为5，则同处于C6的r4c6、r5c6、r6c6不能为5，r5c3为5，则同处于R5的r5c4、r5c5、r5c6不能为5；r4c8为5，则同处于R4的r4c4、r4c5、r4c6不能为5；r7c5为5，则同处于C5的r4c5、r5c5、r6c5不能为5 B5的5尚未填写，9个空格有8个可以排除5的可能，所以得到r

9、6c4=5通过上面几个例子，相信大家对宫摒除的作用效果有一定了解。第五课 行列摒除法（1） 行列摒除法与宫摒除法相比，是将焦点由宫转移到了行列。首先我们来看一个简单的例子： C5还剩2格没有填写数字，由于r3c8为8，所以同处于R3的r3c5不能为8，得到r7c5=8 由这个例子看行列摒除似乎没什么难的，但是接下来的几个例子会让你发现它的难度 数字5对C1摒除 r2c3为5，所以同处于R2的r2c1不能为5；r7c4为5，所以同处于R7的r7c1不能为5，C1的5尚未填写，3个空格有2个被摒除，所以得到r4c1=5 接下来会越来越困难例2 数字7对R7摒除 r9c7为7，所以同处于B9的r7c

10、7、r7c8、r7c9不能为7，r5c5为7，则同处于C5的r7c5不能为7，R7的7只能在r7c2第六课、行列摒除法（2）进一步增加摒除对象行列的空格数例3 数字2对R9摒除 r7c1为2，则同处于B7的r9c2和r9c3不能为2；r4c4为2，所以同处于C4的r9c4不能为2；r1c9为2，所以同处于C9的r9c9不能为2，R9的2只能在r9c继续加大难度例4 数字3对R1摒除 r8c1为3，所以同处于C1的r1c1不能为3；r5c5为3，所以同处于C5的r1c5不能为3；r9c6为3，所以同处于C6的r1c6不能为3；r1c9为3，所以同处于C9的r1c9不能为3，所以r1c3=3 可以

11、发现在上述的例子中，观察的困难度也越来越高，在最后一个例子里的数字3对R1摒除的动作是很难想到的。 为什么行列摒除会比宫摒除难呢？宫摒除的聚焦点是一个宫，一道题有九个宫，需要观察摒除数的位置可能在其他四个宫里；而行列摒除的聚焦点是一行或一列，一道题有九行和九列，需要观察的摒除数可能分布在全盘，也就是说观察范围是宫摒除的整整一倍之多。第七课 唯一解法前言 直观法的根本是基础摒除法，唯一解法其实只可算是基础摒除法的特例，只因其成立条件十分特殊明确， 可以几乎不花脑筋就填出解来，所以特别独立为一法，但有些人是完全不加理会的。唯一解详说 当数独谜题中的某一个宫格因为所处的列、行或九宫格已填入数字的宫格

12、达到 8 个时，那么这个宫格所能填入 的数字，就只剩下那个还没出现过的数字了。 当某列已填入数字的宫格达到 8 个时，所剩宫格唯一能填入的数字就叫做列唯一解； 当某行已填入数字的宫格达到 8 个时，所剩宫格唯一能填入的数字就叫做行唯一解； 当某个九宫格已填入数字的宫格达到 8 个时，所剩宫格唯一能填入的数字就叫做九宫格唯一解。 （5, 9）出现列唯一解 6 了 （7, 1）出现行唯一解 9 了是出现行唯一解的例子，请看第 1 行，除了宫格 （7,1） 外都已填入数字了，此时（7,1）中应填入的数字， 当然就是第 1 行中还没出现过的数字 9 了！这时我们说：（7, 1）有行唯一解 9 。图 3

13、 （7, 2）出现九宫格唯一解 3 了是出现九宫格唯一解的例子，请看下左九宫格，除了宫格 （7,2） 外都已填入数字了，此时（7,2） 中应填入的数字，当然就是下左九宫格中还没出现过的数字 3 了！（7, 2）有九宫格唯一解 3 。 仔细想想：以上的列唯一解其实也可看成是列摒除解、行唯一解也可看成是行摒除解、 九宫格唯一解也可看成是九宫格摒除解，不是吗？不过 9 个宫格已填了 8 个，这样的情况太特殊、太容易辨认了， 所以独立出来也无可厚非啦！第八课 区块摒除法 区块摒除法虽属于进阶的技巧，但已入门的玩家在解题时可以很容易的配合着基础摒除法使用，增加不少 找到解的机会，将感觉顺手多了。所以即使

14、是最简易级的题目，已入门的玩家一样可在解题时应用此法， 并非在基础摒除法已找不到解时才让此法上阵。本网页中的很多例子，如果坚持使用基础摒除法，其实 仍可找到其它数字解，但因机缘凑巧，恰可用上区块摒除法找到解，所以仍拿来当做例子啦！ 什么是区块呢？1. 对列而言，就是分属三个不同九宫格的部分。在下图中，我们分别用不同的颜色来标示列的三个区块：2. 对行而言，也是分属三个不同九宫格的部分。在下图中，我们分别用不同的颜色来标示行的三个区块：3. 对九宫格而言，就是分属三个不同列或三个不同行的部分。在下图中， 我们分别用不同的颜色来标示九宫格的三个区块： 为了说明及学习的方便，尤怪将区块摒除法分为 4

15、 个不同的型式，但在实际应用时，即使玩家不知此分类， 也可以很容易的顺着区块的所在及方向而做出正确的摒除。4. 九宫格对行的区块摒除：某数字在九宫格中的可填位置仅存在其中一个区块时，因为某数一定会在本区块， 所以包含该区块的行，可将数字填入另两个区块的可能性将被摒除。5. 九宫格对列的区块摒除。某数字在九宫格中的可填位置仅存在其中一个区块时，因为某数一定会在本区块， 所以包含该区块的列，可将数字填入另两个区块的可能性将被摒除。6. 行对九宫格的区块摒除。某数字在行中的可填位置仅存在其中一个区块时，因为某数一定会在本区块， 所以包含该区块的九宫格，可将数字填入另两个区块的可能性将被摒除。7. 列

16、对九宫格的区块摒除。某数字在列中的可填位置仅存在其中一个区块时，因为某数一定会在本区块， 所以包含该区块的九宫格，可将数字填入另两个区块的可能性将被摒除。第九课 九宫格对列、行的区块摒除（1） 九宫格摒除解的系统寻找是由数字 1 开始一直到数字 9 ，周而复始， 直到解完全题或无解时为止；每个数字又需从上左九宫格起，直到下右九宫格，周而复始， 同样要不断重复到解完全题或无解时为止。 使用区块摒除法，只要在九宫格摒除解的系统寻找时，注意是否有区块摒除的成立条件即可，当区块摒除 的条件具备了，就等于多了一个摒除线，找到解的机会自然多了一点，将感觉顺手多了。例如在中， 如果不使用或不会使用区块摒除法

17、，是找不到 1 的九宫格摒除解的，但如果用上了区块摒除法，将可找到 四个数字 1 的填入位置哦： 在中：先从数字 1 开始寻找九宫格摒除解，当找到中左九宫格时，由于（3, 2）、（4, 5）的摒除， 将使得数字 1 可填入的位置只剩下 （5, 1） 及 （5, 3），因为每一个九宫格都必须填入数字 1，既然中左 九宫格的数字 1 一定会填在 （5, 1） （5, 3） 这个区块，那表示包含这个区块的第 5 列，其另两个 区块就不能填入数字 1 了，因为同一列中只能有一个数字 1，所以可将第 5 列另两个区块填入数字 1 的 可能性摒除。 第 5 列的区块摒除，配合 （4, 5） 及 （9, 7

18、）的基础摒除，使得 （6, 8） 出现了中右九宫格摒除解了。 只找到一个还不过瘾，当搜寻到下左九宫格时，由于（3, 2）、（9, 7）的摒除，将使得数字 1 可填入的位置 只剩下 （7, 1） 及 （7, 3），同理，因为每一个九宫格都必须填入数字 1，既然下左九宫格的数字 1 一定会 填在 （7, 1） （7, 3） 这个区块，那表示包含这个区块的第 7 列，其另两个区块就不能填入数字 1 了， 因为同一列中只能有一个数字 1，所以可将第 7 列另两个区块填入数字 1 的可能性摒除。图 4 第 7 列的区块摒除，配合 （4, 5） 及 （9, 7）的基础摒除，使得 （8, 6） 出现了中下九

19、宫格摒除解了。图 5 找到了 （6, 8） 及 （8, 6） 两个摒除解之后，因谜面的数字已有改变，所以循例应回头再找一遍，相信大家一定 可以很容易的找到另两个九宫格摒除解：（1, 4）、（2, 9）。 九宫格对行的区块摒除和九宫格对列的区块摒除同理，只不过九宫格对列的区块摒除是数字仅出现在九宫格 的横向区块，所以受到影响的就是列；而九宫格对行的区块摒除是数字仅出现在九宫格的纵向区块，所以受 到影响的就变成是行而已。第10课 九宫格对列、行的区块摒除（2） 图 6 是一个九宫格对行的区块摒除之例子。你可以看出下左九宫格的数字 9 应该填在什么位置吗？图 6 图 6 由于（5, 8）的摒除，使得

20、数字 9 在中左九宫格可填入的位置只剩下 （4, 3） 及 （6, 3）， 因为每一个九宫格都必须有数字 9，既然中左九宫格的数字 9 一定会填在 （4, 3） （6, 3） 这个区块， 那表示包含这个区块的第 3 行，其另两个区块就不能填入数字 9 了，因为同一行中也只能有一个数字 9， 所以可将第 3 行另两个区块填入数字 9 的可能性摒除。图 7 第 3 行的区块摒除，配合 （2, 2）、（7, 6） 及 （9, 9）的基础摒除，使得 （8, 1） 出现了下左九宫格摒除解 9 了。图 8 看过了以上的例子后，首先要提醒大家，前面已提过区块摒除需机缘凑巧，并非随手可得哦！大部分的时候， 虽

21、然发现了区块摒除的条件，但却是空包弹，一样找不到摒除解！例如：在 第11课 行、列对九宫格的区块摒除（1） 一般而言，九宫格对行、列的区块摒除是容易被发现和运用的，因为一般人常把注意力放在九宫格摒除解的 寻找上，所以找到的自然是九宫格对行、列的区块摒除条件；而行、列对九宫格的区块摒除成立条件需配合 行、列摒除解的寻找，所以常被疏忽了。不过尤怪认为：解题本以增加生活乐趣为上，如果可用简单的方法解题， 何必强要使用困难的方法呢？ 配合一般人不到不得已不去寻找行、列摒除解的心态，下面这个例子和前面的例子就不同了， 如果不使用或不会使用行、列对九宫格的区块摒除，是找不到 8 的行摒除解的，请先解解看，

22、 然后再看后面的说明：图 10 在本例中：由于（5, 5）、（7, 7）的摒除，使得数字 8 在第 2 列可填入的位置只剩下 （2, 2） 及 （2, 3）， 因为每一列都必须有数字 8，既然第 2 列的数字 8 一定会填在 （2, 1） （2, 3） 这个区块， 那表示包含这个区块的上左九宫格，其另两个区块就不能填入数字 8 了，因为同一个九宫格中也只能有一个数字 8， 所以可将上左九宫格另两个区块填入数字 8 的可能性摒除。图 11 于是上左九宫格的区块摒除，配合 （5, 5）、（7, 7）的基础摒除，使得 （6, 1） 出现了第 1 行摒除解 8 了。图 12 下面这个例子更困难一点，必

23、须先找到九宫格对行、列的区块摒除，然后再利用行、列对九宫格的区块摒除， 来找到 8 的行摒除解，请先解解看，给自己一点挑战，然后再看后面的说明：图 13 第12课 行、列对九宫格的区块摒除（2）由于（3, 6）、（7, 1）的摒除，使得数字 8 在上左九宫格中可填入的位置只剩下 （1, 2） 及 （2, 2）， 符合了九宫格对行的区块摒除之条件，所以可把第 2 行其它区块填入数字 8 的可能性摒除掉。图 14 接下来：利用上左九宫格对第 2 行的区块摒除，并配合（7, 1）、（9, 5）的基础行摒除， 使得数字 8 在第 5 列中可填入的位置只剩下 （5, 8） 及 （5, 9）， 符合了列对

24、九宫格的区块摒除之条件，所以可把中右九宫格其它区块填入数字 8 的可能性摒除掉。图 15 最后，利用第 5 列对中右上左九宫格的区块摒除，并配合（7, 1）、（9, 5）的基础列摒除， 使得数字 8 在第 7 行中可填入的位置只剩下一个，意即找到第 7 行的行摒除解 8 了。图 16第13课 多重区块摒除 多重区块摒除是必需同时使用 2 个以上的区块摒除才能找到解的情况。下面这个例子就必需同时运用一个 九宫格对列的区块摒除及列对九宫格的区块摒除，才能找到 5 的行摒除解。请先解解看，给自己一点挑战， 然后再看后面的说明：图 17由于（2, 5）、（4, 7）的摒除，使得数字 5 在中央九宫格中

25、可填入的位置只剩下 （5, 4） 及 （5, 6）， 符合了九宫格对列的区块摒除之条件，所以可把第 5 列其它区块填入数字 5 的可能性摒除掉。图 18 同时：由于（2, 5）、（4, 7）及（3, 9）的行摒除，使得数字 5 在第 9 列中可填入的位置只剩下 （9, 1） 及 （9, 3）， 符合了列对九宫格的区块摒除之条件，所以可把下左九宫格其它区块填入数字 5 的可能性摒除掉。图 19 于是，利用第 5 列及下左九宫格的区块摒除，并配合（2, 5）、（4, 7）及（3, 9）的基础列摒除， 使得数字 5 在第 2 行中可填入的位置只剩下一个，意即找到第 2 行的行摒除解 5 了。图 20

26、 下面这个例子就更有趣了，请看，目前谜面上一个数字 7 都没有，但尤怪要说： 在上左九宫格有一个九宫格摒除解 7，你是否能找出来呢？图 21 首先，因为上右九宫格的数字 7 只能填在 （1, 7）（1, 9） 这个区块，所以可以用九宫格对列的区块摒除， 将第 1 列其它区块填入数字 7 的可能性摒除掉。图 22 当第一列的 （1, 1）（1, 6） 填入数字 7 的可能性被摒除之后，因为上中九宫格的数字 7 就只能填在 （3, 4）（3, 6） 这个区块，所以也可以用九宫格对列的区块摒除，将第 3 列其它区块填入数字 7 的 可能性摒除掉。于是，同时利用第 1 列及第 5 列的区块摒除，使得数字 7 在上左九宫格中可填入的 位置只剩下一个，意即找到上左九宫格的九宫格摒除解 7 了。图 23第14课 唯余解法 唯余解法的原理十分简单，但是在实际的解题中，非常不容易辨认。 由于唯余解非常不容易辨认，所以一般的报章杂志及较大众化的数独网站，通常会将需要用到唯余解法的数独谜题 归入较高的级