K12学习等差等比数列练习题含答案以及基础知识点.docx

1、K12学习等差等比数列练习题含答案以及基础知识点等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点一、等差等比数列基础知识点知识归纳： 1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列an满足an1and(常数),则an称等差数列；2.通项公式：ana1(n1)dak(nk)d; 3.前n项和公式：公式：Snn(a1an)n(n1)na1d. 22等比数列：1.定义若数列an满足an1，则an称等比数列；2.通项公式：qanana1qn1akqnka1anqa1(1qn)(q1),当q=1时Snna1. ;3.前n项和公式：Sn1q1q2简单性质：首尾项性质：设数列an:a1,a2,a3,an,1.若an是等

2、差数列，则a1ana2an1a3an2; 2.若an是等比数列，则a1ana2an1a3an2. 中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且Aab; 22.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且Gab. 设p、q、r、s为正整数，且pqrs, 1. 若an是等差数列，则apaqaras; 2. 若an是等比数列，则apaqaras; 顺次n项和性质：1.若an是公差为d的等差数列，则a,a,akkk1kn12nk2n13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列；2. 若an是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）若an是等比数列。a,a,ak1k

3、n1k2n1k组成公差为qn的等比数列.；2.若n为偶数，则S偶S奇nd. 2学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m

4、”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或a，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为q“a,am,a2m,a3m(或a3m,am,am,a3m);”四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa3,aq,aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3qq例1解答下述问题：111,成等差数列，求证： abcbccaab,成等差数列； abcbbba,c成等比数列.222已知解析该问题应该选择“中项”的知识解决。112ac22acb(ac),acbacbbcabbcc2a2abb(ac)a2c2(1)acacac2(ac)22(ac).b(ac)bbccaab,成

5、等差数列;abcbbbb2b(2)(a)(c)ac(ac) 2,22242bbba,c成等比数列.222设数列an的前n项和为Sn,且满足a21,2Snn(an1),2求证：an是等差数列； 若数列bn满足:b13b25b3(2n1)bn2n1an6求证：bn是等比数列.2Snn(an1)解析2Sn1(n1)(an11) 得2an(n1)an1nan1(n1)an1nan1,令n1得a11,a21,令n2得a33,猜想an2n3,用数学归纳法证明:1）当n1时,a11213,a21223,结论正确; 2）假设nk(k2)时结论正确,即ak2k3,当nk1时,(k1)ak1kak1k(2k3)1

6、2k23k1(2k1)(k1) k2,ak12k12(k1)3,结论正确.1）、2）知，当nN时,an2n3,an1an(2n1)(2n3)2,即an是公差为2的等差数列;(2)设Tn2n1an62n1(2n3)6,当n2时(2n1)bnTnTn12n1(2n3)2n(2n5)(2n1)2n,bn2n(n2),而b14(1)62,也适合,当nN时bn2n,bn12,即bn是公比为2的等比数列.bn评析判断一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归 纳猜想”并证明.例2解答下述问题：等差数列的前n项和为Sn,若SP求SPQ(用P,Q表示).解析选择公式Sn

7、anbn做比较好，但也可以考虑用性质完成.32QP,SQ(PQ), PQQ2aPbPP2解法一设Snanbn,PaQ2bQQQ2P2得：(PQ)a(PQ)b,PQ,PQPQ,a(PQ)bPQ,PQ(PQ).PQ2SPQ(PQ)a(PQ)b解法二不妨设PQ,QPSPSQaQ1aQ2aP PQ(PQ)(aQ1aP)2(PQ).PQ2PQ(PQ)(a1aPQ)PQSPQ,PQ2PQSPQ等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为1282，求项数n.解析设公比为q,n12a1a3a5an102442a2a4an11282a1q42(1)35252而a1a2a3an1024

8、12822(a1qn1n2352a1qn352123(n1)2352)2,将(1)代入得(2)2,5n35,得n等差数列an中，公差d0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：ak1,ak2,akn恰为等比数列,其中k11,k25,k317,求数列kn的前n项和.解析a1,a5,a17成等比数列,a5a1a17,2 4(a14d)2a1(a116d)d(a12d)0d0,a12d,数列akn的公比qa5a14d3,a1a1akna13n12d3n1而akna1(kn1)d2d(kn1)d， 得kn23n11,3n1kn的前n项和Sn2n3nn1评析例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念

9、、公式及性质是解决问题的基本功. 例3解答下述问题：三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为ad, a, a+d，则有22(ad)(ad32)ad32d32a022(a4)(ad)(ad)8a16d8263d232d640,d8或d,得a10或,39226338原三数为2,10,50或,.999有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. 解析设此四数为a15,a5,a5,a15(a15),(a152)(a5)2(a

10、5)2(a15)2(2m)2(mN)4a25004m2(ma)(ma)125,1251125525,ma与ma均为正整数,且mama,ma1ma2ma125ma25 解得a62或a12(不合),所求四数为47，57，67，77评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列为常数数列为非零的常数数列存在且唯一不存在52.、在等差数列anan中，a14,且a1,a5,a13成等比数列，则an的通项公式为3n1 ann3an3n1或an4ann3或an4a

11、c的值为xy 3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则1222不确定y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项。成等差数列不成等比数列成等比数列不成等差数列 既成等差数列又成等比数列既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列an的前n项和为Sn,S2n14n22n,则此数列的通项公式为2n2an8n2an2n1ann2n2an6、已知(zx)4(xy)(yz)，则111111,成等差数列 ,成等比数列 xyzxyzx,y,z成等差数列 x,y,z成等比数列7、数列an的前n项和Snan1，则

12、关于数列an的下列说法中，正确的个数有一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列可能既不是等差数列，又不是等比数列可能既是等差数列，又是等比数列43218、数列11111,3,5,7,前n项和为248161111112222nn1nn1nnn1 nnn12222229、若两个等差数列an、bn的前n项和分别为An 、Bn，且满足An87Bn784n25n5，则a5a13b5b13的值为10、已知数列791920an的前n项和为Snn25n2,则数列an的前10项和为an的通项公式ann5为, 从an中依次取出第3，9，27，3, 项

13、，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列n5658626011、已知数列的前n项和为n(3n13)3n10n33n110n3n3522212、下列命题中是真命题的是()6A数列an是等差数列的充要条件是anpnq(p0)an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列B已知一个数列C数列an是等比数列的充要条件anabn1 D如果一个数列二、填空题an的前n项和Snabnc(a0,b0,b1),则此数列是等比数列的充要条件是ac0an，公比q1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=a2a6a18=13、各项都是正数的等比数列14、已知等差数列an，公差d0,a1

14、,a5,a17成等比数列，则a1a5a17415、已知数列an满足Sn11an,则an=an是公差d不为零的等差数列，数列ab是公比为q的等比数列，b11,b210,b346 ，求公比q及bn。n16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、 解答题 17、已知数列18、已知等差数列19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知21、数列求an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等于d(d0,d1) ,a1b1 ，a33b3,a55b5,求an,bn。an为等比数列，a

15、32,a2a420，求an的通项式。3an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1 an的通项公式；bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn等差数列22、已知数列an满足a11,an12an1(nN*). an的通项公式； bn满足4b1.4b1(an1)b(nN)，证明：bn是等差数列；12nn求数列若数列第九单元 数列综合题一、选择题 题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7答B D C A A A C A D D D D 案 二、 填空题 13.15214. 262915. 43(13)n16. 63三、解答

16、题=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45dabn为等比数例，得2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. q=4 又abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-218. a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 , a1(1-3d2)=-2d a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d15d422155 ,得13d2=2， d=1或d=5,题意，d=5,a1=-5。an=a1+(n-1)d=5(n-6) 19.设这四个数为

17、aq,a,aq,2aqa 则aqaaq216，得a3=216,a=6 aaq(3aqa)36代入，得3aq=36,q=2 这四个数为3，6，12，1820.解: 设等比数列aan的公比为q, 则q0, a2=32q = q , a4=a3q=2q所以 220q + 2q=3 , 解得q11=3, q2= 3,当q11181=3, a1=18.所以 an=18(3)n1=3n1 = 233n.当q=3时, a221= 9 , 所以an=93n1=23n3.21.解：(I)an12Sn1可得an2Sn11n2，两式相减得an1an2an,an13ann2又a22S113 a23a1故an是首项为1

18、，公比为3得等比数列an1n3bn=a1dn-1=-5(5n-1 5)8设bn的公差为dT315得，可得b1b2b315，可得b25 故可设b15d,b35d 又a11,a23,a39题意可得5d15d9532 解得d12,d210等差数列bn的各项为正，d0 d2Tnn1n3n22n22n 22：an12an(1n,)N*an112(an1), an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。 ann12.即 a*n221(nN). 证法一：4b114b21.4bn1(an1)bn.4(b1b2.bn)n2nbn.2(b1b2.bn)nnbn,2(b1b2.bnbn1)(n1)(n1)bn1.，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.，得 nbn22nbn1nbn0,即 bn22bn1bn0, 9bn2bn1bn1bn(nN*),bn是等差数列。10