各种插值法的对比研究报告.docx

1、各种插值法的对比研究报告各种插值法的对比研究_TOC4852335651引言 22.插值法的历史背景 23.五种插值法的基本思想 23.1拉格朗日插值 23.2牛顿插值 23.3埃尔米特插值 23.4分段线性插值 23.5三次样条插值 24.五种插值法的对比研究 24.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 22多项式插值法与埃尔米特插值的比较 23多项式插值法与分段线性插值的比较 24分段线性插值与样条插值的比较 25.插值法在实际生活中的应用 26结束语 2致谢 2. 资料. .参考文献 2各种插值法的对比研究摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法播值法不仅是微分方程、数值积分

2、、数值 微分等计算方法的基础,而旦在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它本文首先介绍了插值的背素 以及常用的五种插值法的基本思想，然后通过拉格朗日插值与牛顿播值、多项式播值与埃尔米特插值、多项 式插值与分段线性插值、分段线性描值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB程序，根据已学的知识对 五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究，找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点.最 后在此基础上进一步研究插值法的实际应用，以提高插值法的实用性，从而能让我们在以后的应用中有到一 个问题，就知道哪种方法更适合于它，然后大大地快速的提高效率.关键词：多项式插值;样条函数插值；MATLAB

3、程序;应用1 引言在很多解题以及应用生活中，常常需要用数量关系来反映问题，但是有时没有办法通过 数学语言准确地表达出来已知有些变量之间存在一种函数关系，但没法用函数的表达式表 示出来.比如,/（兀）在某个区间上#是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实 验只能得到有限个函数值，我们可以利用这几点来确定函数表达式或者有一些函数表达式 是已经知道的，但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质，而旦它的使用方法 也比较局限函数是表达数与数之间的联系，为了能很好地用数学语言表达出函数的关系，一 般通过给定的数据构造一个函数P（x）,这样既能反映函数/（X）的特点，又方便计算，用PW 近似

4、/（X）通常选一个简单的函数P（x），而且P（兀）=/（兀）（山0,1,2,.,町成立，这个时候 的P（M，从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数所用方法就是插值法,由于所 选用的P（x）的多样化,得到不同的插值法.2插值法的历史背景插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它它是数值计算中一个古老的分支, 它来源于生产实践.因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确 的数学解析式来表达日月五星的运行规律后来，古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方 法，然后发现了日月五星的运行规律例如扈朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值，并将其应用在

5、天文历法观测中现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日 给出了拉格朗日插值法的概念以及应用微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得 到改善.3五种插值法的基本思想如果一个函数y=f在区间上有定义，且已知在点x0x, .xn2儿，若存在一简单函数I)M，使得成立,P(x)为插值函数，点xo，勺宀耳称为插值节点，插值节点的区间(称为插值区 间，求插值函数PCQ的方法称为插值法若P(X)的多项式次数不超过“，即有P(x) = + axx+a2x2 +. + anxn3拉格朗日插值拉格朗日插值是次多项式插值，它是用构造插值基函数的办法来解决“次多项式插值的问 题拉格朗日插值多项式可以表示为心皿)A

6、:-0L(x)为插值基函数，表达式为lk=(7)(DD(U k = 0丄 (兀一兀).(无一无)(电一电+)( 一厲)截断误差为= /-厶心)，也是插值余项关于插值余项,估计有以下定理勺:设广在上连续，广在(4内存在，节点6/ x2.xb,LllM是满足条件(1.4)的插值多项式，则对任何 * ,插值余项RQ)= f(x)-L3 =S + 1)!余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于f(x)高阶导数存在的情况下若设max|/(A-)| = M,I+1，则误差为此匸舲种怙.3.2牛顿插值牛顿插值的基本思想是对次插值多项式代(X)进行逐次生成，然后用插值条件求出出(切 系数.因此，提出了均差(

7、即差商)的概念.设 称有函数f(x) ,X tX2，X.A是一系列不相等的点，则/a-0,xJ= 心7 血 为函数几力关于点必,龙的一阶均差；忑一儿/民皿,无卜血止匹建 称为/(X)的二阶均差；fxx，,x,=,/区?二 yJ-./ LzJ 为 fM 啲 k 阶均差我们先求出1次多项式,2次多项式，然后类推出次多项式，构造出“次代数插值多项式的另外一种表达形式一牛顿插值多项式PnM= %)+ /kl匕-)+ /x0,XpX2 (X-Xo) (x_G+ .RQ) = /x,xo,xpx2，,Xn(X-Xo) (X-xJ.(X-)/畑/(x)+W).P,M为牛顿插值多项式严为余项.3.3埃尔米特插

8、值有的时候解决函数/(x)的问题，不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值那么这时插值函数P(x)，它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的那么我们从几何这个方面来思老这个问题，求出插值多项式的曲线，不但通过已知点组，而且在这些点处与原曲线相切.（一）、泰勒插值定义 /“心=lim （兀）为一阶重节点均差;/x0,x（px0= lim /xo,xpxj = i/，（o）为二阶重节点均差; QfYo 2x2 f5则阶重节点均差为/心心/（）= lim /心舛,九=丄/（%） MT” Ilf当兀T X。时，牛顿插值公式的极限为PnM= /Uo)+ / Cv0) (x-x0)+

9、 /(“)(x-xj n称为泰勒插值多项式.它满足条件Pikx0） = flky（xQ）,伙=0,1,2,.丿）（二）、两点三次埃尔米特插值若/（X）在xk,忑+的函数值为yk儿+1 ,/（忑）=Ifik, f （心+） = ink+l，我们可以构造出 一个次数不超过3的多项式,H3（x）为插值函数设= ak（x）yk + 伽儿+i + 0Q）叫 + 0知心）叫+i,ak,兔+i Pt 03为插值基函数可得结果H3(x)=(1 + 2 人 _兀)()2 片 + (1 + 2 )(工_ )2（兀一母）（3 ）2 m 丽却,忑一忑+1 X如一忑M= 2厂（歹）（兀一无）（/一1） 疋3.4分段线性

10、插值分段线性插值：一般描述,如给定匕“上 +1个节点=兀 . M = A + 九，伙=0,1,2,1)忑一无+】 忑+i 一忑误差估计f (疋) M2fW-Ih(x)=、丿(耳)(欠_和)00时,R(x) = f(x)-Ih(x) - 0 ,IhM 在“上一致收敛到 /(X).3.5三次样条插值三次样条插值(Spline插值)的具体要求是：函数S(x)wCd,b，并在每个小区间比宀+上是一个三次多项式，其中 6/ = a0x1x2.xh=/7是给定节点，如果对给定的节点函数值有 兀=/(勺)。=，12川)，并旦5(x?)=儿，(j = 0丄2,刀)成立,这时我们就把S(x)称 为三次样条插值函

11、数.4五种插值法的对比研究通过讨论插值法的相关内容，可以让我们更好的了解插值法现在我们先从插值多项式 的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究，比较各自优缺点,然后再通过实 例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较(-)拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密，条理清晰，在理论中十分重要但是计算比较复杂,因为每添加一个点，所以的公式都要重新计算，这样计算步骤较多会导致计算量变大,反而会 导致出现误差与原来的目的背道而驰.(-)牛顿插值多项式的计算量小，步骤简洁当添加一个节点时，它仍然可以使用，即具有“承 袭性”也叫“继承”，所以此类方法应用灵活.但是我们根据正常的想象和观察插值余项，我们

12、 般局部地总是认为当原函数给出的点是越来越多时，我们借助的辅助函数的次数越高，它 就和原函数越来越近，误差越来越小然而事实并非如此，当遇到插值节点等距分布的情况时, 只要求函数点值相等不能够充分反映插值函数的性质.4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较多项式插值要求在插值节点上函数值相等，计算简单，条件不怎么苛刻但是如果有的时 候一方面要在节点处函数值相等，另一方面要导数值相等，这时多项式插值否则不满足此类 情况.埃尔米特插值不仅算法简单而且它具有强烈收敛性但是它的光滑度不高，而旦它的使用条 件，也有局限性在一些特定的限制条件下，有时函数的导数值在这点是完全没有必要知道的. 因此，知道节点处的

13、导数的插值函数成为能否运用Hemnite插值的一个重要因素.4.3多项式插值法与分段线性插值的比较多项式插计算简单，比较方便，但是节点增加的同时就会出现龙格现象，图形波动较大. 分段线性插值能够克服龙格现象，有收敛性，但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4分段线性插值与样条插值的比较样条插值的插值函数算法稳定，而旦插值函数光滑，收敛性强,误差小但是它不能局部确 定，常常需要解线性方程组.5插值法在实际生活中的应用插值法是数值逼近中一个非常重要的部分，其次它在实际生活中起着不容小觑的作用, 比如天文学以及数学.6结束语. 资料. .插值法在解决实际问题中有很大的应用插值方法是各种各样的,它包含

14、拉格朗日插值 法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等我们不论使用 哪个插值法,它的原理都是一样的本课题首先介绍了插值的背景以及各类方法的基本思想; 然后通过解题、画图、一道题用几种不同方法来解答，让我们哪种方法适合解答哪种类型的 题，再然后进行对比,探讨出它们的优缺点，最后文章举个例子来说明插值法有很大的作用，它 和我们是相连的，同时利用MATLAB给出了模拟图，通过这种数与形的结合，更好地了解各类 插值法的应用于特征.致谢本论文在苏晓琴老师的悉心指导下完成的，同样也是我第一次写这样的文章。苏晓琴老 师以其广博的知识、丰冨的经验和清晰的思路，自始至终给我以耐心

15、的指导，使我能够顺利 的完成论文写作；她严谨的治学态度和精益求精的工作方式给我留下深刻的印象，令我受益 匪浅；故借此论文完成之际，对苏晓琴老师表示深深的感谢。参考文献李庆扬，王能超.数值分析第5版【M.北京:厝华大学出版社,2008.2246.王仁宏数值逼近M.北京:北京高等出版社,1999.吴才斌插值法及其应用湖北大学成人教育学院学报,1999, (05):7780.彰湘晖几种常用插值方法比较分析卩】.黑龙江水利科技,2008,(01 ):6263.朱正佑，李根国程昌钧分数积分的一种数值计算方法及其应用UL应用数学和力 学,2003,(04):331 341.姜琴，周天宏常见的插值法及其应用

16、J.鄭阳师范高等专科学校学报,2006, (03):7780. 赵素军,吴勃英关于数值分析教学的几点探讨大学数学.2005,(03):28-30.Comparative Study of Various Kinds of InterpolationMethodAbstract： Interpolation is a k泊d of ancient mathematics method, at the same time, an old branch is in numerical calculation. Not only is it based of numerical in tegrati

17、on, numerical differentiati on, numerical solution ond differential equations, but also applies to medical scienee. communicotion. precision machining ond so on. This article first introduces the background of the interpolation and the basic idea of the five sectors of the method of interpolation, t

18、hen we combine the Lagrange interpolation with Newton interpolation. Polynomiol interpolation ond Hermite interpolation. Polynomial interpolation and Piecewise linear interpolation, Piecewise linear interpolation and Spline function interpolation, are given by the corresponding algorithm with the MA

19、TLAB program, then is given by comparing the five interpolation methods and the degree of approximation of the inserted function according to the learned knowledge, and the relation and differenee between the different methods are found out. And the end on this basis to further study the practical a

20、pplication of the interpolation method to improve the practicality of the interpolation method, which allows us to see a problem in the future application, we know which method is more suitable for it, and then greatly to improve efficiency quickly.Keywords： Polynomial interpolotion; Spline function interpolation; MATLAB program; Applicati on