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1、概率论公式大全第一章 随机事件和概率（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以

2、重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是 的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概

3、率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B，或者AB。A B=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记

4、为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率： ， （7）概率的公理化定义设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P() =13 对于两两互不相容的事件 ， ，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件 的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件 ，它是由 组成的，则有P(A)= =（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个

5、有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A

6、2，An，若P(A1A2An-1)0，则有 。（14）独立性两个事件的独立性 设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件 满足1 两两互不相容， ，2 ，则有。（16）贝

7、叶斯公式设事件 ， ， 及 满足1 ， ， 两两互不相容， 0， 1，2， ，2 ， ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（ ， ， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了 次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利

8、试验中 出现 次的概率， 。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有，则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 。2 。（3）离散与连续型随机变量的关系积分元 在连续型随机变量理论

9、中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 为随机变量， 是任意实数，则函数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即 时，有 ；3 ， ；4 ，即 是右连续的；5 。对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分

10、布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 的分布律为， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，b上为常数 ，即axb 其他，则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为 axb0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（ ）内的概

11、率为。指数分布 ,0, ,其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为 , x0。 记住积分公式：正态分布设随机变量 的密度函数为， ，其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。具有如下性质：1 的图形是关于 对称的；2 当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为。参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为， ，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0) 。如果 ，则 。（6）分位数下分位表： ；上分位表： 。（7）函数分布离散型已知 的分布列为 ，的分布列（ 互不相

12、等）如下：，若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布离散型如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件 = 的概率为pij,称为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 这里pij具有下面

13、两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）连续型对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在

14、已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图3.1、图3.2

15、和图3.3。y 1 D1 O 1 x 图3.1y D2 11 O 2 x 图3.2y D3 d c O a b x 图3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（但是若XN（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，fZ(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，Z=max,min(X1,X2,Xn)若 相互独立，其分布函数分别为 ，则

16、Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特

17、征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P( )pk，k=1,2,n，（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，标准差，矩对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即k=E(Xk)=k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X与

18、E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即=k=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(

19、X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p 二项分布np 泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n2)（5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D

20、（Y）也可分别记为 与 。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。 | |1，当| |=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当 时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y

21、);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为伯努利大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验

22、中发生的概率，则对于任意的正数，有 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数有（2）中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有（3）二项定理若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当 ，则其中k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。