浙江省中考数学总复习第四章基本图形一第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形讲解篇.docx

1、浙江省中考数学总复习第四章基本图形一第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形讲解篇第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形1等腰三角形考试内容考试要求概念有两条边的三角形是等腰三角形a性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有条对称轴2性质1：等腰三角形的两底角(简写成“等边对”)3性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的、底边上的相互重合(简写成“三线合一”)c判定1.有两边相等的三角形是等腰三角形；2有两角相等(简写成“等角对”)的三角形是等腰三角形2.等边三角形考试内容考试要求概念有条边相等的三角形叫做等边三角形a性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2等边三角形的三个角都相等，并且每个角都于；3等

2、边三角形是轴对称图形，共有条对称轴c判定1.三条边相等的三角形是等边三角形；2三个角都的三角形是等边三角形；3有一个角是的等腰三角形是等边三角形拓展S等边ABCaha2，ha，其中a为边长，h为高考试内容考试要求基本方法求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部c1(2017台州)如图，已知等腰三角形ABC，ABAC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()AAEEC BAEBE CEBCBAC DEBCABE2(2017丽水)等腰

3、三角形的一个内角为100，则顶角的度数是_3(2015义乌)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图1，衣架杆OAOB18cm，若衣架收拢时，AOB60，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_cm.【问题】如图，在ABC中，ABAC，BAC120，AEBE，D为EC中点(1)你能从图中得到哪些信息？(2)求CAE的度数；(3)求证：ADE是等边三角形【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识类型一等腰三角形的性质与判定如图，在ABC中，BC，点D在BC上(1)若顶角40，则一个底角的度数为_；(

4、2)若一个内角50，则顶角的度数为_；(3)若一个外角为100，则顶角的度数为_；(4)若ADBC，AB6，CD4，则ABC的周长是_(5)若BDDC，B50，则DAC_(6)若ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为_cm.【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：顶角还是底角、内角还是外角；对于(4)(5)没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答1(1)(2016泰安)如图，在PAB中，PAPB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AMBK，BNAK，若MKN44，则P的度数为()A44 B66 C88 D92(2) (

5、2017绍兴模拟)如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点若PBC70，则MPC的度数为()A20 B35 C40 D55(3) (2016滨州)如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为()A50 B51 C51.5 D52.5(4) (2017温州模拟)如图，等腰ABC中，ABAC，AD平分BAC，点E是线段BC延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE10cm，则ABBD cm.类型二等边三角形的性质与判定(1)等边ABC中，AB4，则它的高为_，ABC的面积为_

6、；(2) 如图1，等边ABC中，CD是ACB的平分线，过D作DEBC交AC于E，ABC的边长为a，则ADE的周长是_；(3) 如图2，等边ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CECD，则E的度数为_；(4) 如图3，等边ABC中，点D为BC边上的点，DEBC交AB于E，DFAC于F，则EDF的度数为_【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题2(1)(2016本溪模拟)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是.(2) (2017上海模拟)如图，以ABC的三边为边分别作等边ACD、ABE、BCF

7、，则下列结论：EBFDFC；四边形AEFD为平行四边形；当ABAC，BAC120时，四边形AEFD是正方形其中正确的结论是.(请写出正确结论的序号)3(2017河北模拟)如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F.(1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数类型三等腰三角形构造的分类讨论(2016黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，2)，点Q在坐标轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有_个【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q(即分类讨论)，以及利用勾股定理求出OP的长4(1)(201

8、7西宁模拟)如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，BDC90，连结AD，过点D作一条直线将ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是_度(2) (2016丹东模拟)如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP4，PBC60，点Q为正方形边上一动点，且PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 个类型四等腰三角形的探究问题(1)问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.填空：AEB的度数为_；线段AD、BE之间的数量关系是_(2)拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在

9、同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连结BE.请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD.若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)题的关键它是中考的热点题型5(2016江西模拟)有一三角形纸片ABC，A80，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则C的度数可以是.类型五等腰三角形的综合运用(2016石家庄模拟)如图，点O是等边ABC内一点

10、，AOB110，BOC，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连结OD.(1)求证：COD是等边三角形；(2)当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)6(2016河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为.(用含a

11、，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值 图1 图2(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标【探索研究题】(2016菏泽)如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.(1)如图1，若CABCBACDECED50.求证：ADBE；求AEB的度数(

12、2)如图2，若ACBDCE120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE2CMBN.【方法与对策】(1)通过角的计算找出ACDBCE，再结合ACB和DCE均为等腰三角形可得出“ACBC，DCEC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出ACDBCE，由此即可得出结论ADBE；结合中的ACDBCE可得出ADCBEC，再通过角的计算即可算出AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问

13、题这类问题是中考的热点题型【忽视等腰三角形腰的高线不明确】(2015西宁)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20，则顶角的度数是.参考答案第19讲特殊三角形第1课时等腰三角形【考点概要】1相等一相等等角中线高等边2.三60三相等60【考题体验】1C2.1003.18【知识引擎】【解析】(1)从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性 (2)根据等腰三角形两底角相等求出B30，BAEB30，CAE1203090； (3)根据直角三角形斜边上的中线性质得出ADECEDDC，得出DACC30，EAD60，ADE是等边三角形【例题精析】例1(1)70(2)80或50(3)80或

14、20(4)20(5)40(6)7例2(1)2；4；(2) a；(3)30；(4)60例3P(2，2)，OP2，当点Q在y轴上时，Q点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，(0，4)，(0，2)；当点Q在x轴上时，Q点的坐标分别为(2，0)，(2，0)，(4，0)，(2，0)所以共有8个故答案为：8.例4(1) 60ADBE；(2)AEB90；AE2CMBE.理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，ACDBCE，ADBE，BECADC135.AEBBECCED1354590.在等腰RtDCE中，CM为斜边DE上的高，C

15、MDMME，DE2CM.AEDEAD2CMBE.(3)或.PD1，BPD90，BP是以点D为圆心、以1为半径的D的切线，点P为切点第一种情况：如图1，过点A作AP的垂线，交BP于点P，可证APDAPB，PDPB1，CD，BD2，BP，AMPP(PBBP).第二种情况如图2，可得AMPP(PBBP).例5(1)将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，COCD，OCD60，COD是等边三角形(2)当150时，AOD是直角三角形理由是：将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，BOCADC，ADCBOC150，又COD是等边三角形，ODC60，ADOADCODC90，150，AOB110，CO

16、D60，AOD360AOBCOD3601501106040，AOD不是等腰直角三角形，即AOD是直角三角形(3)要使AOAD，需AODADO，AOD36011060190，ADO60，19060，125；要使OAOD，需OADADO.OAD180(AODADO)180(19060)50，6050，110；要使ODAD，需OADAOD.AOD36011060190，OAD120，190120，解得140.综上所述：当的度数为125或110或140时，AOD是等腰三角形【变式拓展】1(1)D(2)B(3)D(4)102.(1)45(2)3.(1)略(2)60.4.(1)120和150(2)55.2

17、5或40或106.(1)CB的延长线上ab(2)DCBE，理由如下：ABD和ACE为等边三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB，CADEAB.DCBE.BE的最大值是4. (3)AM长的最大值是32，点P的坐标为(2，)【热点题型】【分析与解】(1)CABCBACDECED50，ACBDCE18025080.ACBACDDCB，DCEDCBBCE，ACDBCE.ACB和DCE均为等腰三角形，ACBC，DCEC.在ACD和BCE中，ACBC，ACDBCE，DCEC，ACDBCE(SAS)，ADBE.ACDBCE，ADCBEC.点A，D，E在同一直线

18、上，且CDE50，ADC180CDE130，BEC130.BECCEDAEB，且CED50，AEBBECCED1305080. (2)ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE120，CDMCEM(180120)30.CMDE，CMD90，DMEM.在RtCMD中，CMD90，CDM30，DE2DM22CM.BECADC18030150，BECCEMAEB，AEBBECCEM15030120，BEN18012060.在RtBNE中，BNE90，BEN60，BEBN.ADBE，AEADDE，AEBEDE2CMBN.【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部即可求得顶角是9020110；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是902070.故答案为：110或70.