胡广书《现代信号处理教程》第二章.ppt

1、第2章 短时傅立叶变换与Gabor变换,2.1 连续信号的短时傅立叶变换2.2 短时傅立叶反变换2.3 离散信号的短时傅立叶变换2.4 Gabor变换的基本概念2.5 临界抽样时连续信号展开系数的计算2.6 过抽样情况下连续信号展开系数的计算,21 连续信号的短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）,其STFT定义为:,式中,窗函数应取对称函数。,概念：,的频谱的形状取决于，接近于有限支撑的。而频率中心由 来决定，这样，利用STFT可实现对 时频定位的功能。,由于 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的;同理，在时域也是有限支撑的;由于 在频域是线谱，

2、所以STFT的基函数,由于,所以：,STFT的频域表达式,有了时频定位功能，下面再关心其时频分辨率。,时频分辨率,时间中心 由 的中心位置所决定，即,频率中心 由G(v)的中心决定，即,时宽：,带宽：,时间中心在 处 频率中心在 处分辨“细胞”为,STFT的基函数,该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 的宽度而决定。,令，可以求出其,例1,若，则，这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间定位信息。其实，由于 为无限宽的矩形窗，故等于没有对信号作截短。,例3,令，则,例4,可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。,例5,设 由两个时频“原子”构成,一个时间中心在 处，时宽是32，另

3、一个时间中心在 处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25。,选择 为Hanning窗,窗函数的宽度为13,窗函数的宽度为55,谱图是恒正的，且是实的。,概念：,“谱图（spectrogram）”,由于,所以,谱图是信号能量的分布。,若，则,若，则,STFT和谱图的性质,2.2短时傅立叶反变换,短时傅里叶反变换有不同的表示形式：,取反变换,STFT的二维反变换来表示：,用 的对偶函数 来表示,2.3 离散信号的短时傅立叶变换,DTFT,DFT,2.4 Gabor变换的基本概念,早在1946年，Gabor就提出：可用时频平面上离散栅格上的点来表示一个连续的一维信号：,：栅格的时间长度：栅格

4、的频率长度,Gabor展开系数；,母函数,展开的基函数,移位调制,1.如何选择 a 和b？2.如何选择母函数 3.如何求Cm,n?,4.是否任一能量有限信号都可作 Gabor 分解？,？问题？,5.时频平面离散栅格上的任一个二维函数是否都唯一地对应一个一 维的信号？,如果，即栅格过稀，我们将缺乏足 够的信息来恢复原信号；如果 过小，必然会出现信息的冗余。类 似于对一维抽样时抽样频率过大的情况。,：临界抽样（Critical Sampling）：欠抽样（Undersampling）：过抽样（Oversampling）,欠抽样将引起信息的丢失，因此很少被研究；,Gabor最早提出：,使用高斯窗取临

5、界抽样,但是，由于展开系数计算的困难，Gabor展开长期没有被重视；从1946年1980年，人们也不断地提出一些计算的方法，但都不理想。直到 Bastians于1980年提出了用“对偶”函数计算Gabor系数的方法，这一问题才初步的被解决。当时，考虑的是 的临界情况,2.5 临界抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算,如何计算,？,假定内积结果就是,目标：找到 的关系：,满足该条件的 被认为是完备的，从而可实现对 的准确重建。,求解Gabor系数的方法：（1）选择一个母函数；（2）求其对偶函数，使之满足双正交关系；（3）做内积，从而得到。,可以证明，若矩形窗函数的宽度等于Gabor展开中

6、移位的步长，那么该矩形窗的移位之间是正交的，其对偶函数仍是同样的矩形窗。,对高斯窗,可以看出，在临界抽样的情况下，尽管 是高斯的，但 却是非高斯的，而且完全不具备能量集中的性能。可以设想，用这样的对偶函数来重建原信号，重建结果将是不稳定的。,Gabor展开和STFT的关系,即：Gabor系数是在离散栅格上求出的STFT,2.6 过抽样情况下连续信号 Gabor展开系数的计算,临界抽样，线性独立，对偶函数 存在，且唯一。有好的时频定位，却不一定；,过抽样，存在表示的冗余，但可求出，它可形成一个标架。,将标架理论推广到二维：若 构成标架，则,成立,过抽样情况下Gabor展开系数的计算:,选定一个窗函数；选定时频平面上的步长 和，要求,即 取 为大于1 的整数；计算 的Zak变换；计算 的Zak变换；计算,可得,做Zak反变换,计算展开系数,注意：还要包括信号的离散化,1 Gabor系数的快速计算，这包括连 续 Gabor展开，离散Gabor展开等；,2 Gabor标架理论,3 Gabor展开的应用,Gabor展开的研究大致可归纳为如下三个方面,Chirp信号的Gabor 变换，q=4,