数学建模竞赛获奖论文A题 油罐模型Word文件下载.docx

1、并在附录中给出罐容表标定值。通过考察模型三，通过最小二乘法求得 = 2.1, = 4.6（单位：角度），并将变位参数带入模型三中，经过附件2 中数据进行检验，得出大多数误差在1L 以内。关键词：卧式储油罐 体积标定 数值积分 最小二乘法 多重积分1.问题提出1.1 背景通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向

2、偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。图见附录。用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。1.2 问题（1） 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体，见附录），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（

3、2） 对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。2.条件假设1） 忽略油罐发生纵向位移以及横向位移时引起的油罐结构的变化2） 假设油罐发生变位角不会过大3） 假设油位探针、出油管以及进油管等设备对油罐内容积影响忽略不计33.符号说明4.问题分析4.1问题一分析问题一要求对小

4、椭圆油罐建立模型研究罐体变位后对罐容表的影响，给出油位高度间隔差为1cm 的罐容表标定值，并在附录中提供了实验数据。对于问题一，本文对两种情况，即无变位和变位时，分别建立数学模型，对罐体变位后对罐容表的影响进行评估，而附录中提供的数据可以用于检验模型的精确性以及与实际的误差。对于无变位的情况，可以利用几何学和积分学求得油罐中油的体积与油位高度的函数关系。对于变位的情况，类似地也可求得油罐中油的体积与油位高度的函数关系。对这两个函数关系进行考察即可。最后，利用题目附录中提供的数据检验模型，比较两个函数关系即可得出罐体变位后对罐容表的影响。利用油罐变位后的数学模型即可求得变位后油位高度间隔1cm时

5、的罐容表标定值。4.2 问题二分析问题二要求对于实际储油罐（如图一所示，见附录），建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，并根据实际检测数据确定变位参数。首先数学模型即为罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。在这里主要考虑变位参数的影响。由问题一得出纵向倾斜角度=4.1时油罐内储油量与油位高度的关系。将纵向倾斜角一般化可类似地求得油罐内储油量与纵向倾斜角的关系。由于油罐是圆筒形，所以水平倾斜时只要考虑浮标所测的油位高度变化即可。5.模型建立与求解45.1 问题一的解答5.1.1 模型建立无变位由下图5.1.1.1，1 1 v = S（h ） l，即无变位时，

6、储油量1 v 与浮标测定的高度1 h的关系，其中1 S（h ）是油位高度为1 h 时，油罐椭圆截面的面积。1 （ ） 1 arcsinS h ab则其中a = 0.89m,b = 0.6m,l = 2.45m有变位1有变位时，变位角=4.1时，油罐储油量与浮标所测定的高度1 h 的关系有五种情况，下面分情况讨论（1）.如下图5.1.1.2，由于有纵向倾角，但浮标显示是0 时，油罐内实际并不为零。经过计算可得：1 1 当h = 0时，V 1.6743L;5（2）.如下图5.1.1.3，表示油罐内的油量的平面低于所示虚线，此时油罐的正面示意图是三角形。则有1 1 当0 h 2.05tanm,即0

7、h 146.9458mm时：0.4 tan 1h yz b ab yaV h dxdydz+ - - -= 1 20.4 tan0 22 1z bya dydz+ -= -0.4tan tan tan1 arcsinh z b z b z bab dz + - - - = - z tan, -令u =图5.1.1.2图5.1.1.361 0.4tantan 2h bb abu u u du = - + + 原式tan 3ab b h b + - = - - + 1 0.4 tanab h b + - - +（ ） 1 0.4 tanab + - （3）.如下图5.1.1.4，油罐内油量的液面低

8、于所示虚线，此时油没有完全覆盖油罐的任意一个底面：1 1 当2.05tan h 1.2 -0.4tan,即146.9458h 1171.3276时：（ ） 10.4 tan arcsin + - +图5.1.1.471.2 1 tan1 1.22.45 1 tanz a- - - -积分方法同上可得2.05tanV h - - = - - + - - + - + - + + - - - 2.05tan arcsin - - - - -1 2.05tan - - 2.45 tanab 8（4）.如下图5.1.1.5，油罐内油完全覆盖油罐的一个底面。1 1 当1.2-0.4tan h 1.2m,即

9、1171.3276mmh 1.2mm时：tan 12.05 1 tana h y bV h V dxdydz= + （0.4 ）,tan aV ab其中= -（0.4 ） ab原式= - + - - -（ ） 1 3 2.05tanb h - + 图5.1.1.59（5）.如下图5.1.1.6，浮标测得的油位高度显示油罐为满，然而实际上并没有满。此时经计算得到：1 1当h =1.2m时，4012.747 V 4110.146L5.1.2 模型求解及改进首先对5.1.1 中建立的模型，用题目附录中的数据进行检验。对于无变位的模型，将题目附录中的提供的数据中的油位高度带入函数关系式可求得相应的储油

10、罐中的容量，然后与题目附录中的储油量高度进行比对，发现相对误差维持在3.48%左右。由于相对误差几乎保持不变，我们可以认为实际测量过程存在系统误差。可以对这个结果加以修正。模型修正对无变位的油罐模型进行修正。在这里定义残差 为实际测量值与模型所得值的差，即 =V -V（h）。（其中V 表示实验测得的油罐内油容量，V（h）表示当油位高度为h时，由模型求得的油罐内油的容量）。建立关系 - -V（h）， 关于油位高度V（h）的拟合图像如下。y = 0.0337x - 0.0012R2 = 1204060801001201401600 1000 2000 3000 4000 5000系列1线性 （系列

11、1）图5.1.1.6图5.1.2.110函数关系为 = 0.0337V（h） -0.0012，对原无变位模型进行修正得1 V = v + 。此时利用附件中的数据对其进行验证得绝对误差绝对值在0.01L 以内，相对误差在5 10- 数量级或者更小。具体图表见附录中表2。对于油罐变位后的模型，与无变位的检验同理。得到相对误差在1%5%以在可容许的范围内，因此我们认为此模型有效。油罐变位后对罐容表的影响可以通过比较无变位和有变位的数学模型得出。利用MATLAB2在一定区间内对两个模型作图于同一个坐标系中。程序见附件。图形如下图5.1.2.1。由图可看出在一定区间内，变位后相同油位高度的情况下实际储油

12、量要比无变位的储油罐在相同油位高度下的储油量要少，且差值保持在一定值左右波动。这一点也可以从题目附录中的数据得到验证。在高度相同的情况下，无变位与变位的油罐模型油量差值保持在200L 左右。当然，由5.1.1.1 的变位模型的第一种情况可知，变位后的油罐在浮标测得高度之前就可能已含有油，即由于倾角的影响，浮标显示油位高度为0，而变位油罐可能并不是空的。同理知5.1.1.1 的变位模型第五种，当浮标显示油位高度为满的时候，由于倾角的影响，油罐实际上的储油量可能并不是满的。考虑到在现实情况下，纵向倾角不可能太大，所以变位油罐模型的第一种和第五种情况不做过多讨论。图5.1.2.211另外，罐体变位后

13、油位高度间隔为1cm的罐容表标定值可以由模型得到，结果如下：罐体变位后罐容表标定值高度0.00mm V = 1.67L高度10.00mm V = 3.53L高度20.00mm V = 6.26L高度30.00mm V = 9.97L高度40.00mm V = 14.76L高度50.00mm V = 20.69L高度60.00mm V = 27.85L高度70.00mm V = 36.32L高度80.00mm V = 46.14L高度90.00mm V = 57.39L高度100.00mm V = 70.13L高度110.00mm V = 84.40L高度120.00mm V = 100.25L

14、高度130.00mm V = 117.75L高度140.00mm V = 136.92L高度150.00mm V = 157.82L高度160.00mm V = 180.26L高度170.00mm V = 204.00L高度180.00mm V = 228.91L高度190.00mm V = 254.88L高度200.00mm V = 281.86L高度210.00mm V = 309.76L高度220.00mm V = 338.54L高度230.00mm V = 368.14L高度240.00mm V = 398.53L高度250.00mm V = 429.66L高度260.00mm V =

15、 461.49L高度270.00mm V = 494.00L高度280.00mm V = 527.14L高度290.00mm V = 560.90L高度300.00mm V = 595.25L高度310.00mm V = 630.15L高度320.00mm V = 665.58L高度330.00mm V = 701.53L高度340.00mm V = 737.96L高度350.00mm V = 774.86L高度360.00mm V = 812.20L高度370.00mm V = 849.97L高度380.00mm V = 888.15L高度390.00mm V = 926.72L12高度40

16、0.00mm V = 965.66L高度410.00mm V = 1004.95L高度420.00mm V = 1044.58L高度430.00mm V = 1084.53L高度440.00mm V = 1124.79L高度450.00mm V = 1165.34L高度460.00mm V = 1206.16L高度470.00mm V = 1247.23L高度480.00mm V = 1288.56L高度490.00mm V = 1330.11L高度500.00mm V = 1371.88L高度510.00mm V = 1413.85L高度520.00mm V = 1456.02L高度530.

17、00mm V = 1498.35L高度540.00mm V = 1540.85L高度550.00mm V = 1583.50L高度560.00mm V = 1626.28L高度570.00mm V = 1669.19L高度580.00mm V = 1712.21L高度590.00mm V = 1755.32L高度600.00mm V = 1798.52L高度610.00mm V = 1841.80L高度620.00mm V = 1885.13L高度630.00mm V = 1928.51L高度640.00mm V = 1971.93L高度650.00mm V = 2015.37L高度660.0

18、0mm V = 2058.82L高度670.00mm V = 2102.28L高度680.00mm V = 2145.71L高度690.00mm V = 2189.13L高度700.00mm V = 2232.50L高度710.00mm V = 2275.82L高度720.00mm V = 2319.09L高度730.00mm V = 2362.27L高度740.00mm V = 2405.37L高度750.00mm V = 2448.37L高度760.00mm V = 2491.26L高度770.00mm V = 2534.02L高度780.00mm V = 2576.64L高度790.00

19、mm V = 2619.12L高度800.00mm V = 2661.42L高度810.00mm V = 2703.55L高度820.00mm V = 2745.49L高度830.00mm V = 2787.22L13高度840.00mm V = 2828.74L高度850.00mm V = 2870.02L高度860.00mm V = 2911.06L高度870.00mm V = 2951.83L高度880.00mm V = 2992.33L高度890.00mm V = 3032.53L高度900.00mm V = 3072.43L高度910.00mm V = 3112.00L高度920.0

20、0mm V = 3151.23L高度930.00mm V = 3190.11L高度940.00mm V = 3228.61L高度950.00mm V = 3266.72L高度960.00mm V = 3304.42L高度970.00mm V = 3341.69L高度980.00mm V = 3378.51L高度990.00mm V = 3414.86L高度1000.00mm V = 3450.72L高度1010.00mm V = 3486.06L高度1020.00mm V = 3520.87L高度1030.00mm V = 3555.11L高度1040.00mm V = 3588.77L高度1

21、050.00mm V = 3621.81L高度1060.00mm V = 3654.20L高度1070.00mm V = 3685.91L高度1080.00mm V = 3716.92L高度1090.00mm V = 3747.17L高度1100.00mm V = 3776.64L高度1110.00mm V = 3805.27L高度1120.00mm V = 3833.01L高度1130.00mm V = 3859.82L高度1140.00mm V = 3885.62L高度1150.00mm V = 3910.33L高度1160.00mm V = 3933.86L高度1170.00mm V =

22、 3956.06L高度1180.00mm V = 3976.66L高度1190.00mm V = 3995.54L高度1200.00mm 4012.74L = V = 4110.15L5.2问题二的解答5.2.1 模型建立问题二要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，并根据附件中的实验检14测数据确定变位参数。首先建立数学模型。油罐的示意图如下，先考虑只有纵向位移两条虚线为水平线，倾角为 ，则油罐内容积为V =V1 +V2 +V3。其中1 V 为油罐中间部分体积， 2 3 V ,V 分别为两球冠的体积。下面分别利用几何学，以及积分分别求解1 2 3 V ,V ,V 。5.2.2 模型求解5.2

23、.2.1 求解1 V1 V 的情况与第一问类似，需要分五种情况进行讨论，由于有些情况比较类似，在这里主要讨论一般情况，如下图所示。先考虑只存在纵向倾角由三角形的相关性质可得：1 1 1 2 + tan , tan a b h = h l h = h -l ，S 为图b 所示部分的面积，可推出152 （ ）= 1 arcsinh r h r h rS S h rr r r - - - = - ，其中r 为截面圆的半径，则（ ） （ ） （ ） （ ）3 32 2 2 21 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 arcsin 1 arcsin 1tan 3 3 2x x r x x x x x x x x r= - - - + + - - - - + - 其