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高中数学指数函数和对数函数例题精讲.docx

1、高中数学指数函数和对数函数例题精讲高中数学-指数函数和对数函数例题精讲 解 A例2 f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是 A(0,+) B(5,+)C(6,+) D(-,+)解 B 因为f(x)=x2+55,即f(x)的值域为(5,+),故f-1(x)的定义域为(5,+)例3 下列函数中,值域是(0,+)的一个函数是 解 B例4 函数y=(a2-1)x在(-,+)上是减函数,则a的取值范围是 例5 已知ab,ab0审查下列不等式其中恒成立的有 A1个 B2个 C3个 D4个解 C解 (0,1)例7 使函数yx2-x-12递减的x的取值范围是_例8 根据不等式确定正数a的取值范围:(1)

2、a-0.3a0.2,则a_;(2)a7.5a3.9,a_;解 (1)(1,+) (2)(0,1) (3)(0,1)(1)指出函数的奇偶数,并予以证明;(2)求证:对任何x(xR且x0),都有f(x)0所以f(x)是偶函数(2)当x0时,2x1,所以f(x)0当x0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)0所以对一切xR,x0,恒有f(x)0注 利用函数的奇偶性常可使解法简化如本例(2),当x0时,证明f(x)0较繁若注意到f(x)为偶函数,则只须证明,当x0时f(x)0,而这是显然的(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)证明f(x)是区间(-,+)上的增函数;(3)求函数的值域解 (1)

3、f(x)的定义域为R又所以f(x)为奇函数在R上为增函数 Aabc BacbCbca Dcba解 C 例14 对数式loga(x+1),logax2,loga(-x),loga(1-|x|)中的x的 例15 如果f(lgx)=x,则f(3)的值等于 Alog3 Blog310 Cl03 D310解 C 令lgx=3,则x=103例16 若log2x=log3y=log5z0,则 解 B 令log2x=log3y=log5z=k,有x=2k,y=3k,z=5k于是例17 已知ab=M(a0,b0,M1)且logMb=x,则logMa的值为 解 A 因为ab=M,所以logMab=logMM=1,

4、即logMa+logMb=1但logMb=x,所以logMa=1-x例18 计算:(1)25log53=_例20 设M=0,1,N=11-a,log10a,2a,a,是否存在事实上,若lga=1,则a=10此时11-a=1,从而11-a=lga=1,此与集合元素互异性矛盾若2a=1,则a=0此时lga无意义1,则a=10,从而lga=1,与集合元素互异性矛盾例22 化简:例23 设a,b同号,且a2-2ab-9b2=0,求lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)的值 解 A AR B(-,-3C8,+) D3,+)解 B例26 若f(x)=loga|x+1|在(-1,0)内f

5、(x)0,则f(x) A在(-,0)内单调递增B在(-,0)内单调递减C在(-,-1)内单调递减D在(-,-1)内单调递增解 D 依题设,f(x)的图象关于直线x=-1对称,且0a1画出图象(略)即知D正确例27 已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x2+lg(x+1),那么当x0时,f(x)的解析式是 A-x2-lg(1-x) Bx2+lg(1-x)Cx2-lg(1-x) D-x2+lg(1-x)解 A 设x0,则-x0,所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)例28 函数y=5x+1的反函数是 Ay=log5

6、(x+1) By=logx5+1Cy=log5(x-1) Dy=log(x-1)5解 C解 (1)奇函数 f(x)为奇函数(2)3.373 因为(x)=x2+f(x),又由(1)知,f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)所以(-2)=(-2)2+f(-2)=222-(22+f(2)=8-(2)=8-4.627=3.373例31 若1x2,则(log2x)2,log2x2,log2(log2x)的大小关系是_log2(log2x)(log2x)2log2x2(1)判断f(x)的奇偶性;(2)已知f(x)存在反函数f-1(x),若f-1(x)0,求x的取值范围另一方面,有所以f(x)是奇函数

7、故当a1时,x0;当0a1时,x0例33 已知常数a,b满足a1b0,若f(x)=lg(ax-bx),(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数;(3)若f(x)恰在(1,+)上恒取正值,且f(2)=lg2,求a,b的值(2)任取x1,x2(0,+),且x1x2因为a1,所以g1(x)=ax是增函数,所以ax1-ax20故f(x)=lg(ax-bx)在(0,+)内是增函数(3)因为f(x)在(1,+)内为增函数,所以对于x(1,+)内每一个x值,都有f(x)f(1)要使f(x)恰在(1,+)上恒取正值,即f(x)0只须f(1)=0于是f(1)=lg(a-b)=0,

8、得a-b=1又f(2)=lg2,所以lg(a2-b2)=lg2,所以a2-b2=2,即(a+b)(a-b)=2而a-b=1,所以a+b=2例34 设0x1,a0且a1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小解 作差比较因为0x1,所以01-x1,11+x2,01-x21当a1时,|loga(1-x)|=-loga(1-x),|loga(1+x)|=loga(1+x)所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0即 |loga(1-x)|loga(1+x)|当0a1时,|loga(1-x)|=loga(1

9、-x),|loga(1+x)|=-loga(1+x)所以 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)0即 |loga(1-x)|loga(1+x)|注 本例也可用作商比较法来解例35 设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围解 根据题意,可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件:例36 设函数f(x)=log2(3-2k)x2-2kx-k+1,求使f(x)在(-,0)内单调递减,而在(1,+)内单调递增的所有实数k组成的集合M必须有g(x)0,3-2k0,且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于0,1于是

10、k确定于不等式组例37 在函数y=logax(0a1,x1)的图象上有A,B,C三点,它们的横坐标分别是m,m+2,m+4(1)若ABC面积为S,求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性;(3)求S=f(m)的最大值解 (1)由A,B,C三点分别向x轴作垂线,设垂足依次为A1,B1,C1,则38 log34log48log8m=log416,则m为 解 B 由已知有 Aba1B1ab0Cab1D1ba0解 A 由已知不等式得故选A 故选A A1,+ B(-,1 C(0,2) D1,2)2x-x20得0x2又t=2x-x2=-(x-1)2+1在1,+)上是减函数, AmpnqBnpmqCm

11、npqDmqpn例43 (1)若logac+logbc=0(c0),则ab+c-abc=_;(2)log89=a,log35=b,则log102=_(用a,b表示)但c1,所以lga+lgb=0,所以ab=1,所以ab+c-abc=1例44 函数y=f(x)的定义域为0,1,则函数flg(x2-1)的定义域是_由题设有0lg(x2-1)1,所以1x2-110解之即得例45 已知log1227=a,求log616的值例46 比较下列各组中两个式子的大小:例47 已知常数a0且a1,变数x,y满足3logxa+logax-logxy=3(1)若x=at(t0),试以a,t表示y;(2)若tt|t2-4t+30时,y有最小值8,求a和x的值解 (1)由换底公式,得即 logay=(logax)2-3logax+3当x=at时,logay=t2-3t+3,所以y=ar2-3t+3(2)由t2-4t+30,得1t3值,所以当t=3时,umax=3即a3=8,所以a=2,与0a1矛盾此时满足条件的a值不存在

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