第八章第七节 第1课时 审题上4大策略找到解题突破口.docx

1、第八章 第七节 第1课时 审题上4大策略找到解题突破口第七节完胜解析几何压轴大题策略指导第1课时审题上4大策略找到解题突破口解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在突破解析几何难题，先从找解题突破口入手策略一利用向量转化几何条件典例如图所示，已知圆C：x2y22x4y40，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解题观摩假设存在斜率为1的

2、直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点设直线l的方程为yxb，点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去y并整理得2x22(b1)xb24b40，所以x1x2(b1)，x1x2.因为以AB为直径的圆过原点，所以OAOB，即x1x2y1y20.又y1x1b，y2x2b，则x1x2y1y2x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20.由知，b24b4b(b1)b20，即b23b40，解得b4或b1.当b4或b1时，均有4(b1)28(b24b4)4b224b360，即直线l与圆C有两个交点所以存在直线l，其方程为xy10或xy40.题后悟通以AB为直径的圆过原点

3、等价于OAOB，而OAOB又可以“直译”为x1x2y1y20，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题针对训练1已知椭圆M：1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点，左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A，B两点(1)求椭圆M的离心率及短轴长(2)问：是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，椭圆M的离心率e，短轴长2b2.(2)设点B(x0

4、，y0)，由题意知BCBF1，点F1(1,0)，C(2，0)，由BCBF10，得(2x0，y0)(1x0，y0)0，即(x02)(x01)y0.又知点B(x0，y0)满足1.联立，解得x02或x010.由椭圆方程知，x02或x010均不满足题意，故舍去因此，不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上策略二角平分线条件的转化典例已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，求证：直线l过定点解题观摩(1)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理

5、得x242(x4)2y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：法一：由题意可设直线l的方程为ykxb(k0)联立得k2x22(kb4)xb20.由4(kb4)24k2b20，得kb2.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为x轴是PBQ的角平分线，所以kPBkQB0，即kPBkQB0，所以kb0，即bk，所以l的方程为yk(x1)故直线l恒过定点(1,0)法二：设直线PB的方程为xmy1，它与抛物线C的另一个交点为Q，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由条件可得，Q与Q关于x轴对称，故Q(x2，y2)联立消去x得y28my80，其中64m2320，

6、y1y28m，y1y28.所以kPQ，因而直线PQ的方程为yy1(xx1)又y1y28，y8x1，将PQ的方程化简得(y1y2)y8(x1)，故直线l过定点(1,0)法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ的方程为xmya.联立消去x，整理得y28my8a0，0.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由条件可知kPBkQB0，即kPBkQB0，所以8ma8m0.由m的任意性可知a1，所以直线l恒过定点(1,0)法四：设P，Q，因为x轴是PBQ的角平分线，所以kPBkQB0，整理得(y1y2)0.因为直线l不垂直于x轴，所以y1y20，

7、可得y1y28.因为kPQ，所以直线PQ的方程为yy1，即y(x1)故直线l恒过定点(1,0)题后悟通本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式针对训练2如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ

8、两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则直线PA，PB的斜率互为相反数，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为yk(x2)，联立方程，得消去y，得(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得x22，x1x2，x1x2，kAB.直线AB的斜率为定值.策略三弦长条件的转化典例如图所示，已知椭圆G

9、：y21，与x轴不重合的直线l经过左焦点F1，且与椭圆G相交于A，B两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于C，D两点(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率(2)是否存在直线l，使得|AM|2|CM|DM|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解题观摩(1)由题意可知点F1(1,0)，又直线l的斜率为1，故直线l的方程为yx1.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理得3x24x0，则x1x2，y1y2，因此中点M的坐标为.故直线OM的斜率为.(2)假设存在直线l，使得|AM|2|CM|DM|成立由题意，直线l不与x轴重合，设直线l的方程为xmy1.由消去

10、x并整理得(m22)y22my10.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得|AB|y1y2| ，x1x2m(y1y2)22，所以弦AB的中点M的坐标为，故直线CD的方程为yx.联立消去y并整理得x22，解得x2.由对称性，设C(x0，y0)，D(x0，y0)，则x，可得|CD|2x0|2 .因为|AM|2|CM|DM|(|OC|OM|)(|OD|OM|)，且|OC|OD|，所以|AM|2|OC|2|OM|2，故|OM|2，即|AB|2|CD|24|OM|2，代入|AB|，|CD|和|OM|，得4，解得m22，故m.所以直线l的方程为xy1或xy1.题后悟通本题(2)的核心在于转化|AM

11、|2|CM|DM|中弦长的关系由|CM|OC|OM|，|DM|OD|OM|，又|OC|OD|，则|AM|2|OC|2|OM|2.又|AM|AB|，|OC|CD|，因此|AB|2|CD|24|OM|2，转化为弦长|AB|，|CD|和|OM|三者之间的数量关系，易计算针对训练3已知圆M：(x)2y2r2(r0)，椭圆C：1(ab0)的右顶点为圆M的圆心，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若存在直线l：ykx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|BH|，求圆M的半径r的取值范围解：(1)设椭圆C的焦距为2c，因为a，所以c1，因此b1.故椭

12、圆C的方程为y21.(2)由直线l与椭圆C交于A，B两点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(12k2)x220，所以x1x20，x1x2，则|AB| .因为点M(，0)到直线l的距离d，所以|GH|2.显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线ykx就是y轴，与已知矛盾要使|AG|BH|，只需|AB|GH|，即4，所以r22.当k0时，得r.当k0时，r2223.又显然r222，所以r.综上所述，圆M的半径r的取值范围是，)策略四面积条件的转化典例设椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆交于E，F两点，求四边形AEBF的面积的最

13、大值解题观摩法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .根据点到直线的距离公式和，得点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2.又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)2222，当且仅当4k，即k时取等号因此四边形AEBF的面积的最大值为2.法二：依题意得椭圆的方程为y21.直线EF的方程为ykx(k0)设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2.联立消去y，(14k2)x24.故x1，x2，|EF|x

14、1x2| .根据点到直线的距离公式，得点A，B到直线EF的距离分别为d1，d2 .因此四边形AEBF的面积为S|EF|(d1d2)2222，当且仅当4k，即k时取等号因此四边形AEBF的面积的最大值为2.题后悟通如果利用常规方法理解为S四边形AEBFSAEFSBEF|EF|(d1d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF|的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂而通过分析，若把四边形AEBF的面积拆成两个小三角形ABE和ABF的面积之和，则更为简单因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离

15、即可针对训练4已知椭圆C：1的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P(n,0)(n4)满足条件e.(1)求n的值；(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记PMF和PNF的面积分别为S1，S2，求证：.解：(1)依题意，e，|FA|2，|PA|n4(n4)，得，解得n8.(2)证明：由S1|PF|PM|sinMPF，S2|PF|PN|sinNPF，则.设直线l的方程为xmy2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，又P(8，0)，则kPMkPN.联立消去x并整理得(3m24)y212my360，所以所以kPMkPN0，则MPFNPF，因此.总结规律快速转化做数学，就是要学会翻译，把文字

16、语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题附几种几何条件的转化，以供参考：1平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2直角三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为1，或向量数量积为0(2)勾股定理两点间的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点间的距离公式3等

17、腰三角形条件的转化几何性质代数实现(1)两边相等两点间的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4菱形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角、直角、钝角角的余弦(向量数量积)的符号(2)倍角、半角、平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例线段或斜率