全等三角形解答题答案解析.docx

1、全等三角形解答题答案解析2016暑假作业(七)全等三角形解答题答案参考答案与试题解析一解答题（共28小题）1（2012邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD求证：ADBC【解答】证明：AC、BD交于点O，AOD=COB，在AOD和COB中，AODCOB（SAS）A=C，ADBC2（2016重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AEBD求证：EFCD【解答】证明：AEBD，A=B，AC=BF，AC+CF=BF+CF，BC=AF，在EAF和DBC中，EAFDBC（SAS），EFA=BCD，EFCD3（2015于洪区一模）如图1，在ABC中

2、，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由【解答】证明：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFB

3、D当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90度BAC=90，DAF=BAC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90度即CFBD（2）当ACB=45时，CFBD（如图）理由：过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即CFB

4、C4（2014南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B进行分类，可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B是直角时，ABCDEF（1）如图，在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据HL，可以知道RtABCRtDEF第二种情况：当B是钝角时，ABCDEF（2）如图，在ABC

5、和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是钝角，求证：ABCDEF第三种情况：当B是锐角时，ABC和DEF不一定全等（3）在ABC和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF和ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）（4）B还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请直接写出结论：在ABC和DEF中，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E都是锐角，若BA，则ABCDEF【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CGAB交AB的延长线于G，过点F作FHDE交DE的延长线于H，ABC=DEF，且ABC、DEF都是钝角，180AB

6、C=180DEF，即CBG=FEH，在CBG和FEH中，CBGFEH（AAS），CG=FH，在RtACG和RtDFH中，RtACGRtDFH（HL），A=D，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）；（3）解：如图，DEF和ABC不全等；（4）解：若BA，则ABCDEF故答案为：（1）HL；（4）BA5（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DEAC；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=

7、S2（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长【解答】解：（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的

8、性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F

9、1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或6（2013烟台）已知，点P是直角

10、三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AEBF，QE与QF的数量关系式QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明【解答】解：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图1，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ=90，在BFQ和AEQ中BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为

11、：AEBF；QE=QF（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，QE=QF=QD，即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，Q为AB中点，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，FQ是斜边DE上的中线，QE=QF7（2013涪陵区校级模拟）如图，ADE的顶点D在ABC的BC边上，且ABD=ADB，BAD=

12、CAE，AC=AE求证：BC=DE【解答】证明：ABD=ADB，AB=AD，BAD=CAE，BAD+DAC=CAE+DAC，即BAC=DAE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），BC=DE8（2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1）ABD不动，（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、

13、MC的数量关系还成立吗？说明理由【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得ABDACE，AD=AE，AB=AC，BAD=CAE，MD=ME，MAD=MAE，MADBAD=MAECAE，即BAM=CAM，在ABM和ACM中，ABMACM（SAS），MB=MC；（2）MB=MC理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E，延长EC交AD于F，BD=BE，CE=CF，M是ED的中点，B是DE的中点，MBAE，MBC=CAE，同理：MCAD，BCM=BAD，BAD=CAE，MBC=BCM，MB=MC；（3）MB=MC还成立如图4，延长BM交CE于F，CEBD，MDB=MEF，MBD=MFE，又M是DE

14、的中点，MD=ME，在MDB和MEF中，MDBMEF（AAS），MB=MF，ACE=90，BCF=90，MB=MC9（2012昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量

15、关系，并证明【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE

16、BGEF=BEFD10（2009沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且060，其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60180，其它条件不变，如图你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由【解答】（1）证明：连接BF（如图），ABCDBE（已知），

17、BC=BE，AC=DEACB=DEB=90，BCF=BEF=90BF=BF，RtBFCRtBFECF=EF又AF+CF=AC，AF+EF=DE（2）解：画出正确图形如图（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）不成立证明：连接BF，ABCDBE，BC=BE，ACB=DEB=90，BCF和BEF是直角三角形，在RtBCF和RtBEF中，BCFBEF（HL），CF=EF；ABCDBE，AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF11（2015菏泽）如图，已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（

18、2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由【解答】解：（1）CDF是等腰直角三角形，理由如下：AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FDA=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形；（2）作AFAB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，AFAD，ABC=90，FAD=DBC，在FAD与DBC中，FADDBC（SAS），FD=DC，CDF是等腰三角形，FADDBC，FD

19、A=DCB，BDC+DCB=90，BDC+FDA=90，CDF是等腰直角三角形，FCD=45，AFCE，且AF=CE，四边形AFCE是平行四边形，AECF，APD=FCD=4512（2016常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，ABAD，连接AC，过点A作AEAC，且使AE=AC，连接BE，过A作AHCD于H交BE于F（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：ABCADE；BF=EF；（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论【解答】证明：（1）如图1，ABAD，AEAC，BAD=90，CAE=90，1=2，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS）；如图1

20、，ABCADE，AEC=3，在RtACE中，ACE+AEC=90，BCE=90，AHCD，AE=AC，CH=HE，AHE=BCE=90，BCFH，=1，BF=EF；（2）结论仍然成立，理由是：如图2所示，过E作MNAH，交BA、CD延长线于M、N，CAE=90，BAD=90，1+2=90，1+CAD=90，2=CAD，MNAH，3=HAE，ACH+CAH=90，CAH+HAE=90，ACH=HAE，3=ACH，在MAE和DAC中，MAEDAC（ASA），AM=AD，AB=AD，AB=AM，AFME，=1，BF=EF13（2015春鄄城县期末）如图1，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过

21、点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BDAE于点D，CEAE于点E（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由【解答】解：（1）BD=DE+CE成立，BAC=90，BDAE，CEAE，BDA=AEC=90，ABD+BAE=90，CAE+BAE=90ABD=CAE，AB=AC，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE，BD=DE+CE；（2）BD=DECE；BAC=90，BDAE，CEAE，BDA=AEC=90，ABD+DAB=DEB+CAE，ABD=CAE，AB

22、=AC，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），BD=AE，AD=CE，AD+AE=BD+CE，DE=BD+CE，BD=DECE14（2015秋微山县期末）已知：在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1）求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2）那么图中是否存在与AM相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点D是AB的中点，AC=BC，ACB=90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=45CAE=BCGBFCE，CBG

23、+BCF=90ACE+BCF=90，ACE=CBG在AEC和CGB中，AECCGB（ASA）AE=CG（2）图中存在与AM相等的线段，AM=CE证明：CHHM，CDED，CMA+MCH=90，BEC+MCH=90CMA=BECAC=BC，ACM=CBE=45，在CAM和BCE中，CAMBCE（AAS）AM=CE15（2015秋丰润区期末）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D，CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACF=CBG求证：（1）AF=CG；（2）DG=CF；（3）直接写出CF与DE的数量关系【解答】证明

24、：（1）ACB=90，AC=BC，CG平分ACB，CAF=CBA=45，BCG=ACG=45，BCG=CAF=45CBG=ACF，AC=BCBCGCAF，BG=CF；（2）连接AG，如图1所示：在ACG与BCG中，ACGBCG，AG=BG，GBA=GAB，ADABD=90GBA=90GAB=GAD，AG=DG由（1）BG=CF，DG=CF；（3）如图2，延长CG交AB于H，CG平分ACB，AC=BC，CHAB，CH平分AB，ADAB，ADCG，D=EGC，在ADE与CGE中，ADECGE（AAS），DE=GE，即DG=2DE，ADCG，CH平分AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE16（2015秋宜宾期末）如图，在ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m上，ADB=AEC=BAC（1）求证：DE=DB+EC；（2）若BAC=120，AF平分BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断DEF的形状，并写出证明过程【解答】（1）证明：ADB=AEC=BAC，ADB+ABD+BAD=BAD+BAC+EAC=180，ABD=EAC，在ABD与ACE中，ABDAEC，BD=AE，DE=AD+AE，DE=DB+EC；（2）DEF为等边三角形理由：ABF和ACF均为等边三角形BF=AF=AB=AC=CF，BAF=CAF=ABF=60