1、竞赛讲座1整数问题知识内容质数合数奇数偶数整数整除的概念竞赛讲座 1:整数问题 知识内容:质数、合数、奇数、偶数、整数整除的概念和性质。 思想方法:因数分解法、奇偶分析法、分类讨论等 一质数、合数1、p 是质数,并且 p6+3 也是质数,则 p11-52= .2 2 2 2 2 2 2 22、若 a、b、c、d 为整数,且 (a b )(c d ) =1997,则 a2+b2+c2+d2= 23、已知 a是质数, b是奇数,且 a2 b 2001 ,则 a+b= _.8594334、超级计算机曾找到的最大质数是 2859433 1,这个质数的末尾数字是( )A1 B 3 C7 D95、若正整数
2、 a、 b、 c满足 a2 b2 c 2 , a为质数,那么 b、c 两数( )A同为奇数 B同为偶数 C一奇一偶 D 同为合数6、若质数 m、 n 满足 5m+7n=129 ,则 m+n= .7、已知三个质数 m、n、p 的积等于这三个质数的和的 5倍,则 m2 n2 p2 = 8、已知三个不同的质数 a、b、c满足 abbc a 2000 ,那么 a+b+c= .9、一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数,我们称它为“无暇质数”,则所有“无瑕质数”之和等于 .10、求这样的质数,当它加上 10和 14时,仍为质数。11、已知:正整数 p、 q都是质数,且 7p+q与
3、pq+11,也都是质数,试求 pq qp的值。12、用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为 xcm 规格的地砖,恰用 n块;若选用边长为 ycm 规格的地砖,则比前一种刚好多用 124 块。已知 x、 y、n 都是正整数,且 (x,y) 1, 试问这块地有多少平方米?二奇数、偶数1、三个质数之和为 86,那么这三个质数是 .2、如果 x、y、z是三个任意整数,那么 x y,x z, y z( ) 222A都不是整数 B 至少有两个整数 C 至少有一个整数 D 都是整数3、 的前 24 位数值为 3.14159265358979323846264 ,在这 24 个数字中,随意地逐个
4、抽取 1 个数字,并依次记作: a1,a2, ,a24 ,则 (a1 a2)(a3 a4) (a23 a24)为( )A奇数 B 偶数 C 奇数或偶数 D 质数4、在 1,2,3, 2010中的每一个数的前面,任意添上一个“ +”或“ -”,那么最后运算的结果是奇数还是偶数?5、设 1,2,3, 9的任一排列为 a1,a2,a9.求证:(a1-1)(a 2-2) (a 9-9)是一个偶数6、有 n 个数 x1, x2, xn,它们中的每一个数或者为 1,或者为 -1如果x1x2+x2x3+ +xn-1xn+xnx1=0,求证: n 是 4 的倍数7、设 a, b是自然数,且满足关系式 (111
5、11+a)(11111 -b)=123456789 求证: a-b 是 4 的倍数8、某次数学竞赛, 共有 40 道选择题, 规定答对一题得 5分,不答得 1 分,答错倒扣 1分证 明:不论有多少人参赛,全体学生的得分总和一定是偶数9、试说明 15块 41的矩形骨牌和 1块22的正方形骨牌不能盖住 88的正方形 .10、在 6 张纸片的正面分别写上整数 1,2,3,4, 5,6,打 次序后,将纸片翻过来,在它们的反面也随意分别写上 16得出 6个数,请你证明: 所得个数, 然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值, 的 6 个数中至少有两个是相同的。11、有 2009 枚硬币,其中 10
6、00 枚国徽朝上, 1009 枚国徽朝下。现要求每一次翻转其中任 意 6 枚,使它们的国徽朝向相反, 问能否经过有限次翻转之后, 使所有硬币的国徽都朝上? 给出你的结论,并给予证明。12、对一个正整数作如下操作:如果是偶数则除以 2,如果是奇数则加 1,如此进行到 1 时操作停止,求经过 10 次操作变为 1 的数有多少?三整数的整除性1、如果五位数 12a34是 3 的倍数,那么 a是 .2、在 1,2,3,2000这2000个自然数中,有 个自然数能同时被 2和 3整除,而且不能被 5 整除。3、一个自然数与 13 的和是 5 的倍数,与 13 的差是 6 的倍数,则满足条件的最小自然数是
7、 4、设 m 和 n 为大于 0 的整数,且 3m+2n=225. 如果 m 和 n 的最大公约数为 15, 求 m+n 的值5、有若干苹果,两个一堆多一个, 3 个一堆多一个, 4 个一堆多一个, 5 个一堆多一个, 6个一堆多一个,问这堆苹果最少有多少个?6、自然数 a1,a2,a3, a9, a10的和 1001 等于,设 d 为 a1, 公约数,试求 d 的最大值。a2, a3, a9,a10 的最大从 0001 到 9999 号,如如号码 0734,因 0+7=3+4 ,所有幸运券的号码之和能7、某商场向顾客发放 9999 张购物券,每张购物券上印有四位数码, 果号码的前两位之和等于
8、后前两位之和, 则这张购物券为幸运券, 所以这个号码的购物券为幸运券。 证明: 这个商场所发购物券中, 被 101 整除。a 19911991 199110、 已知: 1991个1991 ,问 a 除以 13,所得余数是几?11、 n 是正偶数, a1,a2,an 除以 n,所得的余数互不相同; b1,b2,bn除以 n,所得的余数 也互不相同。证明 a1+b1,a2+b2, an+b n除以 n,所得的余数必有相同的。12、 十进制中, 44444444 的数字和为 A,A的数字和为 B,B的数字和为 C,求 C四数字问题:1、有一列数: 2,22,222,2222,把它们的前 27 个数相
9、加,则它们的和的十位数 字是 ( )A、9 B、 7 C、5 D、32、19932002+19952002 的末位数字是 ( )A、6 B、 4 C、5 D、33、若自然数 n 使得作竖式加法 n+(n+1)+(n+2) 时均不产生进位现象,便称 n 为“连绵数” 。 如因为 12+13+14 不产生进位现象,所以 12 是“连绵数” ;但 13+14+15 产生进位现象,所 以 13 不是“连绵数” ,则不超过 100 的“连绵数”共有 ( ) 个A、9 B、 11 C、12 D、154、有一个四位数,已知其十位数字减去 2 等于个位数字,其个位数字加上 2 等于其百位数字,把这个四位数的四
10、个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于 9988,求这个四位数。5、一个正整数 N 的各位数字不全相等, 如果将 N 的各位数字重新排列, 必可得到一个最大 数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N,则称 N 为“新生数” ,试求所有的三位“新生数” 。6、 从 1 到 1999 ,其中有多少个整数,它的数字和被 4 整除?7、 圆上有 9 个数码, 已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下, 得到的是一个 9 位数并且能被 27 整除。证明:如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话,那么所得 的一个 9 位数也能被 27 整除。8、证明: 111111+112112+
11、113113能被 10 整除9、设 P (m) 表示自然数 m 的末位数,2an P n2 P n求 a1 a2 a1995 的值。11111110、已知: ? ? ? ? ? ? 1 请找出 6 个不同的自然数,分别填入 6 个问号中,使这个等式成立。11、 如图,在一个正方体的八个顶点处填上 1 到 9这些数码中的 8 个,每个顶点处只填一abc。并请这个人算出 5 个数 acb、个数码, 使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等, 并且这个和数不能被那个未被 填上的数码整除。求所填入的 8 个数码的平方和。12、在一种游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数bac、bca、cab、cba的和 N,把N 告诉魔术师,于是魔术师就能说出这个人所想的数 abc。现在设 N=3194 ,请你做魔术师,求出数 abc来。
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