电磁场与电磁波课后习题与答案四章习题解答.docx

1、电磁场与电磁波课后习题与答案四章习题解答四章习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的 盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为 u0，求槽的电位函数。解 根据题意，电位 (X, y)满足的边界条件为1(0, y) (a, y) 02(x,0) 03(x,b) U。根据条件和，电位(x, y)的通解应取为a题4.1图由条件，有(x,y)AinhC y )sin(D x) n 1 a aU0代时(心)sin(n xa两边同乘以sin(nx)，并从a0到a对x积分，得到Anasin(asinh(n b a) 02U0jdxa故得到槽的电位分布2U0(1

2、n sinh( n b a)(x, y)处cos n4U0.，n 1,3,5,L n sinh(n b a)0， n 2,4,6丄1,3,5l nsinh(n b a)sinh(- y)sin( x)a a4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y d到 y b ( x )。上板和薄片保持电位 U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片 平面上，从y 0到y d，电位线性变化， (0, y) U0y;d。其中，i(x, y)为：应用叠加原理，设板间的电位为(x, y) i(x,y) 2(x, y)i (x, y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为 uy. b ；

3、Uo )的电位，即 2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件2(x,0)2(x, y)2(x,b)0 (x2(0, y) (o,y)根据条件和,可设2(x, y)的通解为 2(x, y)U01(0，y) U0bU)e Mb )eAsin(1由条件有U。 n y 人 sin( )1 b U0(0d)(0y d)U。(db)U0y(dy b)两边同乘以sin(U)，并从0到b对y积分，得到bd2U0 y n y、-(1 )sin( )dyb 0 b b/ 、 U。 2bU。(x,y) y 20b d 2故得到2Uob(1b d(d2 sin(n -)sin(i n

4、b)ysin(卫 y)dy b bb )ed(n )2dsin(=2Uo24.32WeCf 厂定出边缘电容。U0解 在导体板(y求在上题的解中，除开Uy;b 项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按0) 上，相应于2(x, y)的电荷面密度2 0U0 1 ,n d、Psi n( )e则导体板上(沿z方向单位长)相应的总电荷q22dx2 2dxsin(nx)e b dx驾存门(罟)d n 1 n b相应的电场储能为 We -q2U0222 obUo2d丄 si n()n b其边缘电容为Cf 4_ob Jl_si 门(鸣Uo d ni n b4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位 Uo，其余

5、两面电位为零，求槽的电位的解。解根据题意，电位(x, y)满足的边界条件为1(0, y) (a, y) 0U0题4.4图a2(x, y) 0(y )3(x,0)根据条件和，电位u。(x, y)的通解应取为(x,y)Aneyasi n(U)a由条件，有n xU 0 An sin( )n 1 an x两边同乘以sin(9)，并从0到a对x积分，得到aAn 2U0aan xsin( )dxacosn )n 1,3,5,Ln 2,4,6,L故得到槽的电位分布为(x,y)4Uon 1,3,5,L1 n y a n X、e sin( ) n a4.5长、宽、高分别为 ab、c的长方体表面保持零电位，体积填

6、充密度为x zy(y b)s in( )si n()a c的电荷。求体积的电位 。解在体积，电位 满足泊松方程2 2x y长方体表面s上，电位 满足边界条件1 x zy(y b)sin( )sin()o a c。由此设电位 的通解为C1)代入泊松方程（mini(x,y,z)1）,可得Amnp(P 1)2aminie)2Amnp si n( )si n( )s in(1 a(jcsin(m x)sin( n y)sin(卫 z) a b cx zy(y b)s in( -)si n( )a cAn1【（）2（n）2n y、()sin( )p 1 a bc b由式（2），可得2,n、2 / 厲 2

7、b /,、 ， n y、，A1n1()(-) ( ) 1 y(yb)sin( )d yabc b 0b由此可得Amnp (m 1 或 p 1)y(y b)4 b 3/()(cosn b n1)8b2n 1,3,5,L2,4,6,L(x,y,z)8b250 n1,3,5,L)sin(n a b畑（二）cql，其4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与 z轴平行的线电荷位置为（0,d）。求板间的电位函数。解 由于在（0,d）处有一与z轴平行的线电荷 ql，以x 0为界将场空间分割为 x 0和 x 0两个区域，则这两个区域中的电位 1（x,y）和2（x, y）都满足拉普拉斯方程

8、。 而在x 0的 分界面上，可利用 函数将线电荷qi表示成电荷面密度 （y） qi （y y。）。电位的边界条件为JLJ-adyo x题4.6图1(x,0) =1(x,a)02(X,0) =2(x,a)01(x, y)0 (x)2(x, y)0 (x)1(0, y)2(0, y)(_L) x 0鱼0x x可设电位函数的通解为(y d)由条件和,i(x, y)Ane n xasin(U)1 a(x0)由条件，有2(x,y)Bnen xasin(U)a(x0)由式（1）,可得将式（2）两边同乘以An Bn由式（3）和（4）Ann yAn sin( )n 1 aAnn 1sin (m2qin解得Bn

9、i(x,y)Bn sin(1(1)AnBnn sin(n1 aBny），并从0到a对y积分，有9 (y d)0(3)(y d)si n()dy 纽 sin&a n 0(4)qi ,n d、 si n( )n 0 asin(呕)enxasin(U) 0 n 1 n a a(X 0)ql 1 n d n x.a n y2(x,y) - sin( )e sin( ) (x 0)o n i n a a4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷 qi。求槽的电b I q*(xo,yo)o a x题4.7图由于在(Xo，yo)处有一与 z轴平行的线电荷 qi，以x Xo为界将场

10、空间分割为和Xo x a两个区域，则这两个区域中的电位 i(x, y)和2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x x0白勺分界面上，可利用(y)qi (y y。)，电位的勺边界条件为1(0, y)=0，2(a,y)01(x,0) =1(x,b) 02(X,0) =2(x,b) 01(x, y)2(x0, y)-x xa(yy。)xx0位函数。解0 x xo由条件和，可设电位函数的通解为函数将线电荷ql表示成电荷面密度i(x, y) An sin(n y)slnh( n x) (0 x x)n 1 b b2(x, y) Bn sin(n y )sinh n (a x) (x x a)n 1 b b

11、由条件，有Ansin(n y)sinh( n x) Bn sin(n y)sinh丄(a x0) ( 1)n 1 b b n 1 b bn n y n x0 An sin( )cosh( -)n 1 b b b(2)Bn sin(n y)cosh(a x。) 乩 (y y)n 1 b b b 0由式(1)，可得An sinh(n x) Bn sinh(a x0) 0b b将式(2)两边同乘以sin( )，并从o到b对y积分，有bAn cosh(n-Xo) Bn cosh(a Xo)b b2qib(yy)si n(002qi 亠/n yo)dy由式(3)和( 4)解得若以AnBnn osir)1

12、 nsi nh (asinh(n a b) n 0 b2ql 1 n x0 八-si nh( -)si n( -)o b b12qin xon yoXo购n()n yosinh(n a b) n1(x,y)组2(x, y)组sinh J(a x)1 nsinh( n a b) b./ n yo、 n x、. / n y、 si n( )si nh( )si n( ) b b b1 n xo)(0Xo)sinh( o n 1 nsinh(n a b) b J yo n /si n( )si nh (ab by yo为界将场空间分割为 o y yo和yo(、2q1(x,y) -2(x, y)组n

13、yx)si n( )bb两个区域,si nh (b1 nsinh(n b a) asin( n Xo )sinh( -)sin(a a1 n y。)yo)(Xoa)则可类似地得到(o y yo)sinh(o n 1 nsinh(n b a) aXo n n x、si n( )si nh (b y)s in( )a a a如题4.8图所示，在均匀电场 Eo exEo中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位 和电场E以及导体表面的感应电荷密度 。解 在外电场Eo作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场 Eo的电位o与感应电荷的电位 m的叠加。由于导体圆柱

14、为无限长，所以电位与变量 z无关。在圆柱面坐标系(yo y b)4.8oEo的电位中，外电场的电位为 o(r, ) EoX C Eor cos C (常数C的值由参考点确定)，而感应电荷的电位 in(r,)应与o(r,) 一样按cos变化，而且在无限远处为 o。由于导体是等位体，所以 (r,)满足的边界条件为yE(r, ) e1*r e (r r(r,)er(12a、匚)Eocos r2 oEcos导体圆柱表面的电荷面密度为0rr a若选择导体圆柱表面为电位参考点，即 (a,) 0，则C 0。导体圆柱外的电场则为4.9在介电常数为的无限大的介质中,2e ( 1 2) E0 sin沿z轴方向开一

15、个半径为 a的圆柱形空腔。沿x轴题4.8图(a,)C(r,)E()r cosC (r)由此可设(r,)Eor cosAr 1 cosC由条件，有Eoa cosA1a1 cos CC于是得到A1a2Eo故圆柱外的电位为(r,)(2r a r1)E0 cosC方向外加一均匀电场 Eo exEo，求空腔和空腔外的电位函数。解 在电场Eo的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔、外的电场 E为外加电场Eo与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为o(r, ) Eox Eor cos 而感应电荷的电位in(r,)应与o(r,) 一样按cos变化，则空腔、外的电位分别为1(r,)和2(r,)的边

16、界条件为r时，2(r,)Eor cos ；r0时,1(r,)为有限值；ra时，1(a,)2(a,)，102rr由条件和，可设1(r,)Eor cosAr cos(ra)2(r,)Eor cos典 1A2 cos(ra)带入条件，有AaAza1，0E0 0 AEoa2a由此解得AoEo，A2 0a2Eo00所以i(r,)2(r a)2（r, ） 1 （旦）2Ercos （r a）o r4.10 个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地， 第一象限和第三象限分别保持电位如题4.10图所U 0 和 U 0。题4.10图求圆柱面部的电位函数

17、。解 由题意可知，圆柱面部的电位函数满足边界条件为 (0,)为有限值;U。0(b,)U00由条件可知,3 .2圆柱面部的电位函数的通解为代入条件，有由此得到An(b,Bnbn 0(b,(r,rn(An sin n1Bn cos n )(r b)bn(Ans inn Bn cos n )sin n)cos n(b,)2Us inn02U0n bn0，2U0 cosn03 2U0 sinn d 1,3,5,L2,4,6, L3 2d U0cosn d U0 bnn(1 cosn )U0 (sinn sin3)2 20bnn2U0bn 1,3,5,Ln 2,4,6,L(r,)仝-（r）nsi nnn

18、 1,3,5,L b4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为 r（r0 a）处，有一与圆柱平行的线电荷解位 i（r,(1)2 cosn(rb)介电常数为 ql ,计算空间各部分的电位。在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化， 介质圆柱外的电位 （r,）均为线电荷ql）的叠加，即 （r, ） l（r, ） p（r,）。线电荷ql，在距离轴线的电位为）与极化电荷的电位 p（r,-ql nR2 0i(r,)严1 n22 0r02 2rr0 cos(1)的电p（r,）满足拉普拉斯方程，且是 2（r,）满足的边界条件为分别为1（0,）为有限值； 2亿）而极化电荷的电位的偶函数。介质圆柱外的电

19、位1(r,l(r,)(rr a时,2,由条件和可知,1(r,1r2(r, 20r）的通解为1(r,)i(r,)Anrn cos n1(0a)(2)2(r,)l(r,nBnr cos nn 1(a(3)将式（1）（3）带入条件，可得到Anan 1ncos nBnna cos n(4)(Ann 1n 1naBn0na n 1 )cos nIn R(5)1 r n当r r时，将In R展开为级数，有 In R In r -( ) cosnn i n ro带入式（5），得n 1(An nan 1n 1、Bn ona )cos n(o)qia n 1()cosn1 ro2O ro n由式（4）和（7），

20、有 AnannBnaAn nan1 n 1 (Bn onao)q(-)n12ororo由此解得 Anqi( o)1 B qi(n ， Bn2no) an(7)2n n no( o)nr。 2 o( o) nr。故得到圆柱、外的电位分别为i(r,)2(r,)qi2rr0 cos02rr0 cosqi ( o) 1 / r、n-()cosn2 0( 0) n 1 nroqi( o) 1 a、n-( )cosn2 o( o) n 1 n rr(8)(9)讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为q(2 o(丹七(InR lnro)2q ( o) 1 za . n q ( o) Zl

21、 D .1 - ( ) cosn 1 - (In R In r)2 o ( o)n1 nror 2 o ( o)其中R ,r2 (a2 ro)2 2r(a2 ro)cos 。因此可将 1(r,)和2(r,)分别写成为1（r,）2（r,）由所得结果可知,12 OqiIn Rq()In ro2 oo2 o(o)qIn R1(o)qi InR 1 (o)qi inr2 o2 oo 2 oo介质圆柱的电位与位于（ro,o）的线电荷 丄丄qI的电位相同，而介质2圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（a 只、ro,O）的线电荷qI ；位于（，。） ro的线电荷 qI;位于r O的线电荷 o

22、 qI。O O4.12将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。解 导体圆柱的电位为常数，导体圆柱外的电位 （r,）均为线电荷qi的电位i（r,）与感应电荷的电位 in（r,）的叠加，即 （r,）i（r, ） in（r,）。线电荷qi的电位为i(r,)ln Rd inr2 rO 2rro cos(1)（r, ） i （r, ） （r ）； （a, ） C。的偶函数，并由条件可知,（r,）的通解为将式（1）和（2）带入条件,Anan 0(r,)可得到ncos ni(r,-2 -ro 2aro cos(3)而感应电荷的电位 in（r,）满足拉普拉斯方程，且是 的偶函数。（r,）满足的边界条件为由于电

23、位分布是将In., a2 r02 2ar0 cos展开为级数,Ina2 小r 2ar cosIn r丄(旦)ncosn1 n r(4)带入式（3）,得由此可得A0Ana0ncos nro,qi2-ln r01 / a、n()cosn n 1 n r2(与r。(5)故导体圆柱外的电为讨论:其中R(r,利用式（4 )，In r2r02 2rr0 cos-In r)0可将式(6)中的第二项写成为1 za、n qi()cosn (In R1 n rr 2 (C-】(皂)ncosn0 n 1 n rrIn r)(6),r2 (a2 r0)2 2r(a2 r0)cos 。因此可将（r,）写成为（,）売1n

24、R 无1导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，由此可见，2位于（J,0）的线电荷 qi ；位于r 0的线电荷qi 。r- in r C In r00 2 0它们分别为：位于（r0, 0）的线电荷qi ；4.13 在均匀外电场 E ezE中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U; （2 ）导 体上充有电荷 Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解（1 ）这里导体充电至 U0应理解为未加外电场 E0时导体球相对于无限远处的电位为 U0,此时导体球面上的电荷密度 0U0.；a，总电荷q 4 0aU0。将导体球放入均匀外电场 E0中q仍保持不变，后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷

25、密度发生变化，但总电荷 导体球仍为等位体。设(r, ) o(r, ) in(r,)，其中o(r,)E0z E0r cos电位(r,)满足的边界条件为 r时，(r,)Eorcos ； ra时，(a,)Co， o? dS qS r其中Co为常数,若适当选择 (r,)的参考点，可使Co Uo。由条件，可设(r,)Eor cos Ar 2 cos r 1 Ci是均匀外电场Eo的电位,in(r,)是导体球上的电荷产生的电位。加电场条件为在电场Eo的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔、外的电场 Eo与极化电荷的电场 Ep的叠加。设空腔、外的电位分别为 i(r,)和2(r,E为外)，则边界时,0时，2(r,)i(r,)为有限值;E0r cosa时,i(a,)2(a,)，由条件和，可设)i(r,2(r,带入条件，有Ai aEor cosEor cosAr cos2cosA2r