几何画板课件设计三维旋转坐标系在立体几何中的应用.docx

1、几何画板课件设计三维旋转坐标系在立体几何中的应用摘要作为优秀的专业学科平台软件，几何画板适用于几何(平而几何，解读几何，射影几何， 立体几何)教案，物理教案，以及天文教案等.一方而，它不仅能使教师在教案过程中使用现代 化教育技术，以动态的形式更直观、更准确的传授学生知识.另一方面，学生在实际操作几何画 板时能够把握学科的内在实质.同时，也可自行设计并制作课件.这样的训练不仅能培养学生的 观察能力，问题解决能力，而且对其思维的发展也有很大的帮助.可以说，几何画板代表了当代 专业工具平台类教案软件的发展方向.现有的几何画板仅仅提供了解决二维O-XY坐标系中的几何问题，而在我们的实际生活中 却存在着

2、大量的三维问题.如空间曲线、空间曲而和立体几何图形等等.如何将二维工具扩充到 三维空间中呢？在学习了几何画板后，我利用相关知识制作了四个课件.这些课件主要通过构造 任意旋转的三维O-XYZ坐标系建构，以便从多方位、多视角观察图形.同时还可以采用动态效 果演示这些图形的旋转及其各种变化.所作课件紧密的与教案相结合，区别于以往传统的教案模 式，真正体现了现代教育技术与数学教案的整合性.全文由三部分组成：第一部分是几何画板课件制作的选题原则.第二部分详细介绍了我所 选择制作的课件及其详细制作过程.第三部分：我学习及应用几何画板的体会.关键词：几何画板立方体三棱锥异而直线空间直线旋转标记向量移动显示隐

3、藏闪烁AbstractAs excellent professional subject platform software, Geometers Sketchpad applies to geometry(plane geometry, analytic geometry, projection geometry, solid geometry) teaching, partial physical teachings, and astronomical teaching. On the one hand, it can not only make teacher use modern ed

4、ucational technology in the course of teaching but also pass on students knowledge more visual, more accurate with the form of motion.On the other hand, student can hold the inner substance of subject when they operate Geometers Sketchpad. At the same time, they can also design and make courseware i

5、ndependently. These practices can not only train the student the ability to observe and solve problem, and has got great help for the development of theirideations. Geometers Sketchpadrepresents the developing direction of the educative tool software.Existed Geometers Sketchpadcanonly solve the geom

6、etry problem in two- dimension O-XY coordinate system departments, but in fact, there are plenty of threedimensional problems, such as space curve,space curved surface, solid figure and so on. How can we expand two-dimension drawing tools to three-dimensional space? The paper makes 4 pieces of cours

7、ewareon the base of knowledge of Geometers Sketchpad. This paper constructs a three-dimensional O- XYZ coordinatesystem that can spinany angle. And makecourseware on itin order to observe figure from many bearings and different visual angle. At the same time, it can demonstrate the revolving and var

8、ious changes of these figures with motion effect. All the coursewareis close to teaching. And they are distinguished from teaching pattern in former tradition.This embodied modern educational technology really with mathematics teaching integration.The paper is composed of parts: In the first part, i

9、t describe some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewareby the Geometers Sketchpad.In the second part, four pieces of courseware and the course of making are introduced. In the last part, the experiences of study by using the Geometers Sketchpad are related.Keyword： Geomete

10、rs Sketchpad、cube、triangular、non-uniplanar linespace straight line、Revolvingmark vector remove show、hide twinkle 目录：摘要1Abstract!第一部分几何画板课件制作的选题原则4第二部分课件设计与制作4第一个课件：三维坐标系与旋转.4小课件一：任意旋转的三维O-XYZ坐标系.4小课件二：旋转.5第二个课件：旋转体中的异面直线.6小课件一：两条异面直线所成的角.6小课件二：两条异面直线的距离.7小课件三：异面直线应用举例.8第三个课件：空间直线的投影9第四个课件：三垂线教案课件10小

11、课件一：三垂线定理11小课件二：三垂线定理证明11小课件三：三垂线定理的逆定理12小课件三：三垂线定理的逆定理证明12第三部分学习几何画板的体会12参考文献：14第一部分几何画板课件制作的选题原则教案经验表明：变动的图形或事物是非常容易引起人们注意的，因为这样可以使其在人脑 中形成较深刻的印象在教案过程中，若像以往那样使用常规工具（如纸，笔，圆规或直尺等） 画图，是有一定局限性的，并且所画的图形很容易掩盖极其重要的本质.但如果使用几何画板作 图，则可以在很大程度上解决这一问题.当然，并不是所有教案都要利用几何画板来完成.应用 几何画板制作课件，首先应该注意课题的选择.第一：几何画板可以很好的表

12、现图形的任意性.在我制作的绝大部分课件中，主要是通过圆 来构造任意旋转的三维坐标系，从而构建可以任意旋转的正方体等立体几何图形.例如：在课件 “旋转的正方体”中，学生可由正方体的旋转从不同角度观察异而直线之间的关系.正因为这种 任意性，学生可以更好地理解异而直线的相关概念.第二：几何画板可以动态演示图形的移动过 程.例如：在课件“空间直线的投影”中，就利用了几何画板的这个动态效果，演示 了在空间中的一条线段投影到三个而的过程.总之，几何画板在教案中尤其是几何教案中有很广泛的应用，有关几何画板的课件选题原则就 是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教案中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给 学

13、牛.第一个课件：三维坐标系与旋转.选题:在立体几何教案过程中，从多角度观察几何图形是非常必要的.通过传统教具的演示，虽然能够使学生观察图形的角度有所转变，但通过人手转动始终不容易把图形的旋转连贯进行. 若采用几何画板教案，可以更连贯、更清晰的看出立体几何图形的旋转过程，以便更好的观察 到几何图形中的各种几何关系.制作过程：小课件一：任意旋转的三维OXYZ坐标系.步骤一：构造任意旋转的三维O-XYZ坐标系1.过点A、B作圆cl,在圆上取点C,过点A、C作直线j；2.让点C以点A为中心旋转90 ,得到点C .让点A按标记向量C A平移，得到 点A,连接U A；3.圆上取一点D.过点D作C N和直线

14、j的垂线，得垂足H、F；4.在圆C|上取一点G,过点G作C A和直线j的垂线，得垂足H、I：连接HC,过点F作HC平行线，交C A于点J；5.让点E以点A为中心旋转90得点E,过点E作HC平行线，交C N 于点K；6.让点F按标记向量AK平移得点F,连接AF：让点E按标记向量JA平移 得点E,连接AE：7.让点I以点A为中心旋转90得点I：8.另画一点O,让点O按标记向量AE平移两次得点X,让点O按标记向量 AF平移两次得点Y,让点O按标记向量AI平移两次得点Z：9.以点O为中心，分别让点X、Y、Z旋转180 ,得点X、Y、Z：10.连接Z Z、X X、Y Y,构成O-XYZ坐标系.图一步骤二

15、：动态效果拖动点D, O-XYZ坐标系绕0Z轴旋转；拖动点G, O-XYZ坐标系绕0X轴旋转: 拖动点C, O-XYZ坐标系绕点O旋转； 拖动点B,放大O-XYZ坐标系.小课件二：旋转.长方体的旋转步骤一：构造长方体1-9.如“小课件一”的作图步骤，先构造任意旋转的三维O-XYZ坐标系.10.用直线连接Z Z、X X、Y Y：分别在直线Z，Z、X X、Y Y找一动点， L、M、N,用线段连接OL、OM、ON：11.构建长方体：让点N按标记向量0L平移得点N,连接NN、LN；让点 L按标记向量OM平移得点L,连接LL、ML；让点M按标记向量ON 平移得点M,连接MM、NM：让点M按标记向量NN平

16、移得点M, 连接M M、N M、L M .分别将六个而涂上不同的颜色.步骤二：动态效果如“小课件一”的动态效果；若想改变长方体的大小，也可拖动点L、M、N.第二个课件：旋转体中的异面直线.选题:在立体几何教案过程中，“两条异面直线所成的角和两条异而直线的距离”是学生们首先遇到的难理解的问题.尤其对于异而直线交角和距离的求法更是学生学习的重点和难点， 同时，它们也是后面学习的基础.因此，利用几何画板的优势在第一个课件的基础上，制作此课 件来帮助学生更好理解和掌握“异面直线”的相关知识.制作过程：小课件一：两条异面直线所成的角.1.作平行四边形DEFG,连接对角线DE：2.在线段DE上取一动点M,

17、以点M为端点在平行四边形上作线段MN：3.在平行四边形外任取一点O,并作“隐藏/显示按钮，改标签为“固定点0”，连接 NO：过点M作NO的平行线，过点0作MN的平行线，两条平行线交于点Q；在线 段MQ上任取一点R,隐藏直线MQ,连接MR、RQ：4.在线段NO上任取一动点P,作MN的平行线，拖动这条平行线，分别与MR、RQ交 于点S、A （标注点A）,连接PS、PA；标注线段PS为“a，线段PA为“a ” ；5.分别作点P到点N和点O的“移动”按钮，并作“系列”按钮，改标签为“平行移出a” ；6.隐藏多于对象：7.在平行四边形下方画一条过O点的直线，在直线上取动点Y,连接YO,在线段上任 取一点

18、C,过点C作这两条直线的垂线m；8.在平行四边形上方找一点，过该点作直线的平行线1:分别过点G、E、F、0作该直 线的垂线，分别交平行线1于点H、I、J、K；隐藏平行线1,连接HI、IJ、JK；拖动 直线m分别交HI、IJ、JK于点B、B （将点B标注出来）：9.连接B|U、VC,拖动垂线m,连接B、U、WC,标注线段为“b” ：继续拖动m连 接BC,标注线段为“b ” ：10.分别作点C到点Y和点O的“移动”按钮，并作系列”按钮，改标签为“平行移 出b” ：11.隐藏多于对象.12.作说明文本框和概念文本框，作相应的“隐藏/显示按钮，标签分别改为“显示说 明”和“显示概念”：再将图中五个按钮

19、作“隐藏/显示按钮，改标签为“还原”.小课件二：两条异面直线的距离.1.在任意旋转的三维O-XYZ坐标系上建构正方体.2.选中A D、BB,共建立“隐藏/显示按钮6个：选中所有“隐藏/显示”按 钮，建立“系列”按钮，在“系列按钮”对话框中选定“依次执行”项，并改标签为“第一组异而直线”，隐藏所有“隐藏/显示”按钮.（此步骤称为“建立线段A D和 BB的闪烁”按钮）：3.建立线段AB、CC的闪烁按钮，改标签为“第二组异而直线”；4.连接AD,建立AD的“隐藏/显示按钮，改标签为“显示侧面对角线”：并建 立线段AD和B C的闪烁按钮，改标签为“第三组异而直线”：5.连接AC、B D,建立AC和B

20、D的隐藏/显示按钮，改标签为“显示上下 底而对角线”：并建立线段AC和B D的闪烁按钮，改标签为“第四组异而直 线”：6.选中A B,作为A Dr和BB的公垂线，选中BC,作为AB和CC的公垂线，选中C D,作为AD和B C的公垂线，分别建立“隐藏/显示按钮，标 签也作相应的改变；7.选取上、下底面对角线的中点，用线段将两个中点连接，作为AC和BD的公垂线， 建立“隐藏/显示按钮，相应的改动标签.8.作概念文本框，作“隐藏/显示按钮，标签改为“显示概念”：再将图中“显示侧 而对角线”、“显示上下低面对角线”、“显示概念”按钮作“隐藏/显示按钮，改 标签为“还原”.图五小课件三：异面直线应用举例

21、.1.任意旋转的三维O-XYZ坐标系中建构长方体ABCD-A B C D：2. （1）选择“文本”工具，在文本框中输入第一问的证明过程：（2）连接A C,作A C的隐藏/显示按钮，改标签为“连接A C ：（3）在BB上取一动点E,将点E按标记向量BC平移得点E,连接EE：分别 作点E到点B和点B的“移动”按钮，改标签为“平行移动线段BC” ：（4）将“连接A C ”和“平行移动线段BC”按钮作“系列”按钮，改标签为“还原”；（5）选中文本框、“连接A C 、平行移动线段BC”和“还原”按钮，建立 “隐藏/显示按钮：（6）在画板上任画一点，作该点的“隐藏/显示按钮：顺序选中这两个“隐藏/显示”按

22、钮作“系列”按钮，改标签为“显示证明（1）”3.重复步骤2,相应作出第二问和第三问的“显示证明(2) ”和“显示证明(3) ”按钮：4.5.将三个“显示证明”按钮作“系列”按钮，改标签为“还原” 隐藏多余的对象.第三个课件：空间直线的投影 选题：理解空间一条线段或直线到某个平面的射影是至关重要的，因为这关系到是否能很好理解和掌握“三垂线定理”及其“逆定理” .因此，同样是在第一个课件的基础之上，制作该课 件，可从多方位来观察空间异条线段的射影情况.制作过程:1.意旋转三维O-XYZ坐标系中，建构两两垂直的三个平而：2.分别在线1、n上取动点A、B,连接AB；在线段AB上取两动点C、D,用来控制

23、空 间直线段的长度；3.在画板上画一条水平直线m,分别过C、D作直线m的垂线：在两条垂线上分别取动 点E、F,连接EF,作为空间直线段；4. (1)连接EC、FD,在线段EC、FD上分别取动点G、H；(2)作点G到点C和点E的“移动”按钮，选中两个“移动”按钮作“系歹/按钮； 作点H到点D和点F的“移动”按钮，选中两个“移动”按钮作“系列”按 钮；选中两个“系列”按钮再作“系列”，改标签为“空间直线L投影到水平 面”：(3)连接 EG、FH、GH：5. (1)过点C作线段。的平行线，交线段1于点I,交线段n于点J；将点E按标记向 量IA1平移得点E；过点D作线段。的平行线，交线段n于点K,将点

24、F按 标记向量KO平移得点F；(2)连接EE、FF,在线段EE、FF上分别取动点M、N；仿照步骤4 (2) 分别作点M、N的两个“移动”按钮，并作“系列”按钮；将点M、N的两个“系列”按钮，并作“系列”，改标签为“空间直线L投影到竖直面”：(3)连接 MN、EM、FN；6. (1)再让点E按标记向量CJ平移得点E,点F按标记向量DK平移得点F：(2)连接EE、FF”,在线段EE、FF”上分别取动点P、Q：仿照步骤4 (2) 分别作点P、Q的两个“移动”按钮，并作“系列”按钮；将点P、Q的两个“系列”按钮，并作“系列”，改标签为“空间直线L投影到侧面”；(3)连接 PQ、EP、FQ：7. (1)

25、连接CD、E F、E F,分别作“隐藏/显示按钮，并相应改动标签为“直线L在水平而上的投影” “直线L在水竖直而上的投影”“直线L在侧而 上的投影”；(2)将这三个按钮作“隐藏/显示按钮，改标签为“直接投影”；(3)将线段CD、E F、E F和直接投影”按钮作“隐藏/显示按钮，改 标签为“直接投影还原”：8.点A和点B的“动画”按钮，相应改动标签，用来改变直线L的空间位置：9.将“空间直线L投影到水平而”、“空间直线L投影到竖直面”、“空间直线L投影 到侧面”按钮作“隐藏/显示按钮，改标签为“还原”：第四个课件：三垂线教案课件选题：“三垂线定理”及其“逆定理”是立体几何中的重点和难点.我希望用

26、一种方法能从多 个视角去观察图形中的三条垂线的相互位置关系，更希望所作课件能与教案相联系.因此采用以 下方法制作课件.制作过程：小课件一：三垂线定理1.用两个同心圆法，作长短轴相近的大椭圆0：2.在椭圆上取一动点A,以点O为标记中心，将点A依次旋转135、45、135 , 得点A、A、A：用线段连接这四个点得平行四边形AA A A：3.过点O作AA的平行线，交平而于点E、F：连接EF,在EF上取点B、C和D：过 点D作水平线的垂线b,在b上方取一点S,连接CS：过点C和点B作A A的平 行线QP、MN：4.选定点A和椭圆作“动画”按钮：选定点B和线段EF作“动画”按钮：5.隐藏多余的对象：6.

27、选中线段a,作10个“隐藏/显示按钮，选中所有“隐藏/显示按钮作“系列”按 钮，选顶“依次执行”项，改标签为“平面内的一条线段a ；（改步骤称为建立闪 烁按钮“平面内的一条线段a” ：7.仿照上一步骤，建立“斜线PO”、“垂线PA”和“过点O和点A所在的直线”和 “斜线PO在平面上的射影OA”的闪烁按钮：8.建立“在平面内与线段a平行的线段b”的“隐藏/显示按钮，相应改动标签；9.作“三垂线定理内容”的文本，并作“隐藏/显示按钮，标签改为“显示定理内 容”：10.作“链接”按钮，使改课件链接到定理证明的课件，标签改为“定理证明”小课件二：三垂线定理证明1.仿照“小课件一”，制作可旋转的能够显示

28、三垂线关系的图形；2.重复“小课件一”的步骤8：并作“三垂线定理内容”：3.作“定理的数学描述”的文本，并建立“隐藏/显示按钮，相应改动标签;4.建立四个证明步骤按钮：（1）将证明过程分为4个文本框输入：（2）作与每一证明步骤相应的线段会平面的闪烁按钮，共4个：如：证明步骤一 中有线段a、PA,就在图中作线段a和PA的闪烁按钮。（3）在画板中任取四个点，分别作“隐魏显示”按钮共4个；（4）选中每一证明步骤的文字及相应的闪烁按钮和一个“隐藏/显示按钮作“系 列”按钮,标签改为“证明步骤、“证明步骤（2） ”；5.选中所有证明过程的文字部分和“定理的数学描述”按钮作“系列”按钮，标签改为图八 小课

29、件三：三垂线定理的逆定理制作步骤与“小课件一”类似，只需根据定理内容作适当修改.小课件三：三垂线定理的逆定理证明制作步骤与“小课件二”类似，只需根据需要作适当修改.第三部分 学习几何画板的体会.现今，计算机辅助教案手段的使用是教育现代化的一个重要标志，对提高教育质量及教案 效率都有重要的意义.它不但可以扩大受教育而，便于及时巩固所学知识，而且为数学教育开辟 了更为广阔的天地.几何画板作为优秀的教案软件之一，是一个通用的数学，物理教案环境，其丰富的创造功 能使用户可以随心所欲的编写自己所需要的教案课件.该软件提供了充分的手段帮助用户实现其 教案思想，只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应

30、用范例，无需任何编程.所做课 件要体现的并不是编者的计算机软件水平，而是教案思想和教案水平.几何画板不仅能够帮助教师扩展系在传统教案中的能力，而且还为新的教案方法提供了可 能.在新的教案方法中，强调学生的主体参与，学生课堂的主体，通过学生的参与来帮助学生更 好地学习.但是现在普通的课堂，还不能完全体现学生的主体性，在几何画板和计算机网络的支 持下，教师可以很容易地为每一位学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件，让学生能在 活动中进行反身抽象，获得、理解和掌握抽象概念.只有这样，学生获得的才是真正的数学经 验，而不是数学结论从这个意义上说，几何画板不仅仅是教师教案的工具，更应该成为学生的 有利

31、的认知工具.几何画板是便捷的交流工具，每个画板都可以被用户按自己的意图修改并保存，特别是和 用来进行几何交流，研究和讨论，被称为“动态黑板” .同时还是教师布置作业以及学生完成作 业的理想工具.几何画板符合多媒体教案的要求，能够准确，动态的表达几何问题.与大屏幕投 影仪等设备配合，可达到完美的演示效果.另外几何画板为探索式几何教案开辟了道路，用户可 以利用它建立自己的认识体系，成为真正的研究者.几何画板还提供了多种方法帮助教师了解学 生的思路和对概念的掌握这是一个令教师头痛的问题.几何画板还有一个最突出的特点就 是：操作简单.一切操作只靠工具栏和菜单就能实现，无需编制任何程序.在本文所提到的几何画板的课件制作中，充分利用了几何画板的优势.在第一个课件的制作 过程中，主要是利用了在圆上构造能够控制坐标系的关键点和线段，然后在此基础上定义三维 O-XYZ坐标系，在这个坐标系中构建相应的立体几何图形，从而能实现立体图形的旋转运动. 在第二、三个课件中，主要都是根据制作第一个课件的技巧构造相关图形，利用几何画板的