数量关系公式.docx

1、数量关系公式数量关系常用公式总结：（可可整理）1.行程问题基础公式：路程=速度*时间一、相遇追及型追及问题：追及距离=（大速度-小速度）追及时间相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间二、环形运动型反向运动：第N次相遇路程和为N个周长，环形周长=（大速度+小速度）相遇时间同向运动：第N次相遇路程差为N个周长，环形周长=（大速度-小速度）相遇时间三、流水行船型顺流路程=（船速+水速）顺流时间逆流路程=（船速-水速）逆流时间静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水流速度=（顺水速度-逆水速度）2四、扶梯上下型扶梯总长=人走的阶数1（V梯V人），顺行用

2、加法，逆行用减法解析:设扶梯为s级，速度为v，根据公式带入S=301(1+v1) 解得 v=1S=202(1+v2) s=60，所以选择B。五、队伍行进型队头队尾：队伍长度=（人速+队伍速度）时间队尾队头：队伍长度=（人速-队伍速度）时间解析：假设通讯员和队伍的速度分别为v和u，所求时间为t,则： 600=（v-u）3 解得 v=250 600=v(2+2460） u=50 600=（v+u）t t=2,所以选择D六、往返相遇型左右点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程（2N-1） 第N次追上相遇，路程差=全程（2N-1）同一点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程2N 第N次追上相遇，路程差=全程

3、2N解析：a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇，实际上是两辆车第3次迎面相遇，根据公式，路程和为5个全程，即5210=1050（公里），使用的时间为1050（90+120）=5（小时），所以b汽车共行驶了1205=600（公里），选择B七、典型行程模型等距离平均速度=（2速度1速度2）（速度1+速度2）（调和平均数公式）（速度1和速度2分别代表往返的速度） 解析：代入公式v=260120（60+120）=80等发车前后过车：发车间隔T=(2t1t2) (t1+t2);V车/V人=(t2+t1) ( t2-t1)例：某人沿电车线路匀速行走，每分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，

4、假设两个起点站的发车间隔相同，则这个发车间隔为多少？解析：依据公式，发车间隔T=(2t1t2) (t1+t2)=2124（12+4）=6（分钟）。推导原型：设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面 超过该人，有方程组：S=（V车+V人）t1 V车=(S/t1 +S/t2) 2S=（V车-V人）t2 V人=(S/t1 -S/t2) 2 T=S/V车=2t1t2/(t1+t2) N=V车/V人=（t2+t1）/（t2-t1）（S表示发车间距，T为发车间隔时间，V车为车速，V人为人速，N为车速与人速的比）不间歇多次相遇：单岸型：S=（3S1+S2）/2（S表示两岸

5、的距离）推导原型：设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离A地S2，则 V甲/V乙=S1/(S-S1)=(2S-S2)/（S+S2）S=（3S1+S2）/2（注：单岸指的是S1、S2都是距离同一出发地的距离）解析：假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了80 、(S-80),根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/(S-80),第二次相遇时，甲、乙各走了(2S-60)、(S+60),同理可得，V甲/V乙=(2S-60) /(S+60)，综上80/(S-80)= (2S-60)/(S+60)，解得S=150。选择B注：直接代入单岸型公式S=（380+60）/2=150

6、。两岸型：S=3S1-S2 推导原型：设第一次相遇地点距离A地S1，第二次相遇地点距离B地S2，则 V甲/V乙=S1/(S-S1)=(S+S2)/（2S-S2）S=3S1-S2解析：假设AB两地相距S,第一次相遇时，甲、乙各走了6 、(S-6),根据时间相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/(S-6),第二次相遇时，甲、乙各走了(S+3)、(2S-3),同理可得，V甲/V乙=(S+3) /(2S-3)，综上6/(S-6)= (S+3)/(2S-3)，解得S=15。选择D注：直接代入两岸型公式S=36-3=15。无动力顺水漂流：漂流所需时间=2 T逆T顺（T逆-T顺）（其中T逆T顺分别代表

7、船逆流和顺流所需的时间）解析：根据公式：漂流所需时间=2 T逆T顺（T逆-T顺）=275（7-5）=35（天），选择B2.排列组合问题 排列：与顺序有关，用A组合：与顺序无关，用C排列公式：Anm=n/(n-m)=n(n-1) (n-2) (n-m+1)(简单记忆就是从n开始，连续乘以m个数)组合公式：Cnm= n/(n-m)m= n(n-1) (n-2) (n-m+1)/m(m-1) (m-2) (m-3) 1一、相邻问题-捆绑法6人排成一队，ab要排在一起： A22*A55（先排ab，再捆在一起与剩下的4人一起排队）二、不相邻-插空法6人排队，ab不排在一起：A44*A52（先排 除了ab

8、之外的4人，4人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）三、围成一圈6人围成一圈：A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）四、几对夫妻排队4对夫妻排队：A88（相当于8人排队）五、夫妻要排一起4对夫妻排队，并且夫妻要排在一起：（A22*A22*A22*A22）*A44(先把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队)六、夫妻坐在一起圆桌吃饭4对夫妻坐在圆桌上吃饭，并且每队夫妻要坐在一起：（A22*A22*A22*A22）*A33）七、错位排列型N个封信和N个信封，每一封信都不装在自己的信封里，可能的种数为Dn，则D1=0，D2=1，D3=2,D4=9,D5=44。八、分配插板

9、将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少一个，共有多少种分法？答：C72。（8个苹果排成一排，除两头外共有7个空档，选择2个空档插入）将8个苹果，分给3个小朋友，每人至少2个，共有多少种分法？答：C42。（8个苹果先给每个小朋友分1个，剩下5个苹果排队，除去两头外共有4个空档，选择2个空档插入）3.牛吃草问题核心公式：y=(N-x)*T y代表草量，N代表牛的数量,x代表草长的速度，T代表吃完草需要的时间表格法解牛吃草问题例：一片草地（草匀速生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃多少天？190 50 12 N3 N3-x T3 200 60 10 2000

10、N1 N1-x T1 N1*T1240 100 6 1440 N2 N2-x T2 N2*T2 140 4 560 x=右两项之商 T1-T2 N1*T1-N2*T2 y= （N3-x）*T3 =（N1-x）*T1=（N2-x）* T2注：题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。4.钟表问题基本常识：时针每分钟走0.5，分钟每分钟走6； 24h，时针和分钟重合22次，垂直44次； 钟表上每两格之间为30 钟表问题追及公式：T=To+（1/11）To,其中T为追及时间，To为静态时间，及假设时针不动，分针和时针达

11、到条件要求时的虚拟时间。例：时针和分针在7点多少分重合？假设时针不动，分钟需要走35分钟才能与时针重合（7点时分钟和时间间间隔35分钟的空格），所以To为35分钟，带入公式，T=35+35/115.余数同于问题核心口诀：余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。（1）余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为60n+1。（60为4,5,6的最小公倍数，可取60的任意整倍数）（2）和同：一个数除以4 余3，除以5余2，除以6余1，则取7， 表示为60n+7。（3）差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取3， 表示为60n-3。注：n的取值围为整数，可为负值，也

12、可以取0。6.容斥原理 两集合标准型核心公式：满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数三集合标准型核心公式： ABC=A+B+C-AB-AC-BC+ABC三集合整体重复型核心公式： BW=x+y+z A+B+C= x1+y2+z3 A C其中满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素总量为W，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为y。例：一个班级共有55个学生，暑假参加特长培训班，35人参加书法，28人参加美术，31人参加舞蹈，其中以上三种培训班都参加的有6人，则有多少人只参加一种培训

13、班？22解答：W=55，z=6，A=35，B=28，C=31，代入公式 55=x+y+6 解得 x=22 35+28+31= x1+y2+63 y=277.几何问题模块 周长计算公式：正方形周长=4a；长方形周长=2(a+b)；圆周长=2R；扇形周长=2R（n/360）面积计算公式：正方形面积=a；菱形面积=对角线乘积的一半；长方形面积=ab；圆面积=R；扇形面积=R（n/360）；三角形面积=1/2ah=1/2absinC；平行四边形=ah；梯形面积=1/2（a+b）h；正方体表面积=6a；长方体表面积=2ab+2ac+2bc；球表面积=4R=D体积计算公式：正方体体积=a；长方体体积=ab

14、；球体积=3/4R；棱柱体积=sh；圆柱体积=sh=Rh；棱锥体积=1/3sh；圆锥体积=1/3sh=1/3Rh勾股定理：a+b=c几何特性：1等比放缩一个几何图形，其尺寸变为原来的m倍，则：1.所有对应角度不发生改变2.所有对应长度变为原来的m倍3.所有对应面积变为原来的m倍4.所有对应体积变为原来的m倍2几何最值1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。3三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。几何边端：1植树型1.

15、单边线型植树公式：棵数=总长间隔 +1；总长=（棵数-1）间隔2.单边环形植树公式：棵数=总长间隔 ；总长=棵数间隔3.单边楼间植树公式：棵数=总长间隔 -1；总长=（棵数+1）间隔4.双边植树问题公式： 响应单边植树问题所需棵数的2倍2方阵型（N为每边人数）三角形方阵：总人数=3N-3 四边形方阵：总人数=4N-4 五边形方阵：总人数=5N-5 六边形方阵：总人数=6N-6M排N列实心方阵：总人数=MN，外围人数=2M+2N-4N排N列实心方阵：总人数=NN，外围人数=4N-4规律总结：1.无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足：外圈比圈多8人。 2.在方阵中，总人数=N=（外圈人数4+

16、1）8.其他一些常用公式： 1.前n个奇数之和为n；2.等差数列公式：和=（首项+末项）项数2=平均数 （中位数）项数；项数=（末项-首项）公差+13.等比数列公式：an=a1qn-1 ；sn=a1(qn-1/q-1)4.三位数的页码公式：页码=（数字+111）3-1=数字3+36（数字代表用了多少个数字，如115，用了2个1和1个 5，共3个数字）5.四位数页码公式：页码=（数字+1111）4-16.如果所有的年不是闰年，那么N年之后星期几相当于N天之后星期几7.空瓶换酒型，讲M个空瓶换N瓶酒转化为(M-N)个空瓶换N个（无瓶）酒例：超市规定每3个空汽水瓶可换一瓶汽水，小有11个空汽水瓶，最

17、多可以换几瓶汽水？解析：3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，112=5.5，所以最多可换5瓶汽水。委明老师懒人专供部分：1.ABCAC-相对效率问题例：小王和小一起手工制作一种工艺品，每个工艺品由甲部件和乙部件组成，小王每天可制作150个甲部件，或者制作75个乙部件，小每天可制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。现两人一起制作工艺品，10天时间最多可制造多少件工艺品？A660 B.675 C.700 D.900解析：先列表甲乙小王150 C75 A小 60 B24将表中的数字十字相乘并比较大小即：15024 6075=15030，显然607515024，将相乘最大的两个数，

18、把大数设为A，小数设为B，A所在同一行（左边或右边）所在的数设为C，则得公式A(B+C)/(A+C)，代入可得75210225=70，再乘以天数10，得出700，即为答案。2.九宫格以下九宫格每行、每列以及两条对角线的和相同，为wabcde？fghi 关于九宫格的结论：正中间那个数为和的1/3，即e=1/3 wd,e,f 成等差数列，b,e,h,成等差数列，即2e=d+f=b+h,由此可知两对腰之和相等3顶点处数字为远处两腰的平均数，即i=(d+b)/23.分数求最大公约数和最小公倍数分数的最小公倍数=分子的最小公倍数/分母的最大公约数分数的最大公约数=分子的最大公约数/分母的最小公倍数4对角

19、面切长方体，大边则大，小边则小。（大小包括周长和面积）蚂蚁走路，一点走到另一对点，切割长的棱则路线短，切割短的棱则长。（这个较抽象，可取观看委明老师的讲课视频理解）5容斥原理扩展二多型：参与两种的至多有多少例：一个班级有30（M）名学生，12（A）个人会跳拉丁舞，8（B）个人会跳肚皮舞，10（C）会跳芭蕾舞，问至多有多少人会跳两种舞蹈？1若ABC可以构成三角形，则答案为（A+B+C）/22若ABC无法构成三角形，B+C2M,则答案为3M-（A+B+C）三少型：参加三种的至少有多少例：一小偷藏匿于某商场，三名保安甲乙丙分别行动搜查商场的100家商铺。已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？公式：（A+B+C）-2M同理四少型：（A+B+C+D）-3M（以上公式，有不足及错误之处，敬请大家指出，）