数学建模A题优秀论文.docx

1、数学建模A题优秀论文2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正

2、、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 5486 所属学校（请填写完整的全名）： 华南理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 孙增辉 2. 李润铄 3. 彭玄 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 刘清 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许

3、做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2013 年 9 月 16 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评阅人 评分 备注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 交通是城市的命脉。车道往往会因为交通事故等原因被占用，从而降低了道路的通行能力，严重的话会导致交通堵塞。为了帮助交通管理部门更好地管理城市交通，需要正确估算车道被

4、占用对城市道路通行能力的影响程度。 为了更准确地计算视频中上流路口进入事发路段的车辆和通过交通事故所占车道的横断面的车辆情况，本文在使用了背景差分法为主，直方图均衡化、中值滤波法、形态学滤波法和边缘检测算法为辅的图像处理方法得到检测运动车辆的视频，使计算更简便。 针对问题一，根据权威文献计算出事故发生期间事故所处横断面理论通行能力和实际通行能力，由两种通行能力随时间变化的图像可知实际通行能力在事故期间随时间在理论通行能力上下波动，而且这种波动符合正态分布。 针对问题二，在视频一和视频二的数据通过正态检验和方差齐次检验后，利用这些数据使用方差分析得到同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通

5、行能力的影响无显著性差异的结论。为了得到这种影响的实际情况，本文又进一步使用了通径分析，得到的结果为同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力的影响决定于各车道的流量比例。 针对问题三，首先使用城市交通二流理论计算得到事发路段随事故持续时间增加而改变的排队长度，然后使用非线性比例尺改进算法统计视频的排队长度。然后用夹角余弦法对事故横断面实际通行能力、路段上游车流量分配权重统一为一个自变量，和事故持续时间一同作为 BP 神经网络的输入样本，排队长度作为输出样本进行训练，得到一个拥挤交通流排队长度模型。最后用遗传算法对神经网络进行优化。模型的结果和样本数据拟合效果较好，显示排队长度会随着排

6、队时间变大，路段上游车流量变大，事故横断面实际通行能力下降而不断增加。针对问题四，将车看作元胞，根据所给的数据制定元胞运动规则，构造出基于元胞自动机的交通流预测模型。经过模拟仿真，得到的结果为：事故发生后，在上游车流量波动不大的情况下，经过 8.3 分钟到 9 分钟之间的时间，车辆排队长度将到达上游路口。对模型进行改进，考虑红绿灯的情况，得到车辆排队长度达到上游路口的时间缩短为 8 分到 8.4 分钟之间，平均时间为 8.36 分钟，且排队长度曲线的波动程度变大。 关键词：背景差分法 通径分析 二流理论 神经网络 遗传算法 元胞自动机 一、 问题重述 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施

7、工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 视频 1（附件 1）和视频 2（附件 2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： 1. 根据视频 1（附件 1），描述视频中

8、交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 2. 根据问题 1 所得结论，结合视频 2（附件 2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 3. 构建数学模型，分析视频 1（附件 1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 4. 假如视频 1（附件 1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为 1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 二

9、、 模型假设 1. 只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。 2. 车只分为小、中、大三种车型，小轿车、小型客货车为小型，中型客货车、轻型客货车为中型，大型货车、大型客车为大型，且同一车型的车大小相差不大。 3. 上游车流量不受事故持续时间影响。 三、 符号说明 符号 意义 Pb(k) 灰度级 k 在图像中出现的概率 fk 直方图均衡法的变换函数 Dxyt( , ,k) 差异积累背景建模法的差异动态矩阵 Nmax 基本通行能力 i(i 1,2,3,4,5,6) 修正系数 Nt 理论通行能力 Nx 实际通行能力 S0 初始时刻（t=0 时）上、下游断面之间的车辆数 3 S

10、itU( , ) i 1t 时刻通过上游断面的车辆累计数 SitD( , ) t 时刻通过下游断面的车辆累计数 i 1 St( ) t 时刻上、下游断面之间的车辆数 L 上、下游断面之间的距离 km 上、下游断面之间的交通流最佳密度 kj 上、下游断面之间的交通流阻塞密度 k t 表示时刻 t 时刻上、下游断面之间的平均单车道交通流密度 f 横断面实际通行能力、路段上游车流量的权重 四、 数据获取与处理 4.1 数据获取 观看视频一和视频二，发现这些视频资料在采集过程中受到各种干扰，或者由于光照亮度、摄像机曝光不足的原因，从而导致图像质量下降，图像中车辆的特征信息模糊，给后续的分析计算带来困难

11、。 为了更好地计算事故发生至撤离期间的车辆通行情况，这里运用 Matlab 图像处理的相关算法对视频中的车辆进行检测和定位。因为人的视觉特性是对亮度更敏感，因此要根据图像的亮度预先在处理前将视频里的所有图像转为灰度图像（灰度级取 256），而且节省了存储空间减少了后续算法的计算量。 图像处理的过程如下： 图 1 其中图像增强使用了直方图均衡化，并用中值滤波法去噪，图像检测使用了背景差分法，后处理经过对比后使用了形态学滤波法，最后使用了边缘检测提取边缘。图 1 的具体过程如下。 4.1.1 图像增强 图像增强的方法分为两大类：空域方法和频域方法。为了保证图像处理的实时性，这里使用了两种空域方法，

12、直接对图像中灰度值进行运算处理。 如果一副图像的像素占有更多的灰度级并且分布均匀，那么这样的图像往往有高对比度和多变的灰度色调。直方图均衡化就是一种能仅靠输入图像直方图信息自动达到这种效果的变换函数。它的基本思想是对图像中像素个数多的灰度级进行展宽，而对图像中像素个数少的灰度进行压缩，从而扩展像元取值的动态范围，提高了对比度和灰度色调的变化，使图像更加清晰。 一幅图像中灰度级 k 出现的概率近似为： Pkb( ) (k 0,1,2,.,255)且Pkb( ) 1 (1) k k nj fk Pjb( ) (2) 其中 n 为图像像素的总和，nk 为灰度级为 k 的像素个数。变换函数可表示为：

13、j 0 j 0 n直方图均衡化的具体实现步奏如下： 1. 列出原图像的灰度级 k，并统计原始直方图各灰度级像素个数 nk； 2. 应用公式(1)计算各灰度级分布概率，并应用公式(2)计算各个灰度级的累积分布概率； 3. 确定映射关系进行直方图均衡化计算，得到处理后图像的像素值为255 fk。 使用 Matlab 进行处理得到直方图均衡化的图像左下图，原图像如右下图： 图 2 分析图 2 可知直方图均衡化后的图像效果更佳，对比度更明显。 同时，考虑到图像出现的噪声，为了使图像更清晰，需要过滤这些噪声。抑制噪声常用的方法有领域平均法滤波和中值滤波。但是领域平均法滤波实际上是一种低通滤波器，可能会使

14、带有高频信息的边界变得模糊。因此这里使用了中值滤波法，过滤噪声的同时，又能很好地保护边缘轮廓信息。 使用 Matlab 的中值滤波函数 medfilt2，得到的效果图如下： 图 3 观察图 2 右图和图 3 可知此时色调变化更圆融了，有效地消除了噪声的干扰，同时边缘信息并没有消失，更有利于对交通情况的分析。 4.1.2 图像检测 图像检测是为了对视频中的运动目标进行检测和识别，进而描述运动目标的行为。这里使用背景差分法进行图像检测。背景差分法的基本思想是将当前图像与背景图像相减，通过选取合适的阈值进行二值化来检测运动目标。背景差分法最关键的步骤为背景建模。 背景建模的常用方法主要有直方图法、平

15、均值法和差异积累背景建模法等。直方图法对于该视频交通阻塞或缓慢运动的车辆失效，而且比较浪费内存。由于视频中车流量有大有小，而平均值法在车流量较大时失效而且浪费存储空间，因此使用差异积累背景建模法最佳。 差异积累背景建模法的具体步骤如下： 1. 对于 N 帧的视频图像Ixyt( , , )，设Ixyt( , , 1)为基准图像。第 k 帧图像与基准图像差异记为Fxyt( , ,k),差异动态矩阵记为Dxyt( , ,k)，变化阈值选为 T： Fxyt( , ,k) 1,| ( , ,Ixyt Ixytk) ( , , )|k 1 T (3) 0 Dxyt( , ,k) Dxyt( , , ) 1

16、, ( , ,k 1 Fxytk) 0 且Dxyt( , ,k 1) m 0(4) 2. Dxyt( , ,k)记录像素的变化，并进行实时更新。当Dxyt m( , ,k) 时，可知该位置短时间灰度变化不大，将该位置的像素更新为背景。更新的背景模型记为Bxyt( , ,k)，背景更新公式为： Bxyt( , ,k) Ixyt( , ,k) (1 )(Bxyt, ,k 1) (5) 决定了背景缓存平滑滤波程度及更新速度，由经验取0.05,0.1。 使用 Matlab 经过差异积累背景建模得到的部分图像如下： 图 4 可见背景建模的效果基本理想，但仍需进一步改进。 背景建模后对运动前景进行检测和处

17、理，这里分别使用了 Otsu 算法和形态学滤波法进行处理，发现形态学滤波方法最佳。形态学的基本思想是使用具有一定形态的结构元素来度量和提取图像中的对应形状，从而实现对图像进行分析和识别。这里使用了形态学滤波法的开操作，开操作主要是为了消除离散点和毛刺，即对图像进行平滑。其 Otsu 算法与形态学滤波法处理的图像如下： 图 5 比较二图可知形态学滤波效果更佳且运动目标从远处过来时会逐渐变大，这一点利于计算。 图像的后处理 为了更好标志图像的车辆，这里使用了边缘检测作为后处理的方法。它能剔除不相关的信息，保留图像重要的结构属性。边缘检测最常用的算子是 Canny 算子，其步骤如下： 1. 用高斯滤

18、波器对图像进行滤波，去除图像中的部分噪声； 2. 用高斯算子的一阶微分对图像进行滤波，得到图像梯度的强度和方向； 3. 对梯度进行非抑制和滞后阈值处理，得到边缘图像。边缘检测的最终图像如下： 图 6 观察图 6 可知汽车轮廓比较明显，轮廓比较小的是小轿车，轮廓最大的是公交车。过轮廓对汽车的特征表现不够，这一点需要增强。 4.2 数据处理 对两个视频进行图像处理后，忽略前几秒不稳定显示的视频，开始计算视频一中每一分钟通过事故横断面和从上游路口涌现的大、中、小型机动车及电瓶车的数量及排队长度。之所以选择一分钟，是因为附件五显示上游路口信号周期为 60 秒，如果选取 30 秒的话，上游路口会出现数量

19、上升下降的周期性，不便于数据分析。为简化模型，将视频中车辆分为大中小三类，因为小轿车是该交通要段的主要交通工具，故作为标准车当量，中型车是小型客车等，其标准车当量为 1.5，大型车为公交，它的标准车当量为 2。最后统计视频中事故的持续时间和排队长度。经过计算，得到每一分钟通过事故横断面和从上游路口涌现的各种车型的车辆数量见附录。 其中，由于视频中出现了一些卡顿、暂停、跳变、镜头拉伸的现象，这些现象是图像处理后的结果不稳定，需要对这部分视频信息进行剔除。 五、 问题一模型 5.1 问题分析及模型选取 视频中交通事故发生至撤离期间，原本通畅的三车道变成拥挤的单车道。对于该横断面，通行能力受到严重限

20、制，此时的理论通行能力迅速下降，实际通行能力也因此下降，易于导致交通堵塞。 为了正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，为交通管理部门正确引导车辆行驶提供根据，需要建立事故期间事故所处横断面实际通行能力随时间变化的序列模型，并分析实际通行能力与理论通行能力之间的关系。 5.2 模型建立及求解 由参考文献1可知通行能力分为理论通行能力、实际通行能力和规划通行能力。 5.2.1 理论通行能力的计算 理论通行能力是以基本通行能力为基础考虑到实际的道路和交通状况，确定其修正系数，再依此修正系数乘以前述的基本通行能力，即得实际道路、交通与一定环境条件下的理论通行能力。 其中基本通行能力 Nmax

21、 为由参考文献2可知为 2000pcu/h。修正系数有：车道宽度修正系数 1 0.94； 侧向净空的修正系数 2 1； 纵坡度修正系数 3 1； 视距不足修正系数 4 1； 沿途条件修正系数 5 0.7；考虑到不同车型影响的交通条件修正系数 6。 交通条件修正系数 6由下面的公式计算，其中 H 为大车占流量的比例： 100 6 100 H 2H 由上面的系数和下式理论通行能力便可计算得到： (6) N Ntk max 1 2 3 4 5 6 (7) 计算得到的理论通行能力大约在 1315pcu/h。 5.2.2 实际通行能力的计算 实际通行能力有两种计算方法，第一种可由交通部公路通行能力手册的

22、资料得到，即道路在特定时段内所能通过的最大车辆小时流率。其公式如下： N npk1 k 60 (8) Npk1 为实际通行能力，nk 为第 k 分钟该道路通过的车当量数，之所以乘以 60是因为 nk 统计的是六十分之一小时的车当量数，需化为标准当量。计算出来的具体数值如下： 时间点(min) 1 2 3 4 5 6 7 8 实际通行能力(pcu/h) 1620 1290 1050 1260 1110 1320 1470 1140 时间点(min) 9 10 11 12 13 14 15 实际通行能力(pcu/h) 1440 1020 1080 1200 1050 1020 1350 表格 1

23、由表格 1 可知实际通行能力具有比较大的波动，同时波动是在理论通行能力附近，其具体关系仍需进一步观察。 第二种方法是由参考文献1提供的公式计算得到实际通行能力： N N x fw fHV fppk2 t (9) 其中 x 为车道数，事故发生后这里取 1，fw 是车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数，fHV 是大型车对通行能力的修正系数，计算公式为： 1 fHV (10) 1 pHVEHV( 1)EHV 为大型车换算成小客车的车辆换算系数，PHV 为大型车交通量占总交通量的百分比。 计算得到的实际通行能力同样在理论通行能力附近波动，具体数值见附录。 5.2.3 实际通行能力的变化过程的描述 由

24、式(7)、(8)和(9)计算得到的理论通行能力和实际通行能力随时间变化的情况如下： 图 7 可以看到两种计算方法得到的实际通行能力都在理论通行能力附近波动，使用 SPSS 对其进行正态检验，发现两者的 sig 都大于 0.05，说明两者都服从正态分布。因此实际通行能力在事故期间是在理论通行能力附近随着时间波动且满足正态分布，即是说，实际通行能力本质上是由理论通行能力决定，受现实条件影响。 六、 问题二模型 6.1 问题分析及模型选取 观察视频二事故发生地点横断面的实际通行能力与理论通行能力和事故持续时间变化的图像如下： 图 8 其实际通行能力同样在理论通行能力上下变动，故总体特征与视频一的情况

25、相似。 然而观察视频一和视频二交通事故发生的车道和附件三，可知视频一交通事故占用了车道二和车道三，视频二交通事故占用了车道一和车道二。由常识可知，当一辆车开进事故所处路段时，如果它需要右转，它会往车道一上开，如果想需要直行则往车道二上开，同理，如果需要左转则往车道三上开。又由附件三可知右转流量比例为 21%，直行流量比例为 44%，左转流量比例为 35%。因此可知实际上三条车道的实际通行能力是有差别的，因此交通事故所占车道不同可能对该横断面实际通行能力影响有差异。 分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，实际上是要建立一个评价同一横断面的交通事故所占车道不同对通

26、行能力影响的模型。要分析这种影响，先要分析视频一和视频二交通事故所占车道不同对该横断面通信能力的影响是否有显著性差异。分析显著性差异的常用方法为方差分析。不过方差分析需要通过正态检验和方差齐次检验，如果不通过这两种检验则需要进行非参数检验。 为了进一步分析同一横断面的交通事故所占车道不同对通行能力影响，可以通过分析该车道流通量与该横断面实际通行能力的关系。由于车道可能会相互作用，为了排除其它因素的影响，本文使用通径分析描述该车道流通量与该横断面实际通行能力的关系。 6.2 模型建立及求解 先使用 SPSS 对视频一横断面实际通行能力进行正态性检验，使用的实际通行能力的数据由计算方法一(8)得到

27、，正态性检验得到的结果如下： 图 9 可知 sig0.05，说明视频一横断面实际通行能力符合正态性。 接着对视频二横断面实际通行能力进行正态性检验，其计算方法同式(8)，检验的结果如下： 图 10 可知 sig0.05，故视频二横断面实际通行能力也符合正态性。说明视频一和视频二的横断面实际通行能力都服从正态分布，接着进行方差齐次检验，使用 SPSS 检验的结果如下： 图 11 由图 11 可知 sig0.05，故服从齐次性检验，因此可以通过方差分析直接判断两者是否有显著性差异，使用 Matlab 得到的结果如下： 图 12 由图 12 可 p0.05，因此在置信水平为 0.05 的情况下两者的

28、实际通行能力并没有什么显著性差异。对于这样的结果存在两种可能的解释，一是可能通道一和通道三的流量比例相差不大，事故又都占住通道二，因此实际通行能力差异不大；二是当只有一道车道时，所有车辆无法考虑之后的转向因而无法选择车道，因此被占住的车道是哪一道都没有影响。因此需要对这两种解释进行进一步的探讨。为了进一步得到同一横断面的交通事故所占车道不同对通行能力的具体影响，需要进行通径分析，从而得到单个车道对同一横断面通行能力的影响。通径分析是相关分析的深入。在多元回归的基础上将相关系数分解，得到直接通径、间接通径及总通径系数。这些系数代表了某一变量对因变量的直接作用、通过其他变量对因变量的间接作用效果和

29、综合作用效果。通径分析的步骤如下： 1. 以各个车道一分钟的交通量为自变量 Xi(i=1,2,3)，Xi 计算公式为： X Ni u i (11) 其中 Nu 是上游一分钟的总交通量，因为叉路口 1、2 的总交通量比较少故忽略不计。 i为第 i 个车道流量比例。以横断面的通行能力为因变量，Xi为 Xi 的平均值，Y为因变量的平均值，进行一般的多元线性回归分析得： Y 0 1 1X X X 2 2 3 3 (12) Y 0 1 1X X X 2 2 3 3 (13) 2. 将(12)(13)得： Y Y 1(X X1 1) 2(X X2 2) 3(X X3 3) (14) 3. 式(14)两边同时除以 Y 的标准差 y： Y Y x1 (X X1 1) x2 (X X2 2) x3 (X X3 3) 1 2 3 (15) y y x1 y x2 y x34. 利用最小二乘法求出式(15)各自变量线性回归系数的求解模型，在此基础上，进行一定的数量变换，则可得出如下各简单相关系数的分解方程： P rP rP r1Y 12 2Y 13 3Y 1Y rP P rP r21 1Y 2Y 23 3Y 2Y (16) rP rP P r31 1Y 32 2Y 3Y 3Y