叙述并证明余弦定理精选多篇证明范.docx

1、叙述并证明余弦定理精选多篇证明范叙述并证明余弦定理精选多篇-证明范本 第一篇：叙述并证明余弦定理叙述并证明余弦定理余弦定理第二余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值编辑本段余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c三角为a，b，c，则满足性质a=b+c-2bccosab=a+c-2accosbc=a+b-2abcos

2、ccosc=a+b-c/2abcosb=a+c-b/2accosa=c+b-a/2bc物理力学方面的平行四边形定则中也会用到第一余弦定理任意三角形射影定理设abc的三边是a、b、c，它们所对的角分别是a、b、c，则有a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc，c=acosb+bcosa。编辑本段余弦定理证明平面向量证法如图，有a+b=c平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小cc=a+ba+bc=aa+2ab+bbc=a+b+2|a|b|cos-以上粗体字符表示向量又cos-=-cosc2=a2+b2-2|a|b|cos注意：这里用到了三角函数公式再拆开，得c2=a2+

3、b2-2*a*b*cosc即cosc=a2+b2-c2/2*a*b同理可证其他，而下面的cosc=c2-b2-a2/2ab就是将cosc移到左边表示一下。平面几何证法在任意abc中做adbc.c所对的边为c，b所对的边为b，a所对的边为a则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c根据勾股定理可得：ac2=ad2+dc2b2=sinb*c2+a-cosb*c2b2=sinb*c2+a2-2ac*cosb+cosb2*c2b2=sinb2+cosb2*c2-2ac*cosb+a2b2=c2+a2-2ac*cosbcosb=c2+a2-b2/2ac编辑本段作用1已

4、知三角形的三条边长，可求出三个内角2已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。3已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。见解三角形公式，推导过程略。判定定理一两根判别法：若记mc1,c2为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值若mc1,c2=2,则有两解若mc1,c2=1,则有一解若mc1,c2=0,则有零解即无解。注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二角边判别法:一当a bsina时当b a且cosa 0即a为锐角时，则有两解当b a且cosa =0即a为直角或钝角时,则有零解即无解当b

5、=a且cosa 0即a为锐角时，则有一解当b=a且cosa =0即a为直角或钝角时,则有零解即无解当b二当a=bsina时当cosa 0即a为锐角时,则有一解当cosa =0即a为直角或钝角时，则有零解即无解三当a例如：已知abc的三边之比为5：4：3，求最大的内角。解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：a为最大的角。由余弦定理cosa=0所以a=90.再如abc中，ab=2,ac=3,a=60度，求bc之长。解由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2abaccosa=4+9-223cos60=13-12x0.5=13-6=7所以bc=7.注：cos6

6、0=0.5,可以用计算器算以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。编辑本段其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。第二篇：余弦定理证明过程在abc中，设bca，acb，abc，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通

7、过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rtbdc中，边a可利用勾股定理用c、b表示，而cd可在rtac中利用边角关系表示，db可利用abad转化为ad，进而在rtac内求解。解：过c作cdab，垂足为d，则在rtcb中，根据勾股定理可得： a2c2b2 在rtac中，c2b2a2 又b2（ca）2c22caa2 a2b2a2c22caa2b2c22ca 又在rtac中，adbcosa a2b2c22bccosa 类似地可以证明b2a2c22accosb，c2a2b22abcosc 第三篇：余弦定理及其证明余弦定理及其证明1.三角形的正弦定理证明：步骤1.在锐角abc中，设

8、三边为a，b，c。作chab垂足为点hch=asinbch=bsinaasinb=bsina得到a/sina=b/sinb同理，在abc中，b/sinb=c/sinc步骤2.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法：在任意abc中做adbc.c所对的边为c，b所对的边为b，a所对的边为a则有bd=cosb*c，ad=sinb

9、*c，dc=bc-bd=a-cosb*c根据勾股定理可得：ac=ad+dcb=sinb*c+a-cosb*cb=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosbb=sinb+cosb*c-2ac*cosb+ab=c+a-2ac*cosbcosb=c+a-b/2ac3在abc中，ab=c、bc=a、2=a+b-2a*cd因为cosc=cd/b所以cd=b*cosc所以c=a+b-2ab*cosc题目中表示平方。2谈正、余弦定理的多种证法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材数学必修5是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到

10、作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则1正弦定理=;2余弦定理c2=a2+b2-2abcosc,b2=a2+c2-2accosb,a2=b2+c2-2bccosa.一、正弦定理的证明证法一：如图1，设ad、be、cf分别是abc的三条高。则有ad=b sinbca，be=c sincab，cf=a sinabc。所以sabc=a b csinbca=b c sincab=

11、c a sinabc.证法二：如图1，设ad、be、cf分别是abc的3条高。则有ad=b sinbca=c sinabc，be=a sinbca=c sincab。证法三：如图2，设cd=2r是abc的外接圆的直径，则dac=90，abc=adc。证法四：如图3，设单位向量j与向量ac垂直。因为ab=ac+cb，所以j ab=j ac+cb=j ac+j cb.因为j ac=0，j cb=|j|cb|cos90-c=a sinc，j ab=|j|ab|cos90-a=c sina.二、余弦定理的证明法一：在abc中，已知，求c。过a作，在rt中，法二：，即：法三：先证明如下等式：证明：故式成

12、立，再由正弦定理变形，得结合、有即.同理可证.三、正余弦定理的统一证明法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=0，0、b=c,0，又由任意角三角函数的定义可得：c=bcosa,bsina，以ab、bc为邻边作平行四边形abcc，则bac=-b，cacos(-b,asin-b)=c-acosb,asinb.根据向量的运算：=-acosb,asinb，=-=bcosa-c,bsina,1由=：得asinb=bsina,即=.同理可得：=.=.2由=b-cosa-c2+bsina2=b2+c2-2bccosa，又|=a,a2=b2+c2-2bccosa.同理：c2=a2+b2-2abcosc;

13、b2=a2+c2-2accosb.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即将1式改写为化简得b2-a2-c2=-2accosb.即b2=a2+c2-2accosb.4第四篇：余弦定理证明余弦定理证明在任意abc中,作adbc.c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac =ad +dc b =sinb*c +a-cosb*c b =sin b*c +a +cos b*c -2ac*cosbb =sin b+cos b*c -2ac*cosb+a b =c +a

14、-2ac*cosb所以，cosb=c +a -b /2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是b，0，由三角函数的定义得b点坐标是ccosa，csina.cb=ccosa-b，csina.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是acos(-c，asin-c)即d点坐标是-acosc，asinc,ad=-acosc，asinc而ad=cb-acosc，asinc=ccosa-b，csinaasinc=csina-acosc=c

15、cosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=1/2mc=1/2ma=c+(a/2-ac*

16、cosb)=1/24c+a-4ac*cosb由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=1/2=1/22b+2c-a同理可得：mb=mc=4ma=c+(a/2-ac*cosb)=1/24c+a-4ac*cosb由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=1/2=1/22b+2c-a证毕。第五篇：余弦定理证明过程余弦定理证明过程ma=c+(a/2-ac*cosb)=1/24c+a-4ac*cosb由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=1

17、/2=1/22b+2c-a证毕。2在任意abc中,作adbc.c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac =ad +dc b =sinb*c +a-cosb*c b =sin b*c +a +cos b*c -2ac*cosbb =sin b+cos b*c -2ac*cosb+a b =c +a -2ac*cosb所以，cosb=c +a -b /2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是b，0，由三角函数的定义得b

18、点坐标是ccosa，csina.cb=ccosa-b，csina.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是acos(-c，asin-c)即d点坐标是-acosc，asinc,ad=-acosc，asinc而ad=cb-acosc，asinc=ccosa-b，csinaasinc=csina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a

19、2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=1/2mc=1/2ma=c+(a/2-ac*cosb)=1/24c+a-4ac*cosb由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=1/2=1/22b+2c-a同理可得：mb=mc=4ma=c+(a/2-ac*cosb)=1/24c+a-4ac*cosb由b=a+c-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a+2c-2b，代入上述ma表达式：ma=1/2=1/22b+2c-a证毕。