中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案.docx

1、中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案金牌数学专题系列 经典专题系列 初中数学中考特殊四边形证明及计算一、解答题1、（1）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F、求证：AE=CF、（2）如图，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I、求证：EI=FG、考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）、 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBC，OA=OC，又由平行线的性

2、质，可得1=2，继而利用ASA，即可证得AOECOF，则可证得AE=CF、（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，继而可证得A1IECGF，即可证得EI=FG、解答：证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OA=OC，1=2，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF；（2）四边形ABCD是平行四边形，A=C，B=D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，在A1IE与CGF中，A1IECGF（AAS），EI=F

3、G、点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用、2、在ABC中，AB=AC，点P为ABC所在平面内一点，过点P分别作PEAC交AB于点E，PFAB交BC于点D，交AC于点F、若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB、请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在ABC内（如图2），ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明、考点：平行四边形的性质、 专题：探究型、分析

4、：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PFPD=CF，即PFPD+PE=AC=AB、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB、证明：过点P作MNBC分别交AB，AC于M，N两点，PEAC，PFAB，四边形AEPF是平行四边形，MNBC，PFAB四边形BDPM是平行四边形，AE=PF，EPM=ANM=C，AB=AC，EMP=B，EMP=EPM，PE=EM，PE+PF=AE+EM=AM、四边形BDPM是平行四边形，MB=PD、PD+PE+PF=MB+AM=

5、AB，即PD+PE+PF=AB、图3结论：PE+PFPD=AB、点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键、3、如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边ADE，过点C作CFDE交AB于点F、（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出AEF和ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由、考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质、 专题：证明题、分析：（1）根据ABC和

6、AED是等边三角形，D是BC的中点，EDCF，求证ABDCAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出AEF和ABC的面积比；（3）根据EDFC，结合ACB=60，得出ACF=BAD，求证ABDCAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC、解答：（1）证明：ABC是等边三角形，D是BC的中点，ADBC，且BAD=BAC=30，AED是等边三角形，AD=AE，ADE=60，EDB=90ADE=9060=30，EDCF，FCB=EDB=30，ACB=60，ACF=ACBFCB=30，ACF=BAD=30，在ABD和CAF中，ABD

7、CAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形，EF=CD、（2）解：AEF和ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立、理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDBAFC=BDA，在ABD和CAF中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形，EF=DC、点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握、此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大、4、如图，在菱形ABCD中，AB

8、=10，BAD=60度、点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0t10）、（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MPAB，交BC于点P、当MPNABC时，设MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的

9、值、考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质、 专题：压轴题、分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可、（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积、（3）易得MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可、解答：解：（1）设：BN=a，CN=10a（0a10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0t10）所以，AM=1t=t（0t10），MD=10t（0t10）、所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN

10、）菱形高2=（t+a）菱形高2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）菱形高2=（10t）+（10a）菱形高2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，当t+a=10，（0t10），（0a10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分、（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0t5，因为AB=10，BAD=60，所以菱形高=5，AM=1t=t，BN=2t=2t、所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）菱形高2=3t5=t（0t5）、所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为、（3）当M

11、PNABC时，则ABC的面积=MPN的面积，则MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MNAC，N在C点外，所以不重合处面积为（at10）2重合处为S=25，当S=0时，即PM在CD上，a=2、点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件、5、如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（ab），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（）、（）、（）三个命题：命题（）：图中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（）：图中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形

12、ABCD的内接菱形；命题（）：图中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形、请解决下列问题：（1）命题（）、（）、（）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）、（3）试探究比较图，中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系、考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理、 分析：（1）先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；根据三角形中位线定理得到四条

13、边都相等；先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可、（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a2b，a=2b和a2b三种情况讨论、解答：解：（1）都是真命题；若选（）证明如下：矩形ABCD，ADBC，AH=BG，四边形ABGH是平行四边形，AB=HG，AB=HG=AH=BG，四边形ABGH是菱形；若选（），证明如下：矩形ABCD，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90，E、F、G、H是中点，AE=BE=CG

14、=DG，AH=HD=BF=FC，AEHBEFDGHGCF，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形；若选（），证明如下EF垂直平分AC，FA=FC，EA=EC，又矩形ABCD，ADBC，FAC=ECA，在AOF和COE中，ADFCOE（SAS）AF=CE，AF=FC=CE=EA，四边形AECF是菱形；（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；（3）SABGH=a2 ，SEFGH=ab，S菱形AECF=，a2=0（ba）S菱形AECFSABGH、ab=0，S菱形AECFSEFGH、a2 ab=a（ab）当ab，即0b2a时，S菱形ABGHS菱形EFGH；当a

15、=b，即b=2a时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；当ab，即ba时，S菱形ABGHS菱形EFGH、综上所述：当Ob2a时，SEFGHSABGHS菱形AECF、当b=2a时，SEFGH=SABGHS菱形AECF、 当b2a时 SABGHSEFGHS菱形AECF、点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点、注意第（3）题需要分类讨论，以防错解、6、在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG、（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若ABC=90

16、，M是EF的中点，求BDM的度数；（3）如图3，若ABC=120，请直接写出BDG的度数、考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质、 分析：（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明CEF=CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明BMEDMC可得DM=BM，DMC=BME，再根据BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90可得到BDM的度数；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证E

17、CG是等边三角形、由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEB，求证BEGDCG，然后即可求得答案、解答：解：（1）证明：AF平分BAD，BAF=DAF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=CFE，CEF=CFE，CE=CF，又四边形ECFG是平行四边形，四边形ECFG为菱形、（2）如图，连接BM，MC，ABC=90，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，ECF=90，四边形ECFG为正方形、BAF=DAF，BE=AB=DC，M为EF中点，CEM=ECM=45，BEM=DCM=135，在BME和DMC中，BME

18、DMC（SAS），MB=MD，DMC=BME、BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90，BMD是等腰直角三角形，BDM=45；（3）BDG=60，延长AB、FG交于H，连接HD、ADGF，ABDF，四边形AHFD为平行四边形，ABC=120，AF平分BAD，DAF=30，ADC=120，DFA=30，DAF为等腰三角形，AD=DF，平行四边形AHFD为菱形，ADH，DHF为全等的等边三角形，DH=DF，BHD=GFD=60，FG=CE，CE=CF，CF=BH，BH=GF，在BHD与GFD中，BHDGFD（SAS），BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60、点评：此题主要考

19、查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法、7、在ABC中，BAC=90，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：AFC=ACB+DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出AFC、ACB、DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出AFC、ACB、DAC的关系式、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质、 专题：几何综合题、分析：（1）AFC、ACB、DAC的关

20、系为：AFC=ACBDAC，理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD=AF，且FAD为直角，得到BAC=FAD，等式左右两边都加上CAD得到BAD=CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出AFC=ADB，又ACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到ACB=ADB+DAC，变形后等量代换即可得证；（2）AFC、ACB、DAC的关系式是AFC+ACB+DAC=180，可以根据DAF=BAC=90，等号两边都减去BAF，可得出DAB=FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全

21、等三角形的对应角相等可得出AFC=ADB，根据三角形ADC的内角和为180，等量代换可得证、解答：解：（1）关系：AFC=ACBDAC，（2分）证明：四边形ADEF为正方形，AD=AF，FAD=90，BAC=90，FAD=90，BAC+CAD=FAD+CAD，即BAD=CAF，（3分）在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），（4分）AFC=ADB，ACB是ACD的一个外角，ACB=ADB+DAC，（5分）ADB=ACBDAC，ADB=AFC，AFC=ACBDAC；（6分）（2）AFC、ACB、DAC满足的关系式为：AFC+DAC+ACB=180，（8分）证明：四边形ADEF为正方形，DAF

22、=90，AD=AF，又BAC=90，DAF=BAC，DAFBAF=BACBAF，即DAB=FAC，在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），ADB=AFC，在ADC中，ADB+ACB+DAC=180，则AFC+ACB+DAC=180、点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键、8、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CNDP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON、（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图

23、2中任选一图证明下面结论：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系、考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质、 专题：代数几何综合题、分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC，DCB=CBN=90，求出CPD=DCN=CNB，证DCPCBN，求出CP=BN，证OBNOCP，推出ON=OP，BON=COP，求出PON=COB即可；（2）同法可证图2时，OP=ON，OPON，图1中，S四边形OPBN=SOBN+SBOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=SPOB+SPBN，代入求出即

24、可、解答：（1）证明：如图1，正方形ABCD，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB，DPCN，CMD=DOC=90，BCN+CPD=90，PCN+DCN=90，CPD=CNB，DCAB，DCN=CNB=CPD，在DCP和CBN中，DCPCBN，CP=BN，在OBN和OCP中，OBNOCP，ON=OP，BON=COP，BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90，ONOP，即ON=OP，ONOP、（2）解：AB=4，四边形ABCD是正方形，O到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN=SOBN+SBOP，=（4x）2+x2，=4（

25、0x4），图2中，S四边形OBNP=SPOB+SPBN=x2+（x4）x=x2x（x4），即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：、点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似、9、如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG、（1）求证：DE=DG； DEDG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）

26、；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图复杂作图、 分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DEDG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值、解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，DC=DA，DCE=DAG=90、又CE=AG，DCEDAG，DE=DG，EDC=GDA，又A

27、DE+EDC=90，ADE+GDA=90DEDG、（2）解：如图、（3）解：四边形CEFK为平行四边形、证明：设CK、DE相交于M点四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，AB=CD，EF=DG，EFDG，BK=AG，KG=AB=CD，四边形CKGD是平行四边形，CK=DG=EF，CKDG，KME=GDE=DEF=90，KME+DEF=180，CKEF，四边形CEFK为平行四边形、（4）解：，设CE=x，CB=nx，CD=nx，DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，BC2=n2x2，=、点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判

28、定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂、10、如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点、（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由、考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质、 分析：（1）

29、根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PEPD，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PEPD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案、解答：解：（1）当点P在线段AO上时，在ABP和ADP中，ABPADP，BP=DP，PB=PE，PE=PD，过点P做PMCD，于点M，作PNBC，于点

30、N，PB=PE，PNBE，BN=NE，BN=DM，DM=NE，在RtPNE与RtPMD中，PD=PE，NE=DM，RtPNERtPMD，DPM=EPN，MPN=90，DPE=90，故PEPD，PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PEPD；（2）四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BA=DA，BAP=DAP=45，PA=PA，BAPDAP（SAS），PB=PD，又PB=PE，PE=PD、（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD、（ii）当点E在BC的延长线上时，如图、ADPABP，ABP=ADP，CDP=CBP，BP=PE，CBP=PEC，PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD、综合（i）（ii），PEPD；（3）同理即可得出：PEPD，PD=PE、点评：此题主要考查了正方