考研数三真题与答案解析完整版0001.docx

1、考研数三真题与答案解析完整版00012013年考研数三真题及答案解析、选择题1 8小题.每小题4分，共32分.、1.当x0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，贝y下列式子中错误的是（）2ox2ox= 33(A) ()()xox ( B) o(x)o(x)() (C o(x 2)o(x 2)o(x 2) ( D o(x)o(x 2)o(x 2)2xoxgxxox332如当 x0 时()(),()()2o（x）故应该选xx0xx1xlnxlimf(x)limlim x1x(x1)lnx2ln 1xx,所以所以 x1 不是函数 f（x）的limf(x)limlim x(1)ln1x(x1)lnxx

2、x1x1可去间断点. 故应该选（C .3 .设D是圆域 D(x,y)|x1 k2y 2的第k象限的部分，记lk(yx)dxdy，则 Dk(A)0I ( B I20( C I30( D I 40 1【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k11 = ffk(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)21-J0 ) _n(k1)3D2| =sincos4,所以 I 1I0,I 2,IH3V|2 1 乂 *22=应该选(B).334 .设 a为正项数列，贝y下列选择项正确的是（）1)nn1D正确，故应选（D）.【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（此小题的（A（ B）选项想考查的交错级

3、数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（ A）,但少条件limaO，显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件丿nn则可知（1,2,） 一 一 一ib i1 bibinnin，得到矩阵C的列向量组可用矩阵 A的122列向量组线性表示.同时由于 B可逆，即ACB同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价.应该选（B）.1a12006.矩阵abaObO相似的充分必要条件是 与矩阵lalOOO(A)a0,b2 ( B) aO, b为任意常数(C a2占0 ( D a2, b 为任意常数2001a1200与矩阵【详解】注意矩阵0b

4、0是对角矩阵，所以矩阵 A=aba0b0相0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等. /.- -1a1=7 2bba 十上(2)22z.EAaba(1a1从而可知2b2a22b，即a0 , b为任意常数，故选择（B）.22PP2X2,贝yPRR, B) P2PR7PP 13(1)23(1)0 .2. * -3尸 故选择（A）.8设随机变量X和丫 相 X0123P 扌互独立，且X和丫的概率莖分布分别为 *P 1/21/4/81/8Y-101P1/31/31/3贝y PXY2 ()12(B) 18(C 16(D) 12【详解】12 24 24 6P XY2RX1,YJ PX2Y

5、OpX3,Y1,故选择（0.、填空题（本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）nn2limnFlim2f + n2n； .n10.设函数zzx,y是由方程zyxy【详解】设 Fxyzzyxy，（）n22nxz确定，则| (1,2)xxx1FxX,yzzyzyyFxyzxzy ,I ,()l),(,n,)()( 二当 x1,y2 时，z0，所以 | (1,2) 22ln2lnx*-_ 亠一匚 +11. dx1(1)rix【详解】l1 ln2Inx1lnx1dxlnxd|dxln12x(1x1x1x1(x(1 J )1x)12.微分方程0 yyy的通解为.1r，两个特征根分别

6、为【详解】方程的特征方程为 0解为2y(CiCx)e，其中213 .设Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aj为元素aij的代数余子式，且满足 ijAaij0(i,j1,23)，贝U A=【详解】由条件+ Aja0(i,j1,2,3)AA其T4-可知*0中A*为A的伴随矩阵，从ij而可知A*AAA*T31所以A可能为1或_0 .n,r(A)nr( A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r ( A*)，伴随矩阵的秩只=0,r(A)n1能为3,所以A1.14.设随机变量X服从标准正分布 XN(0,1)，则EX.【详解】匸1xe =2x2 I广 V xeeedx(x22)e2dx、解答题15.

7、(本题满分10分)当x0 时，1cosxcos2xcos3x十与丄axn是等价无穷小，求常数a,n .【分析】主要是考查x0 时常见函数的马克劳林展开式.2ox2【详解】当cxo1sx ,x0时,()cos222ox xoxx1(2x)()12()2192ox 2x 2oxcos3x1(3x)()1()22所以1cosxcos2xcos3x1( 112 2ox2xoxxoxxox222222由于 1cosxcos2xcos3x 与16.（本题满分10分）x()(12()(1()7(nax是等价无穷小，所以a7,n2 .Vx,Vy分别是D绕x3x设D是由曲线y，直线xa(a0)及x轴所转成的平面

8、图形, 3-二 1aa 二江(25 32 *33Vxydxxdxa ;00= 7T J =4 ik547V aa -33【详解】由微元法可知:Ty2xf(x)dx2xdxa07=0由条件10VV知a77. y41618.(本题满分10分)1000【详解】是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求:(1 )该的边际利润润-(2)当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.(3)使得利润最大的定价【详解】(1)设利润为y,则 6000 yP Q(600020Q)40Q,li边际利润为 y40.500(2)当P=50时，Q=10000,边际利润为 20.经济意义为：当P=50时，销量每增

9、加一个，利润增加20000(3)令 y0，得 40.Q20000,P60,证明1000019.(本题满分10分)设函数fx在0,)上可导，fOO，且limf(x)2(1)存在aO,使得fa1;(2 )对( 1)中的a,存在 (0,a)，使得1f () a【详解】证明（1）由于limf（x）2 ，所以存在 XP，当xX时，有又由于fx （在*0,） 上连续，且f00，由介值定理，存在 a0，使得fa1 ;（2）函数fx 在 0,a 上可导，由拉格朗日中值定理，所有矩阵C.【详解】程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111a10a101a00A |b ,1011100001a0Ja0b0

10、000b10111所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵 C使得ACCAB（ H01100此时，A|b，0000000000x0103x 00141GCC + 一121G1,C2为任意常数.GG1221.(本题满分11 分)设二次型22f(x 1, X ,x)2(axaxax)(bxbxbx)23112233112233.记3 = a1a2a3b1b2b3(1)证明二次型f对应的矩阵为2Tt;(2)若,正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为222yy2【详解】证明：(1)f( x.x , x)3 = 2(ax112 x, x1 2a)x2 2a1 -,x a3 2t矽3ax3

11、3a , a, a 123r)鋼1 W 2 x2x1x2x3x , x,1X，1X，2X，1X1X2cTT证明(2)设AP = ( a cta a TT PP2.TTT +昭，由于 =10a 2TTT则222A,所以为矩阵对应特征值12xa的特征向量;A22,所以为矩阵对应特征值 21的特征向量;b jx)(33b1x b3 2b3x1Gtb1x1,b x2 3 2x3x2x3TTrrT而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的个特征值.故f在正交变换下的标准形为222%22.(本题满分11分)2x设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为= 3x,01 f x(x),在给定

12、0,Xx(0x1)的条件下，丫的条件概率密度为其他 ,Oyx,(1 )求 X,丫的联合概率密度fx,y ;(2) 丫的的边缘概率密度f( y)【详解】(1) X, Y的联合概率密度fx,y :fx,yf(y/x)f $ X丫lX=- ln23.(本题满分11分)6设总体X的概率密度为f (x；)3hIIfy/x).(30,其他29yx0,y,o,0x1,0y卓他x0,X1X2,X为来自总体X的简单随机样本.(1 )求的矩估计量xe,x00,其他其他，其中为为未知参数且大于零，(2 )求的极大似然估计量.【详解】(1 )先求出总体的数学期望E ( X)x, E(X)xf(x)dxedxi1X i令E(X)XX，得的矩估计量nn1(2)当 xO(i12n)i时，似然函数为取对数，e()2nln3lnxn22nL 0 二n 一()ee ,nn133xxii1n-6 J1i1idlnL()令0d2n1，得0x i1ii1 n解得的极大似然估计量为.