课题《渗透数学思想方法优化作业布置提高教学质量》结题报告.docx

1、课题渗透数学思想方法优化作业布置提高教学质量结题报告 课题渗透数学思想方法 优化作业布置 提 高教学质量结题报告沛县体育中学 G081217 张峰1一课题研究的背景及现状 素质教育已做了许多年，各种课改纷至沓来，但很多都是反映在口头上，而没有落实在行动上。传统的应试教育势力强大，始终萦怀于中国人民心中的强国梦伴随于科学技术高速发展的“知识爆炸”，以及普遍存在于“后发型国家”一定发展阶段教育之选拔功能的突显等因素,使我国学校的课程体系表现出下列特征：对于书本知识的热衷追求使学生的学习课业负担不断加重，厌学情绪不断加深，老师为考试而教，学生为考试而学，老师叫苦，叫累，学生更是苦不堪言。仍然存在着物

2、理难、化学繁、数学的题做不完的怪圈。各种版本的教辅用书、训练习题泛滥成灾，学生死记硬背，题海训练的状况普遍存在，学生机械的训练，缺少数学思想方法的指导，缺乏学习兴趣，缺乏学法练法指导，而老师还存在片面思想：训练百遍其道理自见。学生消耗了大量的精力时间，效果不佳，成绩不显著。若老师把机械的训练，布置作业，转化成根据数学思想方法，优化作业布置，辅以学法指导，学生增加了趣味性，提高了钻研的兴趣，节约了时间，有了研究的空间，使学生由感性认识上升到理性认识，思维上升到哲学的高度，达到事半功倍的效果。二课题研究的目的意义数学思想方法的涵义是如何从整体上和深层次上认识数学的实质，包括对数学知识的产生起了导向

3、作用的意识，人们通过什么思维方式研究数学。数学思想方法的研究和教学，不仅是为了指导学生有效地运用数学知识探寻解题的方向和入口，将知识通过概括和比较上升为能力，更重要的是由于它与一般方法论有着亲缘关系，所以对培养人的思维素质有着特殊的不可替代的意义。通过数学思想方法的渗透，教师可以优化作业布置，减少作业量，把学生从题海中解放出来，全面提高教学质量，提高学生素质。 三课题研究所要解决的问题渗透数学思想方法，通过浏览学习中外古今数学思想史和钻研苏科版数学教材使其有机的结合起来。方程思想即当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。函数思想即把某一数学问题用函

4、数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。整体思想即从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。转化思想即在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。数形结合思想即利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答。建模思想即为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是

5、数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。在苏科版教材上把部分例题、练习、习题、复习题归类演练，使学生通晓数学思想在解题中的运用，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律性，提高数学素养，发展思维能力。感受解题时渗透数学思想方法技巧，并能学以致用。优化作业布置，在作业布置上体现系统的思想和分类思想，把学生从题海中解放出来，真正达到举一反三，触类旁通，提高教学质量。 四课题研究的内容 数学思想方法与教学的关系。 数学思想方法与解题的关系。 五课题研究的方法资料文献法：利用网络查找阅读国内外各种相关资料。行动研究法：教师直接对所从事的课堂教学活动进行研究。调查对比法：现状调查，可用访谈、问

6、卷、测评等形式。 六.课题研究的过程2008年12月底前，准备阶段，申报课题，制定课题研究方案。2009年4月底前，课题研究的第一阶段，浏览数学思想史，写出读书笔记，随笔，感想。2009年10月底前，课题研究的第二阶段，对照苏科版教材分类归档渗透数学思想，写出一些案例，专题等材料。2009年11月-2009年12月，课题总结阶段，写出结题报告。七课题研究的成果 在理论层面上，写出书面材料，把初中数学中渗透的数学思想方法作一些归类，使学生懂得数学思想方法。 在实践层面上，自己率先垂范，在数学教学中渗透数学思想方法，优化作业布置，减少作业量，使学生脱离数学题海，提高数学素养，达到全面提高教学质量。

7、同时注意推广自己的经验做法。（一）.弄清了数学思想方法的概念 方法是一个元概念，它和点、线、面、体、运动集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。例如，可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式，手段途径等的统称，这里的“方式”，“方法”，“手段”，“途径”大体上是同义词。方法一般认为方法是相对于某人目的而言的，方法是人的一种活动，人在活动中为达到某一目的，可以主观能动地选择，组合和创造各种手段、方式加以实行。数学思想和数学方法的关系怎样呢？数学思想尚不能成为一种专用名词，人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的，内容比较丰富，体系相当完整的数学成果。如：坐标思想、极限

8、思想、概率统计思想。可是对这些例子来说将思想换成方法同样适用。一般地说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴，同一个数学成果，当用它去解决个别问题时就称之为方法，当论及其在数学体系的价值时就称之为思想。例如“极限”用它去求导数、求积分时，人们就说极限方法，当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值表示，使无限向有限转化时，人们就说极限思想。为了将这两种意思合在一起，便有了“极限思想方法。M.Klein的古今数学思想，其实说的都是古今数学方法，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师的思想贡献、文化价值，因而才称之为数

9、学思想。总之，欲将数学思想与数学方法区分开来是困难的，因此，人们常常把这两者不加区别的，而统称数学思想方法，这样，会显得更为方便。 数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思想方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。一类是具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法、演绎法。二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象、概括、分析、综合、反证等等。三是数学思想，如数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论的思想及化归与转

10、化的思想。 （二）.找清了数学第一、二学段蕴涵的数学思想方法数学思想比一般说的数学概念更具有抽象性和概括水平，更本质，更深刻。如果人们站在某个位置、某个角度、并运用数学去观察和思考问题，那么就称之为数学思想。数学思想是其相应的数学方法的精神实质和理论基础，数学方法是实施有关对应思想的技术手段。在分析思考解决具体的问题时通常称之为数学方法，也是从题目的已知条件向所求问题靠拢的技术技巧。对应思想对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。我们在解数学问题时，常常用对应的数学思想解题，这种运用对应思

11、想解题，我们常常称之为对应的数学思想方法，对应就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知转化。甲校和乙校共有学生1024人，甲校学生是乙校学生的3倍。两校各有多少人？比较思想比较思想是数学中常见的思想，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。集合思想集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法，集合的思想方法（交集法）一个班42人，有美术书32本，有音乐书27本，至少

12、有多少人两本书都有枚举的思想我们在解某些数字问题、排列组合问题、概率问题、最优化方案问题，时常有这样的感觉，很难列出算式或列方程式求解。在这样的情况下，可把题目中的已知条件进行整理，分类排列，对应的表示出相应的情况。可以根据题目的要求，把可能的答案一一列举出来，再根据题目的条件，逐步剔除，缩小范围，进而筛选出题目的答案。运用这种思想解决实际问题的方法我们称之为枚举的思想方法。例如，营业员有2角和5角的硬币若干，他要找给顾客5元钱，有几中找法？假设思想假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想。假设思

13、想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。我们在解数学问题时，用假设的数学思想解题，这种运用假设思想解题，我们常常称之为假设的数学思想方法，有的应用题中数量关系比较复杂，有的推理题中事物间的联系纵横交错，如果按照一般的解题思路，不易找到解题的方法，这时我们可以把原题作一些转化，使有假设改变题目的某些条件，使复杂关系化简，或使用假设将某些未知设成已知以增加推理的已知因素。有条件假设，问题假设，情景假设。运用假设法可化复杂为单一，化繁难为简易，化迷蒙为明朗，是解决数学难题的好途径。例如圆外切正方形的面积为30平方厘米，求圆的面积。（假设正方形的边长为1，则

14、正方形的面积是1，园的面积是3.140.50.5=0.785 圆的面积是正方形面积的78.5根据比例修正求答）符号化思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。分类思想 分类思想不是数学独有的，数学的分类思想体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、

15、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。转化思想转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用除以一个数等于乘以这个数的倒数。类比思想类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。类比思想方法又称类比推理，但类比推理不是证明，有类比推理得出的结论，只能作为猜想或

16、假设，它的真实性还有证明。类比思想方法生活中最好的例证是鲁班从锯齿草得到启发，类比创造分明了锯子。数形结合思想数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。代换思想代换思想是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？ 可逆思想它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解

17、题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。化归思想把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。 在变化中找不变的量的思想在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科

18、技书多少本？整体思想对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。如以圆的半径为边长的正方形的面积是2，求圆的面积。(2兀)数学模型思想所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。统计思想小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想。极限思想事物是从量变到质变的，极限方法

19、的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。统筹思想我们在制定某项计划或安排某项工作时，经常会遇到如何合理调度，以加快工作进度，提高工作效率。（华罗庚的统筹初步）运用这种方法解题常常称之为统筹的思想方法。例如，妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能泡茶了？（三）.查明了数学思想方法在数学

20、(苏科版）七上章节中的体现 苏科版初中数学教材编排的原则之一即六多。多学习，多体会。利用学校为我们提供的条件，养成科学的思维方式，勤动脑、动手，形成“独立探索，提出问题，合作交流，发现规律”的认知过程。多观察，多思考。学会从身边的事物中抽象出数学问题，并通过思考加以解决，使自己的创新精神和实践能力得到很多的锻炼，真正体会数学的价值。多操作，多探索。能找到与数学问题相关的实物或模型。通过测量计算实验来产生直觉，不足的加以改正，尝试改正错误的过程，最后进行猜想和论证。数形结合的思想体现在第二、三、四、六章。第二章有理数 数轴是数形结合的重要工具。在解决某些绝对值问题或比较几个数的大小时，经常用到数

21、轴，通过直观判定来解决问题。例：已知有理数a、b、c,且在数轴上表示c的点在a、b的两点之间（不与端点重合)求证：|a-c | + |c-b |=|a-b|第三章 用字母表示数 P74 第7题 第四、六章通篇都有数形结合的内容，但不是数学思想的主要形式。 转化思想在二、三、四、五、六章中都有体现。 转化就是把未知的问题转化成已有知识范围内可解的问题，打个比喻，拾级上山摘果子，够不着，上一步，摘下来，放到脚下，同时发现上面还有，再上一步，摘下来，放到脚下，继续知识就这样由未知转化成已知，这是数学的基本思想之一。第四章一元一次方程解方程主要是通过解方程的过程即通过去分母、去括号、移项、合并同类项、

22、未知系数化1等步骤，把一元一次方程转化为x=a的形式，这是一个等量变形的过程。第五章 走进图形世界 本章的转化思想主要体现在平面图形与立体图形的转化上，如点动成线，线动成面，面动成体。几何体的表面展开图。画几何体的三个视图等。 分类思想在第二、六章中都有体现。 第二章有理数 分类思想指当被研究的问题包括多种情况，不能一概而论时，应安可能出现的所有情况分类讨论，得出相应的结论。分类应遵循两条原则：每次分类要按照同一标准进行，分类时不重复、不遗漏。例如：已知a、b互为相反数，且a0 c、d互为倒数，e的绝对值等于b。求2a+2b-bcd+ b/a +e 第六章平面图形认识（二） 分类讨论是解题常用

23、的方法。本章中主要涉及线段和角的求解。当题目中没有给出图形，也没有指明图形的位置解题时，应根据各种可能的情况进行分类并讨论，从而求出各种可能的结果。例如：已知AOB=80AOC=30 OD是BOC的平分线，求BOD的度数。 整体代入思想主要体现在第三章。求代数式的值的问题，我们经常遇见先化简代数式，再代入相应字母的值是解这类题的一般形式，但有些题目中不知或无法求出字母的值，这就需要考虑整体代入法。即把要求的值的代数式不变或稍加变形后将已知条件整体代入，采用整体代入的解题策略，可使计算简便，且有些问题只能从整体考虑才能解答。例如：4Y2-2Y+5=7 求 2Y2-Y+1=?(4Y2-2Y=-2

24、2Y2-Y=-1 2Y2-Y+1=-1+1=0) 建模思想主要在第四章一元一次方程使学生经历“问题情境-建立模型-求解-解释应用”的基本过程。在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决问题的能力，并体会数学的应用价值。在建立方程模型的过程中鼓励学生采用多种策略，借助图表、示意图等分析问题和解决问题，同时还要关注学生参与活动的程度和在活动中表现出的思维水平。 归纳的思想方法 (P83专门介绍）人们通过长期的观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是归纳出“朝有破云絮，午后雷雨临”这条谚语，在数学里，我们也常用这样的方法探求规律。例如：三角形有3个顶点，如

25、果在它的内部再取不在一条直线上的n个点，并连接每两点之间的线段，那么原三角形被分成如干个以这（n+3)个点中的任意3个点为顶点的小三角形，共能分成多少个小三角形？ 通过观察、比较，可以发现如下规律： （1）三角形内有1个点时，剪出的小三角形有3个，三角形内的点数每增加1个，剪出的小三角形的个数增加2个； （2)三角形内的点的个数*2+1=剪出的小三角形的个数（如1*2+1=3，2*2+1=5，3*2+1=7）。于是猜想：当三角形内有n个点时，原三角形被剪成（2n+1)个小三角形。 像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象规律（提出猜想）的思想方法称归纳。 （四）.查明了数学（苏

26、科版）七下各章节渗透的数学思想方法 第七章平面图形的认识（二）本章内容里蕴含了丰富的数学思想方法。教材中通过画对角线转化成三角形来研究多边形的内角和，这种思想方法是本章节的主要思想方法，也是解决数学问题的一般方法，即化复杂为简单，化未知为已知；这就是运用已有知识解决新问题的化归思想（P27议一议，你能把求四边形内角和的问题转化为你熟悉的三角形问题吗？五边形呢？六边形呢？P28想一想：小明、小丽分别用以下的方法求多边形的内角和）转化思想：平行线的判定和性质是“形”与“数”的互相转化 形 数 同位角相等 两直线平行 内错角相等 同旁内角相等 综合利用平行线的判定和性质解题是“形”与“数”的多次反复

27、的转化，在本章中有两处用到了转化的思想方法，其一是在三角形内角和定理的推导时，过三角形的一个顶点作第三边的平行线，这样把三角形的三个内角转移到一个顶点处，构成了同学们熟悉的平角（这只是其中一种辅助线的作法）；其二是在推导多边形的内角和时，通过引多边形的对角线把多边形内角和问题转化为若干个三角形的内角和问题。类比思想：学习了三角形的有关知识，接着在学习多边形的概念，内角和与外角和等知识时，同学们在潜移默化中就采用了类比的方法，学起来感觉轻松且能够掌握知识要点。分类讨论思想：P20议一议 1.在图7-26的三角形中，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形吗？P30议一议把图7-46中的五边形剪去一个

28、角，将得到几边形？此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？特殊与一般的思想方法：P32阅读 第八章 幂的运算也蕴含了丰富的数学思想方法。整体代换思想：在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式。逆向变换思想：乘法和除法是互逆的两种运算，在做除法时，可逆向运用乘法的法则，在运用乘法公式计算时，经常运用逆用公式的技巧，从而使问题得到解决，已知：3x=a ,3y = b 求 3x+y 从特殊到一般，再到特殊的数学思想方法,从几个简单的，个别的，特殊的情况去研究，探索，归纳出一般的规律和性质反过来运用一般的规律和性质去解决特殊的问题，这是数学中经常使用的一种方法

29、，本章中幂的运算、性质、公式、法则的归纳就体现了这种思想。 第九章从面积到乘法公式也蕴含了丰富的数学思想方法。数形结合、化归、转化、整体代入等。化归思想：将所要解决的问题转化为另一个较易解决的或已经解决的问题中，本章中单项式乘以单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算，单项式乘以多项式、多项式乘以多项式都可以化归为单项式乘以单项式运算。转化思想：将复杂问题转化成简单问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。例如：把（a+b)4 - 10(a+b)2 + 25 因式分解，同学们对此感到复杂和生疏，但如果设（a+b)2 = x 就可把这个问题转化为我们比较熟悉的问题，即把x2 - 10x + 25

30、分解因式。 第十章 二元一次方程组也蕴含了丰富的数学思想方法。消元思想：解二元一次方程组的基本思想是消元，具体方法都是代入法和加减法（亦是化归思想）。建模思想：实际问题建立数学模型（二元一次方程组）求解解释与应用的基本过程。 第十一章图形的全等蕴含了全等变换的思想。同时介绍了解决几何说明性问题常用的分析方法，综合法、分析法、以及“两头凑的方法”。 第十二章数据在我们周围本章在探究收集、整理、描述数据的过程中全面运用了统计的观念和方法，分析讨论数学思想和数形结合思想，同时也充分体现了几种常见描述数据的方法之间的辩证统一。 第十三章感受概率 概率的数学思想方法。（五）.掌握了渗透数学思想方法的路径

31、 渗的原意液体慢慢地进入或漏出，渗透的原意是液体从物体的细小空隙中透过，比喻一种事物或势力逐渐进入到其他方面，作为老师在数学教学中，渗透数学思想方法应当是无处不在，无所不有，“随风潜入夜，润物细无声”，在课堂教学活动中渗透数学思想方法，在习题讲解练习中指明数学思想方法，在数学活动中应用数学思想方法，在章节复习中巩固数学思想方法，在专题讲座中强化数学思想方法。1.在课堂教学活动中渗透数学思想方法 课堂是学生学习的主战场主阵地，是老师传授知识，学生学习师生互动的场所，学生数学思考的形成，数学思想方法的掌握，灵活运用，融会贯通，都发生在课堂上。例如：同底数幂的乘法教学中，做一做 1.计算下列各式：1

32、02104 、 104 105 、103 105 2.怎样计算10m10n (m,n是正整数）3.当m,n是正整数时，2m2n等于什么？ （1/2）m (1/2)n呢？渗透：推导同底数幂乘法运算性质的教学是引导学生从具体到抽象，有层次地进行概括，抽象，归纳，使他们经历做数学的过程，为此，做一做的第1题设计了底数，指数都是具体数值的同底数幂的乘法，第2，3题把幂的指数一般化，使学生感受归纳的数学思想方法。 例如：在多项式乘多项式的教学中，(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ,这里可以不要求学生背法则，利用乘法分配率把（a+b)看作一项转化成单项式与多项式相乘，（a+b)(c+d)=（a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd,不失时机地传授转化的数学思想方法。2.在习题练习中指明数学思想方法 通过优化作业，少布置作业，让学生从题海中解放出来，学生出题海，老师入题海，