1、股定理的证明证法doc【证法1】(课本的证明)此主题相关图片如下:做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a2+b2+4*(ab/2)=c2+4*(ab/2),整理得到:a2+b2=c2。【证法2】(邹元治证明) 以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
2、 RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于(a+b)2. (a+b)2=c2+4*(ab/2), a2+b2=c2。此主题相关图片如下:【证法3】(赵爽证明) 以a、b 为直角边(ba), 以c为斜边作四个
3、全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90, EAB + HAD = 90, ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. EFGH是一个边长为ba的正方形,它的面积等于(b-a)2. (b-a)2+4*(ab/2)=c2, a2+b2=c2。此主题相关图片如下:【证法4】(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于a
4、b/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形, 它的面积等于c2/2. 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)2/2(a+b)2/2=2*ab/2+c2/2, a2+b2=c2。此主题相关图片如下:【证法5】(梅文鼎证明) 做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,
5、使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED, EGF + GEF = 90, BED + GEF = 90, BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c, ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90. 又 BDE = 90,BCP = 90, BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边
6、形GHCBE的面积为S,则 a2+b2=S+2*ab/2 c2=S+2*ab/2 a2+b2=c2。此主题相关图片如下:【证法6】(项明达证明) 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QPBC,交AC于点P. 过点B作BMPQ,垂足为M;再过点 F作FNPQ,垂足为N. BCA = 90,QPBC, MPC = 90, BMPQ, BMP = 90, BCPM是一个矩形,即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90, ABC + MBA
7、= MBC = 90, QBM = ABC, 又 BMP = 90,BCA = 90,BQ = BA = c, RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).此主题相关图片如下:【证法7】(欧几里得证明) 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CLDE,交AB于点M,交DE于点L. AF = AC,AB = AD, FAB = GAD, FAB GAD, FAB的面积等于a2/2, GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半, 矩形ADLM的面积 =a2. 同理可证
8、,矩形MLEB的面积 =b2. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 a2+b2=c2。此主题相关图片如下:【证法8】(利用相似三角形性质证明) 如图,在RtABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDAB,垂足是D. 在ADC和ACB中, ADC = ACB = 90, CAD = BAC, ADC ACB. ADAC = AC AB, 即AC2=AD*AB. 同理可证,CDB ACB,从而有 BC2=BD*AB. AC2+BC2=(AD+BD)*AB=AB2,即a2+b2=c2。此主题相关图片如下:【证法9】(杨作玫证明)
9、做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(ba),斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC,AF交GT于F,AF交DT于R. 过B作BPAF,垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H. BAD = 90,PAC = 90, DAH = BAC. 又 DHA = 90,BCA = 90, AD = AB = c, RtDHA RtBCA. DH = BC = a,AH = AC = b. 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b,AP= a,从而PH =
10、ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a,GDT = HDA . 又 DGT = 90,DHF = 90, GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF,TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形,上底TF=ba,下底BP= b,高FP=a +(ba). 用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为此主题相关图片如下:【证法10】(李锐证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b(ba),斜边的长为c.
11、做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). TBE = ABH = 90, TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90, BT = BE = b, RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90, DBC + BHT = TBH + BHT = 90, GHF = DBC. DB = EBED = ba, HGF = BDC = 90, RtHGF RtBDC. 即 S7=S2. 过Q作QMAG,垂足是M. 由BAQ = BEA =
12、90,可知 ABE = QAM,而AB = AQ = c,所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 S8=S5. 由RtABE RtQAM,又得QM = AE = a,AQM = BAE. AQM + FQM = 90,BAE + CAR = 90,AQM = BAE, FQM = CAR. 又QMF = ARC = 90,QM = AR = a, RtQMF RtARC. 即S4=S6. 此主题相关图片如下:【证法11】(利用切割线定理证明) 在RtABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 如图,以B为圆心a为半径
13、作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90,点C在B上,所以AC是B 的切线. 由切割线定理,得 此主题相关图片如下:【证法12】(利用多列米定理证明) 在RtABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c(如图). 过点A作ADCB,过点B作BDCA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有 此主题相关图片如下:【证法13】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c. 作RtABC的内切圆O,切点分
14、别为D、E、F(如图),设O的半径为r. AE = AF,BF = BD,CD = CE, AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF) = CE+CD= r + r = 2r, 此主题相关图片如下:【证法14】(利用反证法证明) 如图,在RtABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDAB,垂足是D.此主题相关图片如下:【证法15】(辛卜松证明) 此主题相关图片如下:设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为 (a+b)2=a
15、2+2ab+b2;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的面此主题相关图片如下:【证法16】(陈杰证明) 设直角三角形两直角边的长分别为a、b(ba),斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形(ba),把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). 在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a, DM = EMED = (b+a)a = b. 又 CMD = 90,CM = a, AED = 90, AE = b, RtAED RtDMC.
16、 EAD = MDC,DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180, ADE + MDC = ADE + EAD = 90, ADC = 90. 作ABDC,CBDA,则ABCD是一个边长为c的正方形. BAF + FAD = DAE+ FAD = 90, BAF=DAE. 连结FB,在ABF和ADE中, AB =AD = c,AE = AF = b,BAF=DAE, ABF ADE. AFB = AED = 90,BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtABF和RtBCG中, AB = BC = c,BF = CG = a, RtABF RtBCG. 此主题相关图片如下:
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