圆内接四边形的性质及判定定理.docx

1、圆内接四边形的性质及判定定理二圆内接四边形的性质及判定定理对应学生用书P211圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补如图：四边形ABCD内接于O，则有：AC180，BD180.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角如图：CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：CBED.2圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆对应学生用书P21圆内接四边形的性质例1如图，AB是O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：DEADFA.思

2、路点拨本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论证明连接AD.因为AB为圆的直径，所以ADB90.又EFAB，EFA90，所以A，D，E，F四点共圆所以DEADFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系1圆内接四边形ABCD中，已知A，B，C的度数比为435，求四边形各角的度数解：设A，B，C的度数分别为4x,3x,5x，则由AC180，可得4x5x180.x20.A42080，B32060，C520100，D180B120.2已知：如图，四边形ABCD内接于圆

3、，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分CDF.(1)求证：ABAC；(2)若AC3 cm，AD2 cm，求DE的长解：(1)证明：ABC2，213，43，ABC4.ABAC.(2)34ABC，DABBAE，ABDAEB.ABAC3，AD2，AE.DE2(cm).圆内接四边形的判定例2如图，在ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且APBC于P.求证：E，D，P，F四点共圆思路点拨可先连接PF，构造四边形EDPF的外角FPC，证明FPCC，再证明FPCFED即可证明如图，连接PF，APBC，F为AC的中点，PFAC.FCAC，PFFC.FPCC.E、F、D分

4、别为AB，AC，BC的中点EFCD，EDFC.四边形EDCF为平行四边形，FEDC.FPCFED.E，D，P，F四点共圆证明四点共圆的方法常有：如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆3判断下列各命题是否正确(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对

5、角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等4已知：在ABC中，ADDB，DFAB交AC于点F，AEEC，EGAC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆证明：(1)如图，连接GF，由DFAB，EGAC，知GDFGEF90，GF中点到D、E、F、G四点距离相等，D、E、F、G四点共圆(2)连接DE.由ADDB，AEEC，知DEBC，ADEB.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，ADEGFE.GFEB.G、B、C、F四点共圆.圆内接四边形的综合应用例3如图，已知O1与O2相交于A、

6、B两点，P是O1上一点，PA、PB的延长线分别交O2于点D、C，O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PMCD.思路点拨O1与O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是O1的直径，考虑连接AE或BE得90的圆周角；要证PMCD，再考虑证角相等证明如图，分别连接AB，AE，A、B、C、D四点共圆，ABPD.A、E、B、P四点共圆，ABPAEP.AEPD.A、E、M、D四点共圆PMCDAE.PE是O1的直径，EAPA.PMCDAE90.PMCD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立5.如图，P点是等边ABC外接圆

7、的上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)DCBP；(2)AC2CPCD.证明：(1)ABC为等边三角形，ABCA60.DBC120.又四边形ABPC是圆内接四边形，BPC180A120.BPCDBC.又DCBBCP，BCPDCB.DCBP.(2)由(1)知BCPDCB，.CB2CPCD.又CBAC，AC2CPCD.6如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BDBC，CECA，AD，BE相交于点P.求证：(1)四点P，D，C，E共圆；(2)APCP.解：(1)证明：在ABC中，由BDBC，CECA知：ABDBCE，即ADBBEC，即ADCBEC180

8、，所以四点P，D，C，E共圆(2)如图，连接DE.在CDE中，CD2CE，ACD60，由余弦定理知CED90.由四点P，D，C，E共圆知，DPCDEC，所以APCP.对应学生用书P24一、选择题1设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：sin Asin C，sin Asin C0，cos Bcos D0，cos Bcos D.其中恒成立的关系式的个数是()A1 B2C3 D4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故A180C，且A，C均不为0或180，故式恒成立，式不成立同样由B180D知，式恒成立式只有当BD90时成立答案：B2圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是()A4231 B4

9、312C4132 D以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得ACBD，从而只有B符合题意答案：B3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，CBE40，则AOC等于()A20 B40C80 D100解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且CBE40，由圆内接四边形性质知DCBE40，又由圆周角定理知：AOC2D80.答案：C4已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()如果AC，则A90；如果AB，则四边形ABCD是等腰梯形；A的外角与C的外角互补；ABCD可以是1234A1个 B2个C3个 D4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：相等且互补的两角必为直

10、角；两相等邻角的对角也相等(亦可能有ABCD的特例)；互补两内角的外角也互补；两组对角之和的份额必须相等(这里1324)因此得出正确，错误答案：B二、填空题5(2014陕西高考)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_.解析：B，C，F，E四点在同一个圆上，AEFACB，又AA，AEFACB，即，EF3.答案：36如图，直径AB10，弦BC8，CD平分ACB，则AC_，BD_.解析：ACB90，ADB90.在RtABC中，AB10，BC8，AC6.又CD平分ACB.即ACDBCD，ADBD.BD5.答案：657如图，点A，B，C，D都在O上，

11、若C34，则AOB_，ADB_.解析：C和AOB分别是所对的圆周角与圆心角，AOB2C68.周角是360，劣弧AB的度数为68，优弧AB的度数为292.ADB292146.答案：68146三、解答题8.已知：如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对角线AC与BD相交于O点，求证：E，F，G，H共圆证明：法一：连接EF、FG、GH、HE.E、F分别为AB、BC的中点，EFAC.同理EHBD.HEFAOB.ACBD，HEF90.同理FGH90.HEFFGH180.E、F、G、H共圆法二：连接OE、OF、OG、OH.四边形ABCD为菱形ACBD，ABBCCDDA.E、F、G、H分别为菱形

12、ABCD各边的中点，OEAB，OFBC，OGCD，OHDA.OEOFOGOH.E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上故E，F，G，H四点共圆9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，E

13、DCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆10如图，已知O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C、D均不与A、B重合)(1)求ACB.(2)求ABD的最大面积解：(1)连接OA、OB，作OEAB，E为垂足，则AEBE.RtAOE中，OA2.AEAB2.所以sin AOE，AOE60，AOB2AOE120.又ADBAOB，ADB60.又四边形ACBD为圆内接四边形，ACBADB180.从而有ACB180ADB120.(2)作DFAB，垂足为F，则SABDABDF2DFDF.显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而SABD取得最大值此时DFDOOF3，SABD3，即ABD的最大面积是3.