裂项相消法求和附答案.docx

1、裂项相消法求和附答案裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1）若是an等差数列，则,（2）（3）（4）（5）（6）（7）1.已知数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为解析 (1) 时, 得: 即 3分在中令, 有, 即，5分故对2.已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8（）求公差d的值；（）若a1=1，设Tn是数列的前n项和，求使不等式Tn对所有的nN*恒成立的最大正整数m的值；解析（）设

2、数列an的公差为d， S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=24分（）由a1=1，d=2，得an=2n-1，5分 =6分 Tn=，8分又 不等式Tn对所有的nN*恒成立， ，10分化简得：m2-5m-60，解得：-1m6 m的最大正整数值为612分3.)已知各项均不相同的等差数列an的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. ()求数列an的通项公式;()设Tn为数列的前n项和,求T2 012的值. 答案 ()设公差为d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),a1=2. (5分)故an=n+1. (6分)()=-,(8分)Tn=-+

3、-+-=-=. (10分)T2 012=. (12分)4.)已知数列an是等差数列,-=8n+4,设数列|an|的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn. (1)求数列an的通项公式;(2)求证:Tn1. 答案 (1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d. (2分)-=8n+4,(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4. 当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20. 解方程组得或(4分)经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求. an=2n或an=-2n. (6分)(2)证明:由(1)知:an=2n或an=-2n.

4、 |an|=2n. Sn=n(n+1). (8分)=-. Tn=1-+-+-=1-. (10分)Tn1. (12分)5.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.()求数列an的通项公式;()令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.答案 查看解析解析 ()因为S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.()bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+-+=1+=.所以Tn=

5、6. 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和() 求数列和的通项公式；() 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少解析解：() 因为，所以，所以，又数列是等比数列，所以，所以，又 公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，所以. （6分）() 由() 得，（10分）由得，满足的最小正整数为72. （12分）7. 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（）. （）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：.解析 （）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立.假设当时，结论成立，即，那么当时

6、，.所以当时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. （7分）（）因为.当时，由（）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）8.已知数列的前项和是，且（）求数列的通项公式；（）设，求使成立的最小的正整数的值解析 （1） 当时，由， 1分 当时， 是以为首项，为公比的等比数列 4分 故 6分（2）由（1）知， 8分 ， 故使成立的最小的正整数的值. 12分9. 己知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列 （I）求数列an的通项公式； （II）设Tn为数列的前n项和，若Tn对恒成立，求实数的最小值解析 122. （）设公差为d. 由已知得3分解得，所以

7、6分（），9分 对恒成立，即对恒成立 又 的最小值为12分10. 已知数列前项和为，首项为，且，成等差数列. （）求数列的通项公式； （II）数列满足，求证：，解析 （）成等差数列, ，当时，,两式相减得： .所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分） () ， （8分）， . （12分）11.等差数列an各项均为正整数, a1=3, 前n项和为Sn, 等比数列bn中, b1=1, 且b2S2=64, 是公比为64的等比数列. () 求an与bn;() 证明:+. 答案 () 设an的公差为d, bn的公比为q, 则d为正整数, an=3+(n-1) d, bn=qn-1. 依题意有由

8、(6+d) q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解得d=2, q=8. 故an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8n-1. () 证明:Sn=3+5+(2n+1) =n(n+2) , 所以+=+=0, 故q=. 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=. 故数列an的通项公式为an=. () bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n) =-, 故=-=-2, +=-2+=-. 所以数列的前n项和为-. 13.等差数列an的各项均为正数,a1=3,其前n项和为Sn,bn为等比数列,b1=1,且b2S2=16,

9、b3S3=60.()求an和bn;()求+.答案 ()设an的公差为d,且d为正数,bn的公比为q,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依题意有b2S2=q(6+d)=16,b3S3=q2(9+3d)=60,(2分)解得d=2,q=2.(4分)故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6分)()Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),(8分)所以+=+=(10分)=-.(12分)14.设数列an的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1). 等比数列bn的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5. (1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Mn,求证:Mn. 答案(1)T5=T3+2b5,b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b40,a1=1. n2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1). n-11,an-an-1=4(n2),数列an是以1为首项,4为公差的等差数列,an=4n-3. (6分)(2)证明:=,(8分)Mn=+=,(10分)又易知Mn单调递增,故MnM1=. 综上所述,Mn. (12分)