三角函数应用题练习及答案.docx

1、三角函数应用题练习及答案.三角函数的应用题第一阶梯 例 1 如图， ADBC，ACBC，若 AD=3， DC=5，且 B=30，求 AB的长。解： DAC=90由勾股定理，有2 2 2CD=AD+ACAD=3， DC=5AC=4 B=30AB=2ACAB=81 例 2 如图， ABC中， B=90， D 是 BC上一点，且AD=DC，若 tg DAC=4 ,求 tg BAD。探索 ：已知 tg DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求 BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨 ：由于已知中的 tg DAC不在直角三角形中， 所以需要转化到直角三角形中，即可地 D 点作 AC的垂线。又要求

2、BAD的正切值应已知 RtBAD的三边长，或两条直角边AB、 BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg DAC的条件。由于AD=DC，即 C=DAC，这时也可把正切值直接移到 RtABC中。解答 ：过 D 点作 DEAC 于 E，tg1DAC4tgDEDAC且AE设 DE=k，则 AE=4kAD=DC, DAC=C， AE=ECAC=8ktgCAB 1 BC 4设 AB=m， BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2m8 17 k17BC 32 17 k17由勾股定理，有2 2 2CD=DE+EC;.CD 17kBD 15 17 k17由正切定理，有tg BA

3、D.DBAB15tg BAD . 例 3 如图，四边形 ABCD中， D=90， AD=3， DC=4， AB=13， BC=12，求 sinB 。探索 ：已知条件提供的图形是什么形？其中 D=90， AD=3， DC=4，可提供什么知识？求 sinB 应放在什么图形中。点拨 ：因已知是四边形所以不能求解， 由于有 D=90， AD=3，DC=4，这样可求 AC=5，又因有 AB=13，BC=12，所以可证 ABC是 Rt，因此可求 sinB 。解：连结 AC D=90由勾股定理，有2 2 2AC=CD+CDAD=3， CD=4，AC=5AB=13， BC=12132=122+52 ACB=9

4、0由正弦定义，有ACsin BAB5sin B13第二阶梯 例 1 如图，在河的对岸有水塔 AB，今在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30，前进 20 米后到 D 处，又测得 A 的仰角为 45，求塔高 AB。探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在 C、D 两处测得仰角的含义是什么？怎样用 CD的长？点拨 ：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及 CD长，由于塔身与地面垂直，且 C、D、B 三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有 ACB=30， ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有ACB=30，

5、ADB=45又 ABCB 于 B。 DAB=45 DB=AB设 AB=x;.由正切定义，有ABtg ADBDB及tg ACB AB .CBCD x( 3 1)CD 20,x( 3 1) 20解得 x 10(3 1)即塔高 AB10(31)答：塔高 AB 为 10(31) 米。第三阶梯 例 1 已知等腰三角形的顶点为A，底边为 a，求它的周长及面积。探索 ：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨 ：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这

6、个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知 ABC中， AB=AC， BC=a（如图）解：过 A 点作： ADBC 竽 D 点，设 BAD=AB=ACa , BAD CAD BD=CD=2根据正弦定义，有sin BADBDABaa即 AB2sin.2 sina同理 AC2sinaAB+AC+BC=a+sin由余切定义，有ctg BADADDBactgAD=2;.S ABC1BC AD2S ABCa 2ctg4注意：也可设 BAC= ，则 BAD= 2 。 例 2 有一块矩形纸片 ABCD，若把它对折， B 点落在 AD上 F 处，如果 DC=6cm，且 DFC=2

7、， ECB= ，求折痕 CE长。探索 ：根据已知条件图形对折， B 点落在 F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知 DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨 ：由于 F 点的形成是因对折 B 点而形成的，因此可有 EBC FEC，同时又可有 AEF CDF。根据已知条件 DFC=2 及 ECB= ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求 CE的长。解：根据已知条件，有EBC FECEB=EF， BC=FC， ECB=ECF CFD=2 ，且 ECB= ECF=由余弦定义，有cos ADCCDCF ADC=90 2CFCD

8、sin 2由余弦定义，有cosCFFCECE6CEsin 2 cos 例 3 如图 6-5-5 ，某船向正东方向航行， 在 A 处望见灯塔 C 在东北方向， 前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30，又航行了半小时，望见灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、 D 两点间的距离， （结果不取近似值）;.图 6-5-5思路分析：易知ACD是等腰直角三角形，要求AD，不能利用ACD直接求得，由于BD 20110, 图形中再没有2其他的直角三角形， 必须构造直角三角形， 作 CEAD 于 E，只要求出 CE，就可能以求出AD，借助两个直角三角形 （ BCE和DCE）中， BE、

9、 DE与 BD的关系以及 BE 与 CE之间的关系就可求 CE。 解 作 CEAD，垂足为 E，设 CE=x 海里 CAD=CDA=90 - 45=45，CE=AE=DE=x。在 RtBCE中， CBE=90 - 30=60，BE3,CE cot 60x3由 DE-BE=BD得，x 3 x 20 1 ，3 2解得 x 15 5 3 。 AD 2x (30 10 3)(海里 ）。答： A、 D 两点间的距离为 (30 10 3) 海里。第四阶梯 例 1 有一段防洪大堤，其横断面为梯形 ABCD，ABDC，斜坡 AD的坡度 i 1 =1:1.2, 斜坡 BC的坡度 i 2=1:0.8 ，大坝顶宽

10、DC为 6 米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形 DCFE，EFDC，点 E、F分别在 AD、 BC的延长线上（如图 6-5-6 ），当新大坝顶宽 EF 为 3.8 米时，大坝加高了几米？;.图 6-5-6思路分析：本题实质上是梯形 CDEF的有关计算问题， 注意到大堤加高但坡度不变， 即 DE、CF的坡度公别为 1:1.2,1:0.8,又 DC=6米， EF=3.8 米 , 要求大坝加高的高度 , 分别作 FHDC 于 G,FHDC 于 H, 利用 Rt DEG, Rt CFH和矩形 EFHG可以求出新大坝的高度 . 解 作 EGDC,FHDC,垂足分别为 G,H, 则

11、四边形 EFHG是矩形 ,GH=EF=3.8 米 .设大坝加高 x米, 则 EG=FH=x米。 i =1:1.2, i=1:0.8,12 EG1, FH1 .DG1.2CH0.8 DG1.2x, CH0.8x.由 DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6. 解得 x=1.1答： 大坝加高了 1.1 米。 例 2 如图 6-5-7 ，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力， 据气象观测， 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心， 其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中

12、心现正以 15 千米 / 时的速度沿北偏东 30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图 6-5-7思路分析：（ 1）作 ADBC于 D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（ 12-4 ） 20=160 千米的范围内，;.比较 AD与 160 的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（ 2）当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将受到台风的影响，如图 6-5-7 ，AE

13、=AF=160千米，当台风中心从 E处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出 EF 的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。（ 3）显然当台风中心位于 D 处时， A 市所受这次台风的风力最大。 解 （ 1）如图6-5-7 ，由点 A 作 ADBC，垂足为 D。 AB=220， B=30，AD1 AB 110(千米 ) 。2由题意，当 A 点距台风中心不超过160 千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110160,所以 A 市会受到这次台风的影响 .(2) 在 BD及 BD的延长线上分别取E,F 两点 , 使 AE=AF=160千米 .由于当 A 点距台风

14、中心不超过160千米时 , 将会受到台风的影响 .所以当台风中心从E 点移到 F 点时 , 该城市都会到这次台风的影响 .在 RtADE中 , 由勾股定理 , 得 DEAE 2AD 21602110230 5 EF2DE60 15(千米).该台风中心以 15 千米 / 时的速度移动 , 这次台风影响该城市的持续时间60154 15(小时).15(3) 当台风中心位于 D 处时 ,A 市所受这次台风的风力最大1106.5(级), 其最大风马牛不相及力为 1220四、【课后练习 】A 组1如图： 6-5-8 ，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=_。2如图 6-5-9

15、，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_ 米（精确到0.1 米）图 6-5-8图 6-5-93如图 6-5-10 ，在高离铁塔150 米的 A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30，已知测角仪高 AD=1.52 米，则塔高BE=_（精确到0.1 米）;.图 6-5-10 图6-5-114某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为 60 米，坡角为 30，则坝高为 _ 米。5升国旗时，某同学站地离旗杆底部 24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为 30，若双眼离地面 1.5 米，则旗杆高度为 _ 米，（用含根号的式子表示）6在地面上一点，测得一电视塔

16、尖的仰角为 45，沿水平方面再向塔底前进 a 米，又测得塔尖的仰角为 60，那么电视塔高为 _。7若太阳光线与地面成 37角，一棵树的影长为 10m，则树高 h 的取值范围是（ ）A3h5 B 、 5h10 C.10h158河堤的横断面如图 6-5-11 所示。堤高 BC是 5 米，迎水坡 AB的长是 13 米。那么斜坡 AB的坡宽 I 是（ ）A 1： 3 B 、 1：2 6 C.1:2.4 D.1:29. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 80角。房屋朝南的窗子高 AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内（如图： 6-5-12

17、 ），那么挡光板 AC的宽度至少应为（ ）图 6-5-12图 6-5-13A1.8tan80 m B.1.8cos80 m C.1.8m D.1.8cot80msin 8010.如图 6-5-13 ，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6 米，坝高 24 米，斜坡 AB的坡角为 45，斜坡 CD的坡度I=1 ： 2，则坝底 AD的长为（）A42 米 B、（ 30+243 ）米 C 、78 米 D 、（30+83 ）米11、如图 6-5-14，两条宽度都为1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a, 则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A1B.1C.sina D.1sin cos;.图 6-

18、5-1412.如图 6-5-15 ，直升飞机在跨河大桥AB的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且 A、B、 O三点在一条直线上， 测得大桥两端的俯角分别为 =30, =45，求大桥 AB的长（精确到 1 米，供选的数据： 2 1.41,3 1.73 ） .13.某型号飞机的机翼形状如图6-5-16所示，其中 ABCD，根据图中的数据计算AC、BD和 CD的长度。（结果保留根号）14如 6-5-17 ，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为 6 米，坝高 10 米，斜坡 AB的坡度是 1： 2（ AR：BR），现要加高 2 米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长 5

19、0 米的大坝，需要多少土方？15如图 6-5-18, 已知 C 城市在 B 城市的正北方向， 两城市相距 100 千米，计划在两城市间修筑一条高速公路 （即线段 BC），经测量，森林保护区 A 在 B 城市的北偏东 40方向上，又在 C城市的南偏东 56的方向上，已知森林保护区 A 的范围是以 A 为圆心，半径为 50 千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？（已知 tan40 =0.839,tan56 = 1.483 ）B 组1、 1、 知小山的高为 h, 为了测得小山顶上铁塔 AB的高 x, 在平地上选择一点 P，在 P 点处测得 B 点的仰角为 ，A 点的仰角为 。（见

20、右表中测量目标图 6-5-19 ）（ 1）试用 、 和 h 的关系式表示铁塔高 x;（ 2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中 、 的数值；（ 3）根据表中数据求出铁塔 x 的值。（精确到 0.01m）2. 如图 6-5-20 ，某校的教室 A 位于工地 O的正西方向，且 OA=200米，一台拖拉机从 O点出发，以每秒 5 米的速度沿北偏西 53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为 130 米，试问教室 A 是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室 A 受污染的时间有几秒？（已知 sin53 0.80,sin37 0.60,tan37 0.75

21、 ）图 6-5-20C组;.1、已知 ABC 中， BAC=90， ADBC 于 D，CD=9， AB=20，求 sinB 。2、已知水库大坝的横截面是梯形ABCD，若 BCAD，坝顶 BC宽 5 米，坝高 20 米，斜坡 AB的坡度之 i=1 2.5 ，斜坡 CD的坡度 i=1 2，求坝底 AD及 AB、 CD长。3、在 RtABC中， ACB=Rt,CDAB 于点 D，AD 4, sinACD4 , 则 CD， BC。5A 组答案1、 34m2、 5.53、 88.1 米 4.30 5.(83 +1.5)6.33 a 米27B 8、C9、D 10、C 11、A 12、329 米13、AC=

22、3 6 米， BD=6米， CD=（ 11 33 ）米14、 5000 米 3315、过点A 作 ADBC，垂足为D，在 RtADC 中， CD=AD；在 RtABD 中， BD=AD，依题意有tan 56tan 40ADAD100 tan56tan 40，因为 AD50，所以计划修筑的这条高速公路+=100。所以 AD= 53.58tan 56tan 40tan 56tan 40不会穿越森林保护区。B 组答案：1（ 1） x= tan 1 h;(2) =2918， =3559；（ 3）x30.88mtan2作 ABOM于 B，易知 AOB=90 - 53=37，所以 AB=OAsin AOB=OAsin37 2000.60=120( 米 ) 。因为 120130，所以教室A 在噪声污染范围内，依题意，在OM上取两点C、 D，连结 AC、 AD，使 AC=AD=130米。在 Rt ABC 中，由勾股定理可得BC=50米，所以 CD=2BC=100米，100 =20（秒），教室 A 受噪声污染时5间为 20 秒。C组答案：20x1、易证 ABD ABC，即2920AB=BCBD，设 BD=x，则 xsin B35 x=16，即 BD=25， AC=15，2、作 BEAD 于 E，CFAD 于 F， AD=95 米， AB53.9米， CD44.7 米。3、 3，;.