完整版小学奥数工程问题分类讲解.docx

1、完整版小学奥数工程问题分类讲解小学奥数一工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位 “1的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。 在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一、 工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位 “ 1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量 =工作效率X工作时间，工作效率=工作总量作时间，工作时间=工作总量 作效率；二、 为了学好分数、百分数应用题，必

2、须做到以下几方面：1具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；2在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；3学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示 量”与 百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之 间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；4学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转 化等多种解题方法，不断地开拓解题思路.三、 利用常见的数学思想方法：

3、如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开 工作总量”和 时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系， 转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设 把整个工程看成一个单位 ”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；(1)工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理;(2) 根据题目中的实际情况能够正确进行单位 “ 1的统一和转换；(3)工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.周期性工程问题【例1】 一件工程，甲单独做要 6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙.顺序交替工作， 每次1

4、小时，那么需要多长时间完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】甲1小时完成整个工程的 1 ,乙1小时完成整个工程的 ，交替干活时两个小时完成整个工程的6 1011 4 4 4 1-，甲、乙各干3小时后完成整个工程的 3 -，还剩下-，甲再干1小时完成整个6 10 15 15 5 5工程的1 ,还剩下丄，乙花1小时即20分钟即可完成.所以需要7小时20分钟来完成整个工程.6 30 3【答案】7小时20分钟【巩固】一项工程，甲单独完成需12小时，乙单独完成需 15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做 1小 时，再由乙单独做1小时，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用 小时。【考点】

5、工程问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试【解析】甲乙合做1小时后，还剩下:111 17-1，甲乙单独做12小时，共做一13，还需要做1512 2015122012 5=10小时，还剩下 ，需要甲做1 11小时，还有一1，乙还需要做111丄小时，一1010 126060154共需要 1 + 10+1+ 0.25=12.25小时【答案】8.5天【例2】 一项工程，乙单独做要 17天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工问：甲单独做需要几天？【考点

6、】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流 做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲轮流 做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的如果设甲、乙工作效率分别为 M和V2，那么1V1 V2 2也，所以V 2V2，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的 2倍，所以甲单独做需要17 2 8.5 天.【答案】8.5天【巩固】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做 1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做 1个小时，如此反复，做完为止如果甲

7、、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答甲乙甲乙I甲1小时乙0 8小时【解析】 根据题意，有：甲乙甲乙L 甲1JJ乙0.8小时，可知，甲做1 0.6 0.4小时与乙做1 0.8 0.2小 乙甲乙甲L乙1小时甲0.6小时时的工作量相等，故甲工作 2小时，相当于乙1小时的工作量.所以，乙单独工作需要 9.8 5 5 2 7.3小时.【答案】7.3小时【解析】水3小时，已经过去 6小时了），水池还剩一池子水的10再过1小时，水池里的水为一池子水的法二:说明8小时以后，水池的水全部排完，并

8、且多排了一池子水的排一池子需要3小时，排一池子水的需要30一 1 9所以实际需要8 7 小时 7小时54分.10 1030，3小时，单开丙管【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要 4小时，单开丁管需要 6小时，现在池内有 1的水,6若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁 的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【考点】工程问题 【难度】5星 【题型】解答_ 1111 7 17 1【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：1111 7，循环5次后水池还空：1 1 5 1 ,3 4 56 606 60 41的工作量由

9、甲管注水需要：1 1 3 “（小时）,3所以经过4 5 -320-小时后水开始溢出水池.44 3 444【答案】20-4【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据 现在先开乙管 6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的 6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个 2小时乙管单独开.这样就变成了甲、乙同时开 2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开 2小时，正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为11 1 1 11-2-2 ，所以乙的工作效率为： （6 2 2） ，所以整池水由乙管单独灌水，5 4 10 10 201需要1 20

10、 （小时）.20【答案】20小时【巩固】某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需 12小时注满，单开乙管需 24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少， 那么甲、乙最少要同时开放 小时.【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲 满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小所11以，乙开放的时间为 1 10 4（小时），即甲、乙最少要同时开放 4小时.12 24【答案】4小时【例5】 一个蓄水池，每分钟流入 4立方米水如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空现在打开13个

11、水龙头，问要多少时间才能把水放空？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 4 X60= 240 (立方 米)时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 240十(5X150- 8 90) = 8 (立方米)，8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 X3 90，其中90分钟内流入水量是 4 X90,因此原来水 池中存有水 8 X X90-4 X0= 5400 (立方米)打开13个水龙头每分钟可以放出水 8X13,除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要5400 -( 8 X13- 4 )

12、=54 (分钟).所以打开13个龙头，放空水池要 54分钟水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需 要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水 这在题目中却是隐含着的【答案】54分钟【巩固】一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时，如果打开9个出水口， 9小时可以把水排空如果打开 7个出水口，18小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空.【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题是牛吃草问题的变形.设每个出水口每小时的出水量为 1，则进水口每小时的进水量为： (7

13、18 9 9) (18 9) 5，半池水的量为：(9 5) 9 36，所以一池水的量为 72.如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为 72 (15 5) 7.2小时，即7小时12分钟.【答案】7小时12分钟【例6】 一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入 18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入 27吨水时，水箱才满.又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍则该水箱最多可容纳多少吨水？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的 2倍那么甲管注入 18吨水的时间是乙管注入18 2 36吨水的时间，

14、则甲管注入18吨水的时间与乙管注入 27吨水的时间比是 36: 27 4:3 .那 么在这两种情况下丙管注水的时间比为 4:3，而且前一种情况比后一种情况多注入 27 18 9吨 水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水 9 (4 3) 4 36吨.所以该水箱最多可容纳水 18 36 54吨.【答案】54吨30吨水时，水箱已满;【巩固】一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入（吨）为水箱容量。水时乙管注入了 40吨水.由于乙管每分钟注水量是甲管的40吨水,间内，乙管可以注入 30 1.5 45吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打

15、开乙、 丙两管所用时间的 竺 9倍.可以假设打开乙、40 8丙两管的情况下丙管注了 a吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了 -a吨水，所以有89-a 30 a 40,得到a 80 ,所以水箱注满时可容纳 80 40 120吨水.在得到第一种情况所8用时间是第二种情况所用时间的 -倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时8-间为注满水所需时间的 -倍，也就是与第一种情况所用时间相同.此时，注入的水量也是水箱容8积的-倍，即比第一种情况多了 1倍然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管8 8贝忻入30 1.5 45吨水，比甲管多注了 45 30 15吨，所以这15吨就是水

16、箱容积的-，那么水81箱容积为15 - 120吨.8【答案】120吨【例7】 放满一个水池，如果同时打开 1, 2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开 1 , 3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开 1号阀门，贝U 20分钟可以完成；那么，如果同时打开 1 , 2, 3号阀门， 分钟可以完成。【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009年，学而思杯，6年级 【解析】 单独打开1号门，20分钟可以完成，说明1号门每分钟完成 ，而同时打开1、2号闸门12分20钟可以完成，说明2号闸门每分钟完成111,而现在同时打开1、3号闸门，15分钟可122030以完成，说明3号闸门每

17、分钟完成111,则同时打开1、2、3号闸门，需要152060111 110分钟。2030 60【答案】10分钟【巩固】放满一个水池，如果同时打开 1, 2, 3号阀门,则20分钟可以完成;如果同时打开 2, 3, 4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1,3, 4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1, 2, 4号阀门，贝U 30分钟可以完成问：如果同时打开 1 , 2, 3, 4号阀门，那么多少分 钟可以完成？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据条件，列表如下（画 O表示阀门打开，画 X表示阀门关闭）：【答案】18分钟比例法及工资分配问题【例8】 有一项工程，有三

18、个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付 18000元，由乙、丙两队合作， 20天可 以完工，共需要支付 12000元，由甲、丙两队合作， 12天可以完成，共需要支付 15000，如果 该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工 天需要支付速度最快的队伍 元【关键词】2010年，学而思杯，5年级日费用为1825 600 1225 （元），乙的费用为1825 1250 575 （元），丙的费用为1825 1800 25（元），所以需要支付速度最快的队伍 1225 15 18375 （

19、元）【巩固】甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400元工资按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元实际上从第 5天开始，甲队的工作效率提高了 1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元.那么两队原计划完成修路任务要多少天？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】开始时甲队拿到8400 5040 3360元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为【例9】 一项工程，甲15天做了 -后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 1，这时丙也加入进甲、乙、丙44一起做完.已知乙、丙的工作效率的比为 3: 5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为 2: 1,问题中情形下做完整个工程需多少天 ？

20、【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段： I、n、川；且易知甲的工作效率为 丄又乙、丙工作的60天数之比为（n +川）:川=2 ： 1,所以有n阶段和川阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的 4的工程与甲、乙、丙合作完成 1 1 1 1的工程所需的时间相等.所以对于工作效率有： （甲+4 4 21乙）2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=丄 又有乙、丙的工作效率的比为 3： 5.易知乙的60工作效率为 ,丙的工作效率为： .那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：120 12015 1 (丄 )-(丄旦)15 6 6 27 天.4 60

21、120 2 60 120方法二：显然甲的工作效率为 ，设乙的工作效率为 3x，那么丙的工作效率为 5x .所以有乙工60作的天数为11(3x)1 1-(8x),丙工作的天数1 1为-(8x).且有4602 602 6011111 1“ 111 11(3x)(8x)2-(-8x).即一(-3x)-(-8x),解得x.所以乙4602602 604602 60120的工作效率为 2 丙的工作效率为高 A 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为:120 120113 11815 - (- ) - ( ) 15 6 6 27 无4 60 120 2 60 120【答案】27天【巩固】某工地用3种型号的卡

22、车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为 15:14:14，三种车的辆数之比为 10:5: 7 工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 25天完成任务.那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007年，二中【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 15:14:14，速度之比为6:8:9 ，所以它们运送1次15 14 14 57 14 249所需的时间之比为 一：一：一 -：一：一，相同时间内它们

23、运送的次数比为： -：一：一 在前10天，6 8 9 2 4 9 5 7 14甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 5:5: 7 由于三种卡车载重量之比为10: 7:6，所以三种卡车的总载重量之比为 50:35: 42 .那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：250 -:354 :429_20:20:27 在后 15 天，由于甲车全部投入使用，所以在后 15天里57 :14的工作量之比为40:20: 27.所以在这25天内,甲的工作量与总工作量之比为：2010401532(20 20 27) 10 (40 20 27) 15 79【答案】79【例10】一项工程，甲、乙两队合干需

24、22天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需 3-天，需支付54工程款2400元；甲、丙两队合干需 2-天，需支付工程款 2400元如果要求总工程款尽量少，7应选择哪个工程队?920 （元）；乙、丙一天需工程款 2400 3卫 640（元）；4甲、丙一天需工程款 2400 26 840（元）.所以，甲一天的工程款为（920 840 640） 2 560（元）；乙一天的工程款为 920 560 360 （元）.丙一天的工程款为 840 560 280 （元）.单独完成整个工 程，甲队需工程款560 4 2240 （元）；乙队需工程款360 6 2160 （元）；丙队需工程款280 10 28

25、00（元）.所以应该选择乙队.【答案】乙队【巩固】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共 1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的1，因为甲有事，由乙、丙合作 2天完成余下工程的 丄，以后三人34合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元?【答案】甲应得 330元，乙应得 910元，丙应得 560元【随练1】为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池， 要求单独打开进 水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能

26、把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时， 经过 小时池水就会漏完。【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】希望杯111 1【解析】设满水池水位单位“ 1,水池漏水相当于一个工作效率为- 丄的出水管，因此关闭进水管与出34 14 84水管，经过84小时池水就会漏完【答案】84小时【随练2】公园水池每周需换一次水水池有甲、乙、丙三根进水管第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲 的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了 15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲 的顺序轮流打开1小时

27、，比第一周多用了 15分钟.第四周他三个 管同时打开，灌满一池水用了 2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用 小时.【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2007年，迎春杯，高年级，初赛【解析】 考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，按照乙丙甲的顺序灌少用 15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用 15分钟，三个一起灌用 20分钟所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢也就是说，此部分是甲灌 1个小时后灌满甲灌1个小时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水.所以灌水速度甲 ：乙：丙3： 4 2，也就是甲刚好是

28、平均数所以只用甲管灌满需要 7小时.【答案】7小时【随练3】一项工程，若请甲工程队单独做需 4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月耗资5万兀.请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金.【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的 丄、-，那么甲、乙合作所需时间为：461 11 （- 一）2.4个月；甲、乙合作 2.4个月所耗资金为：（9 5） 2.4 33.6（万元）.46甲工程队完成全部工作要耗资 9 4 36万元，乙工程队完成全部工作要耗资 5 6 30万元，乙 工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完 成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程做5个月，甲工程队做（1 -）-个月，即：甲、乙两工程队合作 个月后，乙工程队64 3 3再单独做12个月.3【答案】33.6万元213甲、乙两工程队合作 2个月后，乙工程队再单独做 号个月33【作业1】一项工程，甲单独做要 12小时完成，乙单独做要 18小时完成若甲先