速算与巧算.docx

1、速算与巧算速算与巧算一、加法中的巧算 1.什么叫“补救”? 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万，就能把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 摆火柴棒数字迷 数字迷是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。这一讲我们主要研究加、减法的数字迷。 数列推理的妙用我们经常遇到这样一类问题，即给一列数，要求根据数与数之间的关系，通过分析推理，得出其排列规律，从而推出要填的数。例如：在下列各列数中，内应填什么数?(1)3，11，19，;(2)7.9，6.6，5.3，;(3)，25，42，

2、59。这几列数的排列规律是不难发现的：在第(1)列数中，后一个数比前一个数多8，内应填27;在第(2)列数中，后一个数比前一个数少1.3，内应填4;在第(3)列数中，前一个数比后一个数少17，内应填8。巧妙地运用这种简单的推理方法，我们可以解决一类“消去问题”。今举数列说明如下。例1 学校计划购买篮球和排球。如果购买6只篮球和5只排球要花263元;如果购买4只篮球和7只排球，则要花245元。问一只篮球和一只排球各值多少元?解 把已知条件写成下面两列：篮球6 4排球5 7价值 263 245首先我们横着看，把它们看成三列数，第一列由6到4，减少2，因此推出第三项的数为2，第四项的数为0，即642

3、0;同理，第二列数为57911，第三列数为263245227209。上面推理过程可以表述为：现在我们竖着看，第四列(推出的)数表示0只篮球与11只排球价值为209元，即1只排球为(20911=)19(元)。再根据第一个条件，可算得1只篮球为(263-195)6=)28(元)。例2 甲、乙两人加工零件，甲做11时，乙做9时，共加工零件213个;甲做9时，乙做6时，共加工零件162个。问甲、乙两人每时各加工几个零件?解 把已知条件写成竖列，按横列推理：竖着看：第四列(即推出的最后一列)表示甲5时做60个零件，则每时做(605=)12(个)零件，从而知道乙每时做的零件个数为：(213-1211)9=

4、9(个)这种解题方法，把已知条件看成数列，而且往递减方向(至少有一列递减)推理，直到有一列的某项为零，就很容易得到结果。上面的两个例子，都是从左往右推理的，如果这样做得不到某列的某项为零时，就可考虑从右往左推理。例3 某商店出售水果，3千克苹果和5千克雪梨共值22.50元，4千克苹果和2千克雪梨共值16.00元。试问苹果和雪梨每千克价格各是多少元?解 把已知条件写成两列：苹果3 4雪梨5 2价值 22.50 16.00横着从左往右推理，第一列为推不出零;第二列也推不出零。因此，考虑从右往左推理(已知条件为右边的两列)。这里，左边的第一竖列(推出的)表示14千克雪梨42.00元，则每千克雪梨价格

5、为(42.0014=)3.00(元)，所以，每千克苹果的价格为：(16.00-3.002)4=2.50(元)。最后需要说明的是，这种数列推理的方法，虽然巧妙有趣，但并不是万能的。如果已知条件给出的数列，横着从左往右推或从右往左推都得不到某项为零时，就不能用这种方法直接推理得到结果。这时，我们就应该换一换思考角度，用其他方法来处理。整数分拆整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积最大(或最小);或拆成若干个

6、连续自然数的和等等。下面举例作出剖析。例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆?分析与解 不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有最大积77=49。例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆?分析与解 不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积78=56。注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然

7、数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积mm=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有最大积m(m+1)。例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆?分析与解 显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积455=100。例4 将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆?分析与解 首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另

8、一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3，但5比23=6小。又因为4=22，因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。注意到2+2+2=6，222=8;3+3=6，33= 9.因此，分拆成的数中如果有三个2，还不如换成两个3。这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2，其余都是3。综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的最大积33332=162。上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的积最大的问题。下面两例则是如何将一个自然数按题目要求拆成若干个连续自然数的问题。例5 将1994分拆成若干个连续自然数的

9、和，一共有多少种不同的方法?分析与解 因1994=9972=492+493+494+ 495，仅一种方法。所以，该题有唯一解。例6 将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法?分析与解 由于35=57=75，因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有两种方法。植树问题某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？解：设男生x人，女生(42-x)人。3x-2(42-x)=563x+2x-84=565x=140x=2842-x=14答：男生28人，女生14人学雷锋学雷锋活动中，同学们共做好事

10、240件，大同学每人做好事8件，小同学每人做好事3件，他们平均每人做好事6件。参加这次活动的小同学有多少人?解：同学们共做好事240件,他们平均每人做好事6件,说明他们共有240/6=40人设大同学有x人，小同学有(40-x)人。8x+3(40-x)=2408x+120-3x=2405x+120=2405x=120x=2440-x=16答：大同学有24人，小同学有16人。五、图表法例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个?

11、(北京市“迎春杯”数学竞赛试题)分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为(10+9+8+7+6)-(1+2+3+4)=30(人)所以这辆汽车至少应有座位30个。最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常见的解题方法。有几只小虫蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各几只?解：设蜘蛛18只，蜻蜓y只，蝉z只。三种小虫共18只，得：x+y+z=18a式有118条腿，得：8x+6y+6z=118

12、b式有20对翅膀，得：2y+z=20c式将b式-6*a式，得：8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*182x=10x=5蜘蛛有5只，则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。再将z化为(13-y)只。再代入c式，得：2y+13-y=20y=7蜻蜓有7只。蝉有18-5-7=6只。答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。鸡兔同笼笼中装有鸡和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原有兔、鸡各多少只?解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。(100-92)/2=4只，兔子比鸡多4只。去掉4只兔子4*4=16只脚，100-16=84只脚是同样兔子和鸡的脚84/6=14是鸡的数量14+

13、4=18是兔子的数量答：兔子有18只，鸡有14只。汽车行驶1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时?答案：1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。60x+(60+15)(7-x)=46560x+525-75x=465525-15x=46515x=60x=4答：每小时60千米的速度行驶了4小时。表针追及问题分析“时针12时整，时针和分针重合，问经过多长时间两针又重合呢?”一般可根据“1分，分针比时针多转动的角度数”和“1时，分针比时针多走的圈数”给出两种解答的方法。在此，

14、我们用高观点来分析这道题。我们把时针12时整，时针和分针重合，看作它们相距一周，也就是分针60分的距离，两针再次重合，就可以看成是分针“追赶”时针的问题。分针先走完一圈，所需时间为60分，由于分针的速度是时针速度的12倍，这时针，分针又必须走完这5分的路程，而这时时针又向前走了“相当于”分针分针“追上”时针，亦即两针再次重合所需的时间，就是分针走完各段所需合理摘录 巧妙推导解答应用题要讲究方法，方法对头就能事半功倍。小学生抽象思维能力较差，往往不易弄清题中条件间的关系，条件与问题的联系，引导学生合理摘录题中数据进行分析，巧妙进行推导，就容易解决题中问题。例1 把一些图书分给六年级一班的男同学，

15、平均分给每个男同学若干本后，还剩14本，如果每人分9本，这样最后一个男同学只能得6本，六(1)班的男生有( )人。分析 我们将题中的条件和问题组成的主要数量关系用式子摘录如下：为了书写简便，我们用题中的关键字“书”和“男”分别表示“图书总数”和“男同学人数”，用表示不知道的量。从上面的两个数量关系式中找不到解题的突破口。不妨将两式变化，如下：从这两个式子得到：男+14=9男-3(9-)男=17“9-”得到的是图书的本数，应该是整数，“男”也必须是整数，而且不能为“1”。而17=171，因此“男”只能为17。六(1)班的男生为17人。例2 有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机：“后面有自行

16、车吗?”司机答道：“10分钟前我超过一辆自行车。”这个人继续走10分钟，遇到自行车。已知自行车速度是步行速度的3倍，问汽车速度是步行速度的( )倍。分析 这是一道行程问题，用线段图摘录题中条件，表示各数量间关系比较合适。摘录如下：已知自行车的速度是步行的3倍，则在相同的时间里，自行车行的路程是步行的3倍。如果将步行10分钟的路程看作1倍的量，那么自行车10分钟行的路程为3倍的量。在线段图中标出这些倍数，观察线段图可知汽车10分钟行的路程为7倍的量。因此，汽车10分钟行的路程是步行路程的7倍，则汽车的速度是步行速度的7倍。例3 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，可以比原定时10分到达乙地。那么甲乙两地相距( )千米。分析 题中给的数量较多，而且数量间的关系不明显。我们根据“速度时间=路程”这个关系式列表分析推导如下：速度 时间 = 路程原来 1 1 1变化一1+25% 1根据表中变化一可求出，即现在所用时间为原时间的1(1+25%)而变化二实际只提前10分，相差(30-10=)20(分)，这是“将速度千米所用时间为：原速度为：8080=1(千米)甲乙两地相距为：1120=120(千米)