初中数学三角形专题知识总结与练习答案.docx

1、初中数学 三角形专题知识总结与练习答案初中数学 三角形专题知识总结与练习答案专题八 三角形一目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。三知识要点：知识点1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个三角形的主要线段和外心、等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是

2、等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：

3、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5 全等三角形定义、判定、性质知识点6 相似三角形 定义,夹角相等两对应边的比相等相似三角形判定方法两个对应角相等三条对应边的比相等对应边的比对应高的比等于相似比相似三角形的性质周长比面积比=相似比平方知识点7 锐角三角函数三角函数 sin0 030456090 112 cos 1tan 02 322221 21 2 33不存在cot 不存在 1 0例题精讲 例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。 （2）已知：等腰三角形中一内角为80，求这个三角形的另外两个内角的度数。 分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即

4、可求得。 解：（1）分两种情况：若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。 因此第三边长为12。 （2）分两种情况：若顶角为80，则另两个内角均为底角分别是50、50。 若底角为80，则另两个内角分别是80、20。因此这个三角形的另外两个内角分别是50、50或80、20。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。 例2. 已知：如图，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，AEBD为AB边上的一点，求证：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。 分析：要证ACE

5、BCD，已具备ACBC，CECD两个条件，还需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD显然能证;要证ADAEDE，222222C需条件DAE90，因为BAC45，所以只需证CAEB45，由ACEBCD能得证。证明：（1）DCEACB90，DCEACDACBACD， 即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。（2）ACEBCD，CAEB45，BACB45，DAE90，ADAEDE。例3. 已知：点P是等边ABC内的一点，BPC150，PB2，PC3，求PA的长。 分析：将BAP绕点B顺时针方向旋转60至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形。解：BCBA，将BAP绕点B顺时

6、针方向旋转60，使BA与BC重合，得BCD，连结PD。BDBP2，PADC。BPD是等边三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DC=PADC。【变式】若已知点P是等边ABC内的一点，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度数吗？请试一试。例4. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由 解：（1）把ABP绕点B顺时针旋转60即可得到CBQ利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得到APCQ（2

7、）连接PQ，则PBQ是等边三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明 例5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BCEF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABCDFE_分析：ABC与DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90，因此填90点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相

8、关的性质进行解题 D BC222 例6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为1.5秒（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离，在OAC中，OC25米OAC906030，OA2CO50米由勾股定理得CA 在OBC中，BOC30BC125OB。 （2BC）2BC2252 BC23253 503 ABACBC（2）503

9、A到B的速度为1.51009 /秒）1009/秒69.3千米/时69.3千米/时<70千米/时该车没有超过限速点评：此题应用了直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用 例7. 如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了RtABC请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等 简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定

10、理的逆定理“若两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图 例8. 如图所示，在ABC中，ABAC1，点D、E在直线BC上运动，设BDx，CEy（1）如果BAC30，DAE105，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果BAC的度数为，DAE的度数为，当、满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由 解：（1）在ABC中，ABAC1，BAC30，ABCACB75，ABDACE105 又DAE105，DABCAE75又DABADBABC75，CAEADB，ADBEAC， 1ABBD1x=,即=，y xECACy1（2）当、满足 a190

11、，y仍成立 x2此时DABCAE，DABADB，CAEADB又ABDACE，ADBEAC，y1 x点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例9. 如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：EDMFBM；（2）若DB9，求BM （1）证明：E是AB中点，AB2BE，AB2CD，CDEB，又ABCD，四边形CBED是平行四边形，CBDE， DEM=BFM，EDMFBM EDM=FBMDMDE=， BMBF1DB3 3（2）解：EDMFBM，F是BC中点，DE2FB，DM2BM，BM例10. 已知ABC

12、中，ACB90，CDAB于D，ADBD23且CD6。求（1）AB；（2）AC。 分析：设AD2k，BD3k。根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD。通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小。解：设AD2k，BD3k（k >0）。ACB90，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k6。AB56。又AC2ADAB，AC2。 例11. 已知ABC中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求证：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC。 分析：从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公

13、共边EH，根据矩形的性质可知EFCH，HF EC。要证明三角形相似，从条件中得FHECHB90，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相似。证明：HEBC，HFAC，CEHCFH90。又ACB90，四边形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，FHE90。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90，HEFHBC。说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。 例12. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A

14、，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断EMC是什么样的三角形，并说明理由。 分析：判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EMMC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MDMBMA。连结M A后，可以证明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。证明：连接AM，由题意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90

15、。DAB90。DAB为等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。 课后练习 1. 如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EB

16、ODCO；BEOCDO；BECD （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。 求证：ACBD，APB60。（2）如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。（3）如图，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k>1），AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。 DCBB C AP 3. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长

17、为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计的方案如图（2）。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略，计算结果可保留分数） A 4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？(1)(2) 5. 如图，已知MON90，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在MON内部。 （1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1

18、为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D。求证：ACAD=AB1AQ；（3）连结CC1，试猜想ACC1为多少度？并证明你的猜想。6. 如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心500km的范围是受台风影响的区域 （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？7. （1）如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分线，CAB60，CDBDAC，AB的长 （2

19、）“实验中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出A30，AC40米，BC25米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，A60，AB200m，CD100m，求AD、BC的长 8. 高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图所示（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC2.5米，DF7.5米，求大树AB的高度；（2）现有皮尺和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n表示，角度用希腊字母，表示）； 根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示 9. 如

20、图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时 （1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32cos32 ） 53，100 练习答案1. 解：（1）或（2）已知求证ABC是等腰三角形证：先证EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 证明：AOB和COD为正三角形，OAOB，ODOC，AOB60，COD60。AOBBOCCODBOC，AOC

21、BOD。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60。（2）AC与BD间的等量关系式为ACBD；APB的大小为。（3）AC与BD间的等量关系式为ACkBD；APB的大小为180。3. 解：方案（1）：有题意可知，DEBA，得CDECBA。x2-x6=,x=.； 1.527方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。 x1.2-x30630=,x=,图（1）加工出的正方形面积大。 。2.51.237737综上所得，甲同学设计的方案较好。4. 解：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答：80m 75. 解：（1）如图所示； 证

22、明：（2）AOC与AB1C1是等边三角形，ACBAB1D60。又CAQB1AD，ACQAB1D；ACAQ=,AB1AD即ACAD=AQAB1.（3）猜想ACC190。证明：AOC和AB1C1为正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1，OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190。6. （1）作AMBF可计算AM300km<500km，故A城受影响 （2）受影响时间为4002=4小时 2007. 解：（1）AC3，AB6（2）能，分两种情况，SABC150和SABC150CADB（3）延长BC，AD交于E，AD400BC200 8. 解：连结AC，EF，（1）太阳光线是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90，ABCEDF，AB4米（2）如图所示：ABBCAB2.5=,=， EDDF127.5 AB（mtanh）米9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影响，由计算知新楼在居民楼上的投影高约11米， 故受影响（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少相距： 2082032（米） tan325