专题提升十一 以平行四边形为背景的计算与证明.docx

1、专题提升十一 以平行四边形为背景的计算与证明专题提升(十一)以平行四边形为背景的计算与证明类型之一以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】 图Z111已知：如图Z111，在ABCD中，AC是对角线，BEAC，DFAC，垂足分别为E，F.求证：BEDF.证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BAEDCF.又BEAC，DFAC，AEBCFD，ABCD，RtAEBRtCFD，BEDF.【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等

2、；一组对边平行且相等；对角线互相平分【中考变形】图Z11212016益阳如图Z112，在ABCD中，AEBD于点E，CFBD于点F，连结AF，CE.求证：AFCE.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBCBD.又AEBD，CFBD，AEDCFB，AECF.AEDCFB(AAS)AECF.四边形AECF是平行四边形AFCE.图Z11322016黄冈如图Z113，在ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AGCH.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADFCFH，EAGFCH，E，F分别为AD，BC边的中点，AEDEAD，CFBF

3、BC，ADBC，AECFDEBF.DEBF，四边形BFDE是平行四边形，BEDF，AEGADF，AEGCFH，在AEG和CFH中，AEGCFH(ASA)，AGCH.【中考预测】图Z1142016义乌模拟如图Z114，已知E，F分别是ABCD的边BC，AD上的点，且BEDF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC10，BAC90，求BE的长解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且ADBC，BEDF，AFEC，四边形AECF是平行四边形；(2)如答图，四边形AECF是菱形，AEEC，中考预测答图12，BAC90，3902，4901，34，AEB

4、E，BEAECEBC5.类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z115，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AEBC，AFCD.求菱形各个内角的度数 图Z115 经典母题答图解：如答图，连结AC.四边形ABCD是菱形，AEBC，AFCD且E，F分别为BC，CD的中点，ACABADBCCD，ABC，ACD均为等边三角形，菱形ABCD的四个内角度数分别为BD60，BADBCD120.【思想方法】要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边

5、形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质【中考变形】图Z11612017日照如图Z116，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为E.(1)求证：DCAEAC；(2)只需添加一个条件，即_ADBC_，可使四边形ABCD为矩形请加以证明解：(1)证明：在DCA和EAC中，DCAEAC(SSS)；(2)添加ADBC，可使四边形ABCD为矩形理由如下：ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，CEAE，E90，由(1)得DCAEAC，DE90，四边形ABCD为矩形故答案为ADBC(答案不唯一)图Z11722017白银如图Z117，矩形ABCD中，AB6，BC4

6、，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，ABDC，OBOD，OBEODF，在BOE和DOF中，BOEDOF(ASA)，EOFO，四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，BDEF，设BEx，则 DEx，AE6x，在RtADE中，DE2AD2AE2，x242(6x)2，解得x，BD2，OBBD，BDEF，OE，EF2EO.图Z11832017盐城如图Z118，矩形ABCD中，ABD，CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点

7、E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC，ABDCDB，BE平分ABD，DF平分BDC，EBDABD，FDBBDC，EBDFDB，BEDF，又ADBC，四边形BEDF是平行四边形；(2)当ABE30时，四边形BEDF是菱形，理由：BE平分ABD，ABD2ABE60，EBDABE30，四边形ABCD是矩形，A90，EDB90ABD30，EDBEBD30，EBED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形图Z11942016株洲如图Z119，在正方形ABCD中，BC3

8、，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DFBE，连结AE，AF，过点A作AHED于H点(1)求证：ADFABE；(2)若BE1，求tanAED的值解：(1)证明：正方形ABCD中，ADAB，ADCABC90，ADFABE90，在ADF与ABE中，ADAB，ADFABE，DFBE，ADFABE(SAS)；(2)在RtABE中，ABBC3，BE1，AE，ED5，SAEDEDAHADBA，AH，在RtAHD中，DH，EHEDDH，tanAED.图Z111052017上海已知：如图Z1110，四边形ABCD中，ADBC，ADCD，E是对角线BD上一点，且EAEC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2

9、)如果BEBC，且CBEBCE23，求证：四边形ABCD是正方形证明：(1)在ADE与CDE中，ADECDE(SSS)，ADECDE，ADBC，ADECBD，CDECBD，BCCD，ADCD，BCAD，四边形ABCD为平行四边形，ADCD，四边形ABCD是菱形；(2)BEBC，BCEBEC，CBEBCE23，CBE18045，四边形ABCD是菱形，ABE45，ABC90，四边形ABCD是正方形6如图Z1111，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；

10、(3)求四边形EFGH面积的最小值 图Z1111 中考变形6答图解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，AB90，ABDA，AEDHBF，BEAH，AEHBFE(SAS)，EHFE，AHEBEF，同理，FEGFHG，EHFEGFHG，四边形EFGH是菱形，A90，AHEAEH90，BEFAEH90，FEH90，四边形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心理由：如答图，连结BD交EG于点O.四边形ABCD是正方形，ABDC，ABDC，EBDGDB，AECG，BEDG，EOBGOD，EOBGOD(AAS)，BODO，即O为BD的中点，直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)设AE

11、DHx，则AH8x，在RtAEH中，EH2AE2AH2x2(8x)22x216x642(x4)232，S四边形EFGHEHEFEH2，四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.【中考预测】如图Z1112，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.图Z1112(1)求证：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使EFDBCD，并说明理由解：(1)证明：ABAD，CBCD，ACAC，ABCADC(SSS)，BACDAC.ABAD，BAFDAF，AFAF，ABFADF(SAS)，AFBAFD.又CFEAFB，AFDCFE；(2)证明：ABCD，BACACD.又BACDAC，DACACD，ADCD.ABAD，CBCD，ABCBCDAD，四边形ABCD是菱形；(3)当BECD时，EFDBCD.理由：四边形ABCD为菱形，BCCD，BCFDCF.又CF为公共边，BCFDCF(SAS)，CBFCDF.BECD，BECDEF90，CBFBCDCDFEFD，EFDBCD.