空间点直线平面之间的位置关系基础训练及解析.docx

1、空间点直线平面之间的位置关系基础训练及解析空间点、直线、平面之间的位置关系基础训练及解析一、选择题1(2015河南省实验中学期中)若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是()A若m，则mB若m，n，mn，则C若m，m，则D若，则答案C解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，取ADD1A1为，ABCD为，则，取BC为m，则m，知A错；取ABCD为，取ADD1A1为，BCC1B1为，则，但，知D错；取三棱柱的三个侧面分别为，满足B的条件，但与相交，知B错；m，过m作平面a，则ma，m，a，由面面垂直的判定定理知，故C正确2(2015江西赣州博雅文化学校月考)设为平面，a、b为

2、两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b答案B解析如图(1)，知A错；如图(2)知C错；如图(3)，aa，a，ba，知D错；由线面垂直的性质定理知B正确3(文)已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交答案D解析若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.(理)a、b、c是两两不同的三条直线，下面四

3、个命题中，真命题是()A若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面B若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交C若ab，则a、b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac答案C解析如图(1)知A错；如图(2)知B错；如图(3)知D错在直线c上任取一点P，过P作直线ma，则mb，因此a，b与c所成的角都等于m与c所成的角，故选C.4(2014汉沽一中检测)已知平面和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n与相交，那么m、n是异面直线C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，nm，那么n答案C解析如图(1)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3)

4、，m，n是内的任意直线，都有nm，故D错n，n与无公共点，m，n与m无公共点，又m、n共面，mn，故选C.5(2013北京)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()A3个 B4个C5个 D6个答案B解析P到各顶点距离的取值有4个：其中P到点A，C，B1的距离相等，P到A1，C1，D的距离相等，另两个为P到点B和点D1的距离6(文)(2014山西康杰中学期中)下列四个命题中错误的是()A若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面B若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D两条异面直线不

5、可能垂直于同一个平面答案C解析过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确(理)(2014陕西咸阳范公中学摸底)下列命题中正确的个数是()若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A0 B1C2 D3答案B解析“若直线l上有无数个点不在平面内，则l”是错误的，因为

6、直线l可与平面相交“若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行”是错误的，因为直线l可与平面内的直线成异面直线“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行”是错误的，因为另一条直线可能在平面内“若直线l与平面平行，则l与平面内的任一条直线都没有公共点”是正确的，因为直线l与平面平行，则直线l与平面没有公共点综上可知应选B.二、填空题7已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点则在上面的结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)答案解析设与两异面直线都平行的平面为

7、，则a、b在内的射影为两条平行直线，正确；当a时，a、b在内的射影为一条直线及线外一点，正确；适当调整角度可以使a在内的射影a与b垂直，从而a与b在内的射影b垂直，无论什么情况下，两直线的射影都不可能重合8(2013杭州二模)已知正三棱柱ABCABC的正视图和侧视图如图所示设ABC，ABC的中心分别是O，O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S，则S的最大值为_答案8解析据正视图与侧视图知，该三棱柱的初始状态是水平放置的，直观图如图所示据所给的数据知，底面正三角形的高是，底面边长是2.将三棱柱绕OO旋转时，俯视图是矩形，该矩形的一组对边的长度保持不变(长度为4)，另一

8、组对边长度不断变化，在底投影面上的投影的长度的最大值为2，S的最大值为428.9(文)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案解析点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，AM与CC1是异面直线，故错；取DD1中点E，则BNAE，但AE与AM相交，故错；B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN与MB1是异面直线

9、，故真；同理真，故填.(理)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_答案 解析如图，连结DE，ADBC，AE与BC所成的角，即为AE与AD所成的角，即EAD.设正方体棱长为a，DEa，AEa，cosEAD.点评化异为共的思想在立体几何解题过程中，经常运用化异为共的思想解决问题(1)与异面直线有关的命题真假判断(2)异面直线的判定方法异面直线的判定主要用定理法、反证法1定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)2反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经

10、过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM成60的角；EF与MN是异面直线；MNCD.其中正确的是()A BC D答案D解析如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知正确，故选D.如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A互相平行B异面且互相垂直C异面且夹角为D相交且夹角为答案D解析将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l1与l2相交，连接AD，ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D.(3)求异面直线所成角的方法求异面直线所成的角主要用平

11、移法，其一般步骤为1平移：选取适当的点，平移异面直线的一条(或两条)成相交直线2证明：证明所作的角是异面直线所成的角3求解：找出含有此角的三角形，并解之4取舍：根据异面直线所成角的范围确定大小(一)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡如图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值解析在平面ABB

12、1A1内作ENAM交AB于E，则EN与CN所成的锐角(或直角)即为AM和CN所成的角设正方体棱长为a.在CNE中，可求得CNa，NEa，CEa，由余弦定理得，cosCNE.即异面直角AM与CN所成角的余弦值为.(二)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内如图所示，正方体AC1中，B1E1D1F1，求BE1与DF1所成角的余弦值解析平面ABB1A1平面DCC1D1，在A1B1上取H，使A1H，即可得：AHDF1.引NHBE1，则锐角AHN就是DF1与BE1所

13、成的角设正方体棱长为a，在AHN中，易求得：AN，AHNHBE1a.由余弦定理得，cosAHN.即BE1与DF1所成的角的余弦值为.(三)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件如下图长方体AC1中，AB12，BC3，AA14，N在A1B1上，且B1N4.求BD1与C1N所成角的余弦值解析如图所示，将长方体AC1平移到BCFEB1C1F1E1的位置，则C1EBD1，C1E与C1N所成的锐角(或直角)就是BD1与C1N所成的角在NC1E中，根据已知条件可求B1N4，C1N5

14、，C1E13，EN4.由余弦定理，得cosNC1E.BD1与C1N所成角的余弦值为.三、解答题10如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，若A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置解析如图，在正方体AC1中，QA1C1，Q平面A1C1CA.又QEF，Q平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点平面A1C1CA平面BDEFPQ，又A1C平面BDEFR，RA1C，R平面A1C1CA，又R平面BDEF，RPQ，R是A1C与PQ的交点一、选择题11(2014东北三

15、省联考)直线m，n均不在平面，内，给出下列命题：若mn，n，则m；若m，则m；若mn，n，则m；若m，则m.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4答案D解析过n作平面a，n，na，又mn，ma，m，m，正确；过m作平面1b，m，mb，b，过b作平面2c，则bc，mc，m，m，正确；在直线n上取点P，过点P作mm，nm，nm，设m与n确定的平面为，n，n与相交，故平面与相交，设交线为d，则nd，md，md，m平面，m，正确；设与的交线为l，在内作直线gl，则g，m，mg，m，m，故正确12(2014广东执信中学期中)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界

16、上运动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1的中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析如图所示，连接AB1，B1C，AC，由于四边形ABCD为正方形，所以ACBD.因为DD1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACDD1.因为BDDD1D，所以AC平面BDD1.因为BD1平面BDD1，所以BD1AC，同理可证BD1AB1.因为AB1ACA，所以BD1平面AB1C.因为B1C平面AB1C，所以BD1B1C.过点A有且只有一个平面与BD1垂直，且过点A与BD1垂直的直线都在此平面内，故AP平面AB1C，而平面AB1C平面BCC1

17、B1B1C，故点P在侧面BCC1B1内的轨迹为线段B1C，故选A.13(文)(2013天津一中月考)在正三棱锥PABC中，D、E分别是AB、AC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE，其中正确论断的个数为()A3个 B2个C1个 D0个答案C解析过P作PO平面ABC于O，则POAC，又正三角形中BEAC，所以AC平面PBE，所以ACPB，所以正确，错误因为AB与AC相交，所以不正确，所以正确论断只有1个(理)已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，则下列结论不正确的是()ACD平面PAF BDF平面PAFCCF平面PAB DCF平面PAD答案D解析对

18、于A，CDAF，CD平面PAF，AF平面PAF.CD平面PAF.故A正确对于B，DFAF，DFPA，PAAFA.DF平面PAF.故B正确对于C，CFAB，CF平面PAB，AB平面PAB.CF平面PAB.故C正确对于D，若CF平面PAD，则CFAD，而CF与AD夹角为60，故D错所以选D.14(文)(2014洛阳检测)如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AEBC.正确命题的个数为()A1 B2C3 D4答案C解析AB是圆O的直径，ACBC，又PA面圆O，故PABC，且PAACA，

19、BC面PAC，BCAF，又AFPC，且PCBCC，AF面PBC，故AFBC，AFPB，又AEPB，且AFAEA，所以PB面AEF，从而EFPB，故正确，若AEBC，则可证AE面PBC，则AEACAF，这是不可能的，选C.(理)(2014福建质量检查)如图，AB是O的直径，VA垂直O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC答案D解析依题意，MNAC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到ACBC，因此MN与BC所成的角是90；注意到直线OC与AC不垂直，

20、因此OC与平面VAC不垂直；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC.又BC平面VBC，所以平面VBC平面VAC.综上所述可知选D.二、填空题15(2015深圳五校一联)已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是_若m，n，m、n，则.若，m，n，则mn.若m，mn，则n.若n，n，m，那么mn.答案解析在选项中，只有两条相交直线都平行于另一个平面才能有两平面互相平行，所以不正确；在中，直线n有可能在平面内，所以不正确，所以只有正确16(2014保定高阳中学月考)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1

21、的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_答案2解析如图所示，E，F，E1，F1分别为AA1，DD1，BB1，CC1的四等分点，可证BN平面EFF1E1.又M为AC1的中点，所以M在平面EFF1E1上，故点P所构成的轨迹是平行四边形FEE1F1，周长等于2EF2EE12.三、解答题17如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB，点E在CD上移动(1)求三棱锥EPAB的体积；(2)试在PD上找一点F，使得PEAF，并证明你的结论解析(1)PA平面ABCD，VEPABVPABESABEPA11.(2)F是PD的中

22、点PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA.四边形ABCD是矩形，CDAD，PAADA，CD平面PAD，F是PD上的点，AF平面PAD，AFDC，PAAD，点F是PD的中点，AFPD，又CDPDD，AF平面PDC，PE平面PDC，PEAF.18(文)(2015安徽示范高中一联)直角三角形ABC中，ACB90，AB2BC2，D，E分别为AC，AB的中点，将ADE沿DE折起，使ADC为等边三角形，如图所示(1)求证：平面ADC平面ABC；(2)求四棱锥ABCDE的体积解析(1)D、E是边AC、AB的中点，DE是ABC的中位线，DEAC.DE平面ADC.DEBC，BC平面ADC，平面ADC平面A

23、BC.(2)过点A作AMCD，AM平面CBED，M为DC的中点，AB2BC2，ACB90，在折起前AC，AD，AM，又DEBC，S梯形BCDE(1)，VABCDES梯形BCDEAM.(理)(2014安徽宣城调研)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解析(1)方法一：如图(1)所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A

24、底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC.又因为EC2FB2，所以OMFBEC且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点方法二：如图(2)所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，因为EC2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.