《鸡兔同笼》的资料.docx

1、鸡兔同笼的资料大学老师给小学数学挑刺：应用题要么太古董要么太雷人鸡兔同笼题，千年没变过本报记者 沈蒙和 本报记者沈蒙和当中小学语文教材因“真实性”、“是否脱离现实”而倍受质疑时，当奥数是否应该取消的呼声甚嚣尘上时，小学数学教材也没能幸免。近日，本报编辑部收到杭州师范大学初等教育学院老师戎松魁的一封信，专门反映了小学数学应用题中存在的若干脱离实际生活的古董题和雷人题。某些题型，误导学生例如，人教版新教材二年级上册第1单元的教学内容是“长度单位”，教材安排了请小朋友用硬币、小刀、三角形、铅笔、正方体等物品测量书本边长的活动。通过这些活动，学生大都能得出如下结论：书边大约有4个三角形那样长、书边大约

2、有15个正方体那样长“于是学生把那些实物当成了长度单位。”戎松魁对此表示不赞成，“事实上，棱长为1厘米的正方体木块，它不能作为长度单位，它的棱的长度倒是可以作为长度单位的。教材为了使学生初步经历长度单位形成的过程，体会统一长度单位的必要性，知道长度单位的作用，而要学生用不同的物品去测量另一些物品的长度，以致使学生错误地认为这些物品就是长度单位。”鸡兔同笼，几代不变其实不仅是戎老师，记者调查发现，如今不少小学家长对数学教材也有意见。相对于大学老师的专业眼光，家长们对小学数学颇多微词的原因是有些题目场景“不合时宜”。在钱报家长QQ群里，爸爸妈妈们七嘴八舌举例说明。网名“娃娃鱼”的爸爸发言：“鸡兔同

3、笼，共有100个头，320只脚。问鸡和兔子各有多少只？汗，儿子做的题目竟然和我小学时做过的一模一样。没有新意，而且现在谁家还有养兔子又养鸡的。”还有大量的关于相遇问题的应用题也差不多是两代人都做过的古董题，题1：两辆车同时从A地出发,沿一条公路开往B地.甲车比乙车每小时多行5千米,甲车比乙车早到1/2小时到达途中的C地，当乙车到达C地时，甲车正好到达B地。已知C地到B地的公路长30千米。乙车每小时行多少千米？AB两地相距多少千米？题2：甲乙两人同时从两地相向而行，甲骑自行车每小时行15千米，乙骑摩托车每小时行45千米，甲离出发地36千米处与乙相遇，两地相距多少千米？雷人题目，动歪脑筋此外，小学

4、数学也应该教会孩子如何正确做人，而不是灌输不好的理念。“三墩小学琦琦妈”提到二年级女儿的一道数学题：“甲、乙、丙三人中有一人做了一件好事。他们各自都说了一句话，而其中只有一句话是真的。甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：也不是我做的。问到底是谁做的好事。这题我看了就晕，别说小学二年级的女儿了。这个年纪孩子很单纯，题目里却一会儿说真话一会儿说假话的，把人都绕糊涂了。”还有一些纯粹是雷人的应用题，如题1：小明钓鱼回来，小玲问他钓了几条鱼，小明答：“钓得真不少啊！6条没头，9条没尾，8条只有半个身躯。”你知道小明到底钓了几条鱼？题2：1个人有3个，2个人有4个，3个人有5个，4个人有7个，5个人

5、呢反而有6个，问这是什么东西啊？这两道题一是严重脱离实际，令人匪夷所思，二是题目弯弯绕，很雷人，大人无语，如果孩子答对了这样的题目，在生活中是不是一个傻孩子？联系实际，是大趋势“其实我们数学老师在教研活动中也常会讨论这些问题。教材和练习卷上确实有些题目几十年不变，夸张的甚至上千年不变，像鸡兔同笼问题就来自孙子算经。”杭州现代实验小学老师付吉娜告诉记者，她已经教了9年小学数学。“数学要生活化是趋势。”付老师说，“像鸡兔问题，我们就可以换个更生活化的场景让学生解答。例如，刘老师带了41名同学去西湖划船，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？”当然，除了一成不变的“古

6、董题”，如今小学数学卷上也不乏与时俱进的题目：“某商场对顾客的优惠规定如下：（1）一次性购物低于200元的没有折扣；（2）一次性购物不低于200元，但不超过500元的按标价给予9折优惠；（3）一次性购物超过500元，超过的部分给予8折优惠。小丽两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去购买一次，相同商品应付多少元？”在杭州各大商场争相打折的岁末，小朋友学会做这样的题目，说不定还能帮妈妈在血拼中省点钱。鸡兔同笼海淀区实验小学 张燕一、教学目标：1 培养学生的合作意识，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。2

7、 应用假设的数学思想，在解题中数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力；3在解决“鸡兔同笼”的活动中，通过列表举例、画图分析、尝试计算等方法解决鸡兔的数量问题。 二、教材分析：（一）设计意图：本教材向学生提供了现实、有趣、富有挑战的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，运用多种方法解题，学生可以应用列表法（逐一列表法、跳跃式列表法、取中列表法）。学生根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。（二）设计思路：遵照新课程标准的精神，在课程设置中强调学生是学习的主人

8、，在学习过程中尽可能多的为学生提供探索和交流的空间，鼓励学生自主探索与合作交流。通过教师创设的现实情景，让学生投入解决问题的实践活动中去，自己去研究、探索、经历数学学习的全过程，从而体会到假设的数学思想的应用与解决数学问题的关系。通过学习使学生认识到数形结合的重要性，提高学生分析问题和解决问题的能力。在学习中应注意鼓励每个学生参与学习过程，注重学生之间交流，使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。三、学生状况分析：五年级学生在三年级时已初步学习了简单的“鸡兔同笼”问题，他们已经初步尝试了应用逐一列表法解决问题，还有一些学生

9、在奥数的学习中已经学过，学生的程度参差不齐。学生的思维活跃，敢想，敢说，有一定的小组合组经验。四、教学设计：（一）创设情境。1 明前课题：今天我们共同研究鸡兔同笼问题。（板书：鸡兔同笼）问：鸡兔同笼是什么意思？生：鸡兔同笼就是鸡兔在一个笼子里。课件：出示图师问：请你说一说图中有几只兔子几只鸡？生1：我猜是7只兔子5只鸡。生2：不一定。因为有一棵树把鸡和兔子挡住了，所以我不知道各有几只。(二)探求新知。1. 独立学习。师：如果告诉你：鸡兔同笼，有20个头，54条脚，鸡、兔各多少？能求出几只兔子，几只鸡吗？（出示题目）师：你打算用什么方法解决这个问题？请同学们思考一下，想好了，写在作业纸上。2.

10、小组交流： 请同学们把自己的想法在小组内交流一下，看那个小组的方法多样。3. 集体讨论并汇报师：哪个小组说说你们的想法？ 小组1：我们采用列表法得出的答案。（实物投影展示小组的成果）先假设有1只鸡，19只兔子，脚就有78条。脚太多，然后又假设有2只鸡，18只兔子，脚还是太多了。这样试下去就得到了有13只鸡，7只兔子。师：还有哪些小组采用不同的列表法？小组2：我们也采用列表法得出的答案,我们发现鸡增加1只，兔子减少1只，腿就减少2条，所以我们没有一个一个的试，那样太麻烦，而是从2只鸡，18只兔直接跳到10只鸡，10只兔。最后也得到了13只鸡，7只兔。小组3：我们小组也是列表法。我们是先假设鸡有1

11、0只，兔子也有10只。这样比较简便。（三）解决问题：1. 将题目改成：鸡兔同笼，有23个头，66条腿，鸡、兔各几只？请你列表的方法解决。2/ 老师带51名学生到公园划船。一条大船坐6人，一条小船坐4人，他们租了大船、小船各几条？请同学们用列表方法解决。（四）学习总结。师：通过今天的学习，你有哪些收获？五、观鸡兔同笼的几点体会宣恩县民族实验小学 杨白玉1、这节课充分体现出解决问题策略的多样化李艳丽老师在课堂上适时引导学生从多角度思考问题，呈现出了猜测、列表、假设等多种解题方法。并通过学生的独立思考、自主探究，将多种解题方法进行观察和对比，使学生充分体验到解题策略的多样性，在体验解决问题多样化的过

12、程中，突出了学生的主体地位，同时尊重了学生的个体差异，允许不同的学生在解题方法上有不同的想法。2、设计上层次清晰，衔接紧密，过渡自然流畅在整个教学过程中，引导学生呈现出呈现出猜测、列表、假设等多种方法，但这些方法并不是孤立存在的，相互之间是有本质和必然的联系。教学中，教师抓住了各种方法之间的联系，由无序猜想法到按照一定的规律猜想，过渡到按顺序列表的方法，将多种方法的有机结合，使整个教学过程衔接紧密，过渡自然流畅，毫无瑕疵。3、重点突出假设法作为解决鸡兔同笼的一般方法，它不仅是这节的重点，特别是在假设法中最后一步出现的“设鸡得到是兔的只数、设兔得到又是鸡的只数”这一解题过程又是重点中的难点。李老

13、师的设计应该来说充分意识到了这一点，从两点可以体现出来：一是让学生观察表格，通过表格规律的发现，去理解假设法，也就是将列表法和假设法的有机结合。最后提出了两点思考：这节课的难点在哪里，事实上我们已经很清楚了，就是假设鸡以后为什么求出来的先是兔；当学生假设的数目算出鸡和兔的腿数不合题目给出的54条腿时，到底应该如何调整，为什么要这样调整呢？这一个难点的突破靠什么？这时候课件就能够很直观地把这样一个兔和鸡之间通过添脚、去脚这样一个置换的思维过程很直观的反映给学生。所以学生就能够很直观地理解，如果假设是鸡的话，每只鸡添2 只脚就变成兔，如果假设是兔的话，一只兔去掉2 只脚，就变成了鸡，这里关系转换就

14、变得非常清晰。这就是这节课的难点，突破难点靠什么，还是要依据小学生的思维特点，在这些问题上，他存在抽象思维无法来解决这一问题的时候，那我们就要靠具体形象的思维来做支撑，这样难点就轻松被突破。10月23、24日在北京参加小数年会，期间听了三堂课，其中之一是北京第二实验小学施银燕老师的“尝试的学问”（针对四年级学生）。这堂课以“鸡兔同笼”为教学素材，执教者把课定位在：以鸡兔同笼问题为载体，教学最原始，而又最能广泛迁移的尝试。从教学现场的短信互动平台看，当时就有教师质疑执教者的这一目标定位。24日在成远饭店吃晚饭时，山东的一位教研员也主动过来与我交流这堂课的定位问题，可见，对于施老师的这个教学定位有

15、异议者不止一位。当然，之所以有教师提出不同的意见，恐怕还和施老师的课只成功了一半有关（前半堂课比较精彩），以结果论英雄，难免有教师怀疑起最初的定位来。对这堂课定位的质疑，恰恰说明这堂课的定位是独特的，施老师的探索是有意义的，但同时也说明，对如何挖掘“鸡兔同笼”问题的教学价值，大家是有不同想法的。本文就试着阐述一下“鸡兔同笼”问题的教学价值，并试着说一说施老师这样定位合理的地方以及可以改进的地方。鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，出自孙子算经。原文为：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？对于这个问题，从解题的角度而言，可以有一系列的方法：画图法、列表法、假设法、方程法。这个

16、问题也蕴含着丰富的数学思想方法：化归的思想、枚举的思想、数形结合的思想、假设的思想、方程的思想、建模的思想。数学思想方法和具体的解题方法有一定的对应关系，比如，枚举的思想与列表法，数形结合的思想和画图法，方程的思想和方程法。教学实践中，面对鸡兔同笼问题如此多元的诠释可能，教师的不同定位就带来了不同的教学设计这一点是大家都能理解的。然而，仅仅看到鸡兔同笼的多种解法及其蕴含的数学思想，还只是从数学的角度而不是从教育的角度来看问题。从教育的角度来看，定位于不同的解题方法不是随意的，而应该将解法的难度与学生的可接受水平结合起来考虑，因此可以有这样的逻辑序列：一年级可以选择画图法（数形结合的思想），二三

17、年级可以选择列表法（枚举与假设的思想），四年级可以选择假设法（假设的思想），五年级用方程法（方程的思想）。有必要指出，这个方法定位的序列是大致的，不同的年级代表着学生不同的认知接受水平，但不能代表学生原有经验积累的差异，前者是定出这个序列的基础，后者则意味着在同一个年级、同一个课堂，不同的学生会表现出不同的思维层次，采用不同的方法。当我们试着整理出鸡兔同笼问题在不同年级教学中大致的方法定位后，就可以明白为什么很多人把鸡兔同笼问题看成是一个类同“智力测量量表”的测量指标，因为这个问题有多种解法，妇孺通吃，老少皆宜。（我的同事刘祖希就说“鸡兔同笼是看一个孩子能否参加奥赛的一个分界点”，而中小学数学

18、（小学版）的主编方运加老师也提供了类似的回忆。）同时，面对这个大致的教学定位的序列，我们会面对一个追问：到了五年级学了方程，学生马上能够解决这个问题，那么之前的那些“低级”的方法其价值何在？施老师也面对过同样的困惑，她在课前询问了自己曾经辅导的参加数学竞赛的学生，这些如今在北大、清华、人大等名校就读的高材生告诉施老师，他们当时“几乎不约而同地选择了列方程来解”。我想，许多老师质疑施老师教学定位的又一原因就是，有更好的方法好教，为什么要回归“原始”的呢？这个问题也是促使我写这篇小文章的原因之一。的确，从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷、简便，但这种简便是数学的价值而不是教

19、育的价值！我们要发掘的是鸡兔同笼问题的教学价值、育人价值，而不是，至少不仅仅是数学价值。因此，即便最后要被方程法一统天下，我们的教师也可以理直气壮地在不同的年级教学鸡兔同笼问题（当然不要局限于鸡和兔，而要选用同类问题做素材）。从这个角度而言，施老师的定位恰恰是认识到鸡兔同笼问题的教学价值。相对而言，许多教师更关注鸡兔同笼问题的知识价值，要把最好的方法教给学生，这种动机无可厚非，但如果我们能区分一个素材的知识价值和教育价值，就更容易理解施老师的苦衷。因此这堂课可以定位在尝试法上，但却需要进一步明确这样定位的教育价值：1让学生经历尝试、列举（填表）、调整、发现的过程。（这一点施老师已经指出）2进一

20、步培养学生有序思考的习惯。（施老师的课上始终利用表格来教学尝试法，这一点被有的老师诟病，其实表格的价值是为了引导学生有序思考。而有序思考在小学很重要，教师要有一个长段的思维，在之前的教学中应该有所渗透，比如用大括号对图形进行归类，利用表格总结运算定律等，这样，四年级的表格法作为一种数学工具在一个长段中才能找到自己更合理的位置。这一点不知施老师意识到没有，但在教学上显然没有将之作为一个重点）3培养学生对尝试起点的敏感性。（本质上是对数据的敏感性，这一点在估算、计算教学的凑整算法等的教学中都要渗透。这一点施老师意识到了，但教学没有落实到位）4渗透假设法的体验。（假设全是鸡或兔，逼近的思想，施老师也

21、意识到了）5在学生能有序思考并对尝试起点有一定敏感性的基础上，培养学生对方法的选择意识。4、5两点是额外的要求，针对部分基础较好的学生，对于教师而言，考虑到4、5两点并在教学设计上留有一定的空间是完全有可能的。需要补充的是，上述5点教学目标不是为了拔高尝试法的教学要求，相反，这恰恰是为了照顾大部分学生。在以往“鸡兔同笼”的教学中，因为这个问题的含金量高，教师往往舍不得“取法乎下”，又由于这个题目流传太广，而一个班当中总不乏接触过此题的学生和特别聪明的学生，因此，在教学中，教师最中意的、“取法乎上”的那种解决方法也是能出来的。但教师往往忽视的是这个结果是怎么“出来”的，教师最容易产生的教学缺陷是

22、满足于结果的呈现，满足于和好学生一对一的互动。这样的课堂成就的是教师的精彩，是部分学生的精彩，而不是全体学生的发展。而如果把解法的定位稍稍下调，则意味着有更多的学生能经历解决这个问题的过程，得享这一古代趣题的恩泽。上述的5点，尤其是前3点，就是为了教师在把解法的定位降低之后，怎样更好地充实课堂，提供一个指向。如前所述，“这个题目流传太广，而一个班当中总不乏接触过此题的学生和特别聪明的学生”，所以课堂当中会有这样的现象：教师一说鸡兔同笼，事先知道的学生往往很兴奋，会急于告诉大家自己的方法，甚至课一开始就抛出假设法、方程法，接下来这些学生就不一定关注老师的教了，因为这个问题他们已经会了，如果发现自

23、己的解法更简便，他们甚至会排斥老师教的解法，其他的学生看到这些学生的“轻松”“得意”，也会受到影响。因此，一个可行的策略是教师直接教鸡兔同笼的类为题，比如：（1）小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币27枚，共5.1元，两种硬币各有几枚？（2）学校去春游，大船坐6人，小船坐4人，现有10条船坐了52人，大小船各有多s少？等等。（类同结构的“龟鹤”问题不宜出现，“大小和尚吃馒头”问题是鸡兔同笼问题的提升，可备用。）这样，通过第一个类问题的解决让学生经历列表尝试法；通过第二个类问题的解决让学生发现一一列举太麻烦，要根据数据的特点选择列表（尝试）的起点，教师在第二个问题时就要注意总结，引导学生提升策略，然

24、后视教学情况决定是否再引入一个问题（之前的两个问题可以做变式延伸）；最后，可以把鸡兔同笼问题呈现出来，介绍此题来自孙子算经，是刚才这些问题的“老祖宗”，并把这个问题作为课后探究题，对已经知道鸡兔同笼的学生，鼓励他们总结这个古代趣题和之前的类问题的联系，渗透建模的思想。实战篇名曰“实战”却无实战经验，战战兢兢，纸上谈兵而已。此篇分三部分：1. 施银燕老师的教学设计；2.当时听课的一些细节补充；3.教学重构。第一部分直接来自年会所发的资料汇编，网上可搜索到电子版；第二部分来自我的听课记录，当时听到一半即忙着发短信点评了，所以内容不多；第三部分在原有教学框架基础上重新设计，同时也涉及我对教学的一些基

25、本观点。【一、再现】回到施银燕老师的课堂上来。先看一下施老师的教学设计。 一、提出问题你听说过“鸡兔同笼”问题吗？鸡兔同笼最早出自1500多年前我国数学名著孙子算经。书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？” 这个问题，你能解决吗？ 如果学生不会，可以引导进行尝试； 如果有部分学生已会用假设法（即假设全是鸡或全是兔算出总腿数，并与实际腿数比较算出差，从而得出兔或鸡的只数），可先让学生说。对这部分学生而言，要他们对已经能解决的问题同样充满热情地用另外方法进行探索有难度，所以先让他们切实体会：结果重要，方法和过程同样重要。 二、独立尝试，全班交流 改变数据（1

26、2头，30腿），让学生独立尝试。 教师巡视，搜集典型的、有价值的作品。 预设一般有以下几种： 1.从1鸡11兔（或1兔11鸡）开始，一个不漏逐一检验排除“地毯式搜索”直至找到正确结果为止； 2.跳跃的尝试：从1鸡11兔（或1兔11鸡）开始，跳过几个尝试；或直接折半（从6鸡6兔）开始试；或者经过几轮尝试直接跳到正确的结果的。 让学生进行分析、评价；通过教师的引导，使学生能透过表面现象，关注思考过程的有序，有根据。使“根据尝试结果进行分析，做合理调整或直接发现规律”成为全体学生的共识和自觉行为。 通过刚才的学习，你对尝试有什么认识？ 三、再次尝试 1/8，分母分子加上一个相同的数，使它等于1/2。

27、这个相同的数是几？ 独立尝试，小组交流后汇报。 四、全课总结 这节课，你有哪些收获？ 五、作业 1.解决孙子算经中另一名题“有物不知其数”。 2.选作：有兴趣，上网查找关于鸡兔同笼的资料。这是一个中规中矩的教学预设，结构清晰，意图明显。这样的教学设计要上精彩是需要教师深厚的教学功力的，因为文字背后的东西太多，比如，怎样教才是让学生“切实体会：结果重要，方法和过程同样重要”，再比如，“独立尝试”和“再次尝试”从教学设计看应该是有类同结构的（所以后者笔墨很少），但这两次的教学差别何在？此刻，当我看这个教案并参照自己的听课记录都难以再现施老师的课堂教学过程，所以，此时若能将施老师的授课过程再看一遍就

28、好了。【二、细节】施老师的课中有一些很值得玩味的细节。课始，引入鸡兔同笼后后，教师问：“大家说说关于鸡兔同笼的情况。”生1：一个笼子有一些鸡一些兔，知道脚和头，问各有多少只鸡多少只兔。生2：可以用假设法算。师：课前调查，大家都知道这个问题了我们为什么还要学？生3：说不定今天施老师的方法更好。生4：要活学活用，答案是死的，方法是活的。生5：如果有多种方法来算，表明你对问题研究的更深。可见，学生已经知道此题，对“为什么还要学？”学生回答得真好：说不定可以获得更好的方法；说不定这堂课上会有方法的运用；说不定会涉及到多种算法。不过，学生对这个问题的定位也是偏重其思维或者说数学方法的价值的。学生这样的预

29、期可以说和教师的预设有差距，也正因此，施老师最后靠语言来“收”是很难让学生切实体会“结果重要，方法和过程同样重要”的这应该是学生在课堂总结阶段，我们力求让学生获得的体悟，把这个意图过早点出未必妥当。施老师这样的引入体现了把握学生起点的意识。我在听完学生的回答后，直接的想法是学生的已有基础已经这样高，教尝试法真有难度。在“独立尝试，全班交流”阶段，教师提出问题（12头，30腿）后，让学生独立列表尝试，之后搜集学生作品通过大屏幕加以展示，进行反馈。在这一阶段，到位的指导不是把所有反馈都呈现，而要先指导，把不典型的、个别明显错的通过巡视指导解决掉，呈现典型的、有思考价值的。不过，由于是听大课，笔者不

30、能在学生周围直接看反馈（我听课一般贴着学生坐），所以不知道展示的资源之外，学生呈现出哪些状态。从搜集展示的资源看，教师的几种预设都出来了，应该说，施老师原先的预设是贴合学生实际的。呈现的方法1：从1只鸡11只兔开始试。学生点评：这样试有序，不丢数，但11个兔不可能。当堂调查显示，用一一列举的学生近一般。呈现的方法2：折半尝试法。生1：看成每种都一样，6*2，6*4，一共36条腿，少一个兔子就少两条腿（师追问：“这样试好在哪里？”）生2：不用太麻烦，不浪费时间。生3：从中间开始试就知道数量的增减了。（知道调鸡还是调兔了）呈现的方法3：跳跃尝试生4：我从头开始试的（假设全是兔），试了三次，每次都是

31、腿减2。（该生算到中间即停，尝试的状态呈现出来了）呈现资源、加以反馈，是这堂课的核心环节。在具体的反馈上，仅仅呈现上述几种解法还不够，全课的转折点就出现在这个环节。其他细节：1教师引出极端量时，学生辨析：“用0不行吧，否则怎么叫鸡兔同笼呢？” 2教师出了一道巩固尝试法的题目：乐乐4岁，妈妈28岁，再过几年妈妈年龄是乐乐的4倍？什么时候妈妈年龄是乐乐的9倍？生1：一个一个试。生2：跳着试。（师追问：漏掉怎么办？生马上回答：再往后缩。）【三、重建】铺垫题：一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡和兔各可能有几只？请把你的思考写在纸上。设计意图：1.渗透有序思考；2.为后面的学习作铺垫；3渗透极端情况（鸡或兔是0只）；4.渗透用数学的方法记录思考过程。预设：学生记录鸡和兔各可能有几只会采用不同“形态”的方法，比如，将1、7，2、6，3、5竖着写成直观的两列；用小括号一组组地写；横着列一个两行的表等。教师呈现不同的记录方法，追问：大家比较一下，