圆锥曲线中的典型问题与方法圆锥曲线中的探究性存在性问题.docx

1、圆锥曲线中的典型问题与方法圆锥曲线中的探究性存在性问题圆锥曲线中的典型问题与处理方法数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件和结论不完备， 要求学生结合已有的条件进行观察、分析、 比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求， 特别是在解析几何第二问中经常考到 “是否存在这样的点” 的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。一、是否存在这样的常数例 1在平面直角坐标系xOy 中，经过点 (0， 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x2y21有2两个不同的交点 P和Q（I）求 k 的取值范围；（

2、II）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A， B ，是否存在常数 k ，使得向量OP OQ 与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线l的方程为 ykx2 ，代入椭圆方程得x2( kx2) 21整理得1k 2x222kx1 022直线 l 与椭圆有两个不同的交点P 和 Q等价于8k 241k 24k 220 ，2解得 k2 或 k2即 k 的取值范围为 ，22， 2222（）设 P(x1，y1 )，Q(x2，y2 ) ，则 OP OQ( x1x2，y1y2 ) ，由方程， x1x242k12k 2又 y1y2k ( x1x2 ) 2

3、2 而 A(2，0)， B(01，)，AB(21)， 所以 OPOQ 与 AB 共线等价于 x1 x22( y1 y2 ) ，将代入上式，解得 k22圆锥曲线中的典型问题与处理方法数学之家出品22 ，故没有符合题意的常数 k 由（）知 k或 k22练习 1：（ 08 陕西卷 20）（本小题满分12 分）已知抛物线 C ： y2x2 ，直线 y kx2交C 于 A，B两点， M 是线段 AB的中点，过 M作 x 轴的垂线交 C 于点 N （）证明：抛物线C 在点 N 处的切线与 AB 平行；（）是否存在实数k 使 NA NB 0，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由解 法 一 ：（ ） 如

4、图 ， 设 A( x1，2x12 ) ， B(x2，2x22 ) ， 把 yk x 2 代 入 y2x2 得2x2kx 20 ，由韦达定理得x1x2k， x x1 ，212xNxMx1x2k，kk2N 点的坐标为，yM2B 1A2448设抛物线在点N 处的切线 l 的方程为 yk 2m x k，84将 y 2x2 代入上式得 2x2mxmkk 20 ，48直线 l 与抛物线 C 相切，m2 8mkk 2m22mkk 2(mk) 20 ，48即 l AB （）假设存在实数k ，使 NA NB0，则 NANB ，又|MN | 1|AB|21 ( y1 y2 )1 (kx11 k( x1由（）知 y

5、M2 kx22)222N xO 1m k M 是 AB 的中点，x2 ) 41k 2k 224224MNx 轴， | MN | | yMyN | k 22k2k216 488又|AB|1 k2 | x1x2 |1 k 2( x1x2 )24x1x2圆锥曲线中的典型问题与处理方法数学之家出品k211 k 24(1)k21 k 2 16 22k2161k21k 216 ，解得 k2 84即存在 k2，使 NA NB0 解法二：（）如图，设A( x1，2x12 )， B( x2，2x22 ) ，把 ykx2 代入 y2x2 得2x2kx20 由韦达定理得x1x2k ， x1 x21 2xNxMx1x

6、2kN 点的坐标为kk2y2x2y 4x ，2，4，48kk ，l AB 抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 44（）假设存在实数k ，使 NA NB0 由（）知NAx1k ，2k2，x2k，2k2，则2x18NB42x284NA NBx1kx2k2k22k2442x182x28x1kx2k42k22k 244x116x216x1kx2k14x1kx2k4444x xk x xk 21 4x xk( x x)k 21241216121241 k k k21 4 ( 1) k k k 24216241k233k21641 ，1k 20 ，33 k 20 ，解得 k2 164圆锥曲线中的典型问

7、题与处理方法数学之家出品即存在 k2，使 NANB0练习 2.直线 ax -y = 1 与曲线 x2 -2y2 = 1相交于 P、 Q 两点。（ 1） 当 a 为何值时， PQ= 21+ a2 ；（ 2） 是否存在实数 a，使得以 PQ 为直径的圆经过原点 O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。y = 1ax -22?得(1- 2a ) x + 4ax-3= 0，解：（ 1）联立方程 2 y2?x2 -= 1?又知直线与曲线相交于P ,Q两点 ,可得622，即 a 0设 P、 Q 两点的坐标为 P(x1 , y1 ), Q (x2 , y2 )则 x1 + x2=4a, x1x232a2

8、 - 1=，2a2- 1所以 PQ=4(1+ a2 )(3 - 2a2 )= 21+ a2 ，(2a2 - 1)2化简得 (1- 2a2 ) 2 - (1- 2a2 ) - 2 = 0,解得 a = ? 1即为所求。（ 3） 假设存在实数a，使得以 PQ 为直径的圆经过原点O，则kOP .kOQ = -1,也就是 x1x 2+ y y1 =2 0, x x 1 + 2(ax - 1)1(ax - 1)2 = 0,2) x1 x2 -a(x1 + x2 ) + 1 = 0, 故有3(1+ a2 )4a22+1= 0整理得 (1+ a2a2+1- 2a- 1解得 a2 = - 2, a 纹 ,即不

9、存在实数 a.二、是否存在这样的点例2.（2009 全国卷）（本小题满分 12分）x2y21(a3C :bb 0)，过右焦点 F的直线 l 与 C 相交于 A 、 B已知椭圆a 22的离心率为 32两点，当 l 的斜率为1时，坐标原点 O 到 l 的距离为2（I）求 a ， b 的值；（II） C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F转到某一位置时，有OP OA OB 成立？若存在，求出所有的 P的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。圆锥曲线中的典型问题与处理方法数学之家出品解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用

10、向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 F c,0 ,当 l 的斜率为 1 时，其方程为 xyc0, O 到 l 的距离为00cc，故c2 ， c1，2222由 ec3，得 a3 ， ba2c 2 = 2a3（） C 上存在点 P ，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有OPOAOB 成立。由 （）知椭圆 C 的方程为 2x2+3y 2=6.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).( ) 当 l不垂直 x轴时，设 l的方程为 yk( x1)假设 C 上存在点 P，且有 OPOAOB成立，则点的坐标为（）Px1x2 , y1y2 ，2(

11、 x1x2 ) 23( y1y2 ) 26 ，整理得2x123y122x223y224x1 x2 6y1 y26又 A、 B在 C上，即 2x123y126,2 x223 y226故2x1 x23y1 y23 0将 yk( x1)代入2x 23y 26,并化简得(2 3k 2 ) x26k 2 x 3k 26 0于是 x1x26k 22 ,3k 26y1 y2k2( x11)( x22)4k 223kx1 x2 =2 ,223k23k，代入解得， k 22 ，此时 x1x232于是 y1y2k( x1x22) =k ， 即 P( 3 , k )222因此， 当 k2 时， P(3,2 ) ，

12、l 的方程为 2xy20；22当 k2时， P(3 ,2 ) ， l 的方程为 2xy20。22（）当 l 垂直于 x 轴时，由 OAOB(2,0) 知， C 上不存在点 P 使 OPOAOB 成立。圆锥曲线中的典型问题与处理方法数学之家出品综上， C 上存在点 P( 3 , 2 ) 使 OP OA OB 成立，此时 l 的方程为 2x y 2 0 .2 2例 3. （ 2009福建卷）（本小题满分 14分）x2y2已知直线 x 2 y 20经过椭圆 C :a2b21(a b 0)的左顶点A 和上顶点 D，椭圆 C 的右顶点为 B ，点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴10AS, BS 与直线l

13、 : xM,N两点。上方的动点，直线3 分别交于（ I ）求椭圆 C 的方程；（）求线段 MN 的长度的最小值；（）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ，使得 TSB的面积1为 5 ？若存在，确定点 T 的个数，若不存在，说明理由（I）由已知得，椭圆C 的左顶点为A(2,0), 上顶点为 D (0,1),a 2, b1故椭圆 C 的方程为 x2y 214（）直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 k0 ，故可设直线AS 的方程为 yk( x 2)，从而10 16 k)M (,33yk( x2)2222由得 (1 4k16kx16k40x2y2) x1416k2428k24k设 S( x1 , y1),则(2), x1得 x1， 从 而 y12即1 4k14k 214k 2S( 28k24k2 ,12 ),14k4ky1 ( x2)x101 0116k1又 B(2,0)由4k得3N (，,