圆锥曲线与轨迹方程求法.pptx

1、25 曲线与方程 1结合已学过的曲线及其方程的实例结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对了解曲线与方程的对应关系应关系，进一步感受数形结合的基本思想进一步感受数形结合的基本思想 2掌握掌握求求轨迹方程的方法轨迹方程的方法.1在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，如果某曲线如果某曲线C(看作满足某种看作满足某种条件的点的集合或轨迹条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x，y)0的的实数解建立了如下关系：实数解建立了如下关系：点在曲线上点在曲线上点的坐标满足方程即：点的坐标满足方程即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的曲线上的点的坐标都是这个方程的 ；(2

2、)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 此时此时，方程叫方程叫 ，曲线叫曲线叫 曲线的方程 方程的曲线 点 解 对定义的理解(1)定义中的第一条“曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x，y)0的解”，阐明了曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹纯粹性性)(2)定义中的第二条“以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”，阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完完备性备性)(3)定义的实质是平面曲线的点集M|P(M)和方程 F(x，y)0的解集(x，y)|F(x，y)0之间一一对应的关系(4)“曲线的方程”与“方程的曲线”是两个不同的概念

3、，在“曲线的方程”中，强调的是图形所满足的数量关系；而“方程的曲线”强调的是数量关系表示的图形 2如果曲线如果曲线C的方程是的方程是f(x，y)0，点点P的坐标是的坐标是(x0，y0)，则则(1)点点P在曲线在曲线C上上 ；(2)点点P不在曲线不在曲线C上上 用坐标法研究几何图形的知识用坐标法研究几何图形的知识，形成的学科叫做解析几何形成的学科叫做解析几何，研究的主要问题是：研究的主要问题是：1)根据已知条件根据已知条件，求出求出 ；2)通过曲线的方程通过曲线的方程，研究研究 3 椭圆椭圆x2a2y2b21上的每一点到焦点上的每一点到焦点F1(c，0)的距离与它到的距离与它到直线直线 的距离之

4、比等于常数的距离之比等于常数ca(离心率离心率e)f(x0，y0)0 f(x0，y0)0 表示曲线的方程 曲线的性质 xa2c 4任意给定常数任意给定常数e(e0)、点点F和直线和直线l(F l)，设动点设动点P到到F的距离和到的距离和到l的距离之比等于的距离之比等于e，则则P的轨迹的轨迹是是 F是这条圆锥曲线的是这条圆锥曲线的 ，l称为它称为它的的 当当 时时P的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆，当当 时是抛物线时是抛物线，当当 时是双曲线时是双曲线 5圆锥曲线的统一方程为圆锥曲线的统一方程为 ，当当e1时为时为 ；当；当0e1时表时表示示 圆锥曲线 焦点 准线 00，y0.答案 C 3“神舟六号”载

5、人航天飞船的运行轨道是以地“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面 n 千千米，远地点距地面米，远地点距地面 m 千米，地球半径为千米，地球半径为 R，那么这个，那么这个椭圆的焦距为椭圆的焦距为 _ 千米千米解析 设a、c分是的半和别椭圆长轴长半焦距，则acmR，acnR，则2cmn.答案 mn 问题二：求轨迹方程的一般方法有哪些步问题二：求轨迹方程的一般方法有哪些步骤？骤？(1)建立适当的坐标系建立适当的坐标系，用有序实数对用有序实数对(x，y)表示曲线上任意表示曲线上任意一点一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合

6、条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M)，列出方程列出方程f(x，y)0；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 在实际处理问题时在实际处理问题时，可以省略第可以省略第(5)步遇到某些点虽适合方步遇到某些点虽适合方程程，但不在曲线上时但不在曲线上时，可通过限制方程中可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔的取值范围予以剔除除 求曲线方程的方法(1)条件直译法(直接法)其基本思想：根据形成轨迹的几何条件和图形几何条件和图形性质性质，直

7、接写出所求动点坐标满足的关系，即题设中有明显的等量关系的，或可用平面几何知识推出等量关系的，可用直译法(2)定义法其基本思想：定义法求轨迹有两种类型，一是若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，则可根据曲线的定义直接写出轨迹方程；二是动点的轨迹与圆锥曲线有关，则可运用圆锥曲线定义求出动点的轨迹方程(3)相关点法相关点法（代入法）（代入法）其基本思想：如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运其基本思想：如果所求轨迹中的动点，随着另一动点的运动而运动，而另一动点又在某一条已知曲线动而运动，而另一动点又在某一条已知曲线 C：f(x，y

8、)0上运动此类问题常设法利用轨迹中的动点坐标上运动此类问题常设法利用轨迹中的动点坐标(x，y)，表示，表示已知曲线上的动点坐标已知曲线上的动点坐标(x1，y1)，再将它代入已知曲线，再将它代入已知曲线 C 的方的方程程 f(x，y)0 即可即可(4)参数法参数法其基本思想：有时很难直接找出动点的坐标满足的关系，其基本思想：有时很难直接找出动点的坐标满足的关系，可借助中间变量可借助中间变量参数，建立起动点坐标参数，建立起动点坐标 x、y 之间的联之间的联系，然后消去参数得到曲线方程使用参数法求轨迹方程的关系，然后消去参数得到曲线方程使用参数法求轨迹方程的关键是选择恰当的参数和如何消去参数解题的一

9、般步骤为：引键是选择恰当的参数和如何消去参数解题的一般步骤为：引入参数入参数建立参数方程建立参数方程消去参数，得到一个等价的普通消去参数，得到一个等价的普通方程方程1、设设A、B两点的两点的坐标分别是坐标分别是(1，0)、(1，0)，若若kMAkMB1，求动点求动点M的轨迹方程的轨迹方程 2、到直线、到直线 4x 3y 5 0 的距离为的距离为 1 的点的轨的点的轨迹方程为迹方程为 _ 解析 可点坐设动标为(x，y)，则|4x3y5|51，即|4x3y5|5.所求迹方程轨为4x3y100或4x3y0.答案 4x3y100或4x3y0 3、已知已知ABC的一边的一边AB的长为定值的长为定值4，边

10、边BC的中线的中线AD的长为定值的长为定值3，求顶点求顶点C的轨迹方程的轨迹方程 解 如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则B点坐标为(4，0)设C点坐标为(x，y)法一 D为BC边中点，D点坐标为x42，y2.又|AD|3，x422y229，化简得(x4)2y236，由于A、B、C不共线，故所求方程为(x4)2y236(y0)法二 如图作CBOD交x轴于B，D是BC中点，则OD为BCB的中位线，B点坐标为(4，0)且|BC|2|AD|6.故C在以B(4，0)为圆心，6为半径的圆上 其方程为(x4)2y236(y0)点评(1)直接法：根据件条、直接求点坐所足的寻动标满关系式

11、，或依据曲定直接确定曲型圆锥线义线类(2)求曲方程线时，如果有坐系没标，首先要建系，若有，只需点代入系式设关，再化简、形即可变 设 Q 是圆 x2+y2=4 上动点，另点 A（，0），线段 AQ 的垂直平分线 l 交半径 OQ 于点 P，当 Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程变式变式 A 在圆外？在圆外？小结与复习 例小结与复习 例 134、已知已知ABC的两顶点的两顶点A、B的坐标分别为的坐标分别为A(0，0)、B(6，0)，顶点顶点C在曲线在曲线yx23上运动上运动，求求ABC重心的重心的轨迹方程轨迹方程 解 设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x，y)，则由重心坐标公

12、式，得 x06x3，y00y3，x3x6，y3y.顶点C(x，y)在曲线yx23上，3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21，故所求轨迹方程为y3(x2)21.（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。方程），该法经常

13、与参数法并用。5、长度为长度为1的线段的线段AB在在x轴上移动轴上移动，点点P(0，1)与点与点A连成直线连成直线PA，点点Q(1，2)与点与点B连成直线连成直线QB，求直线求直线PA与与直线直线QB交点的轨迹方程交点的轨迹方程 5、长度为长度为1的线段的线段AB在在x轴上移动轴上移动，点点P(0，1)与点与点A连连成直线成直线PA，点点Q(1，2)与点与点B连成直线连成直线QB，求直线求直线PA与直线与直线QB交点的轨迹方程交点的轨迹方程 解 如图所示，设 PA 与 QB 的交点为 M(x，y)，A(a，0)，则 B(a1，0)由截距式方程，得 PA 的方程为xay11，即 xaya.由两点式方程，得 QB 的方程为y202x1a11，即2xay2a20.故点 M 的坐标是方程组xaya，2xay2a20的解，消去参数 a，得点 M 的轨迹方程为(2x)y2.星期三测（3）16、18小结小结