数理统计的基本概念与抽样分布.pptx

1、中南大学数学与统计学院第 1章 数理统计的基本概念与抽样分布数理统计的基本概念与抽样分布应用统计数理统计的基本概念与抽样分布数理统计的基本概念与抽样分布 例:某筋每天可以生某型筋钢厂产号钢10000根，筋每天需要生程行控制，钢厂对产过进对产品的量行。如果把筋的强度作筋质进检验钢为钢量的重有指，于是量管理人需要做如下质标质员方面的工作 第一，生出的筋的强度行，对产来钢进检测获得必要的据。数 第二，通抽取的部分据行整理、对过样获数进分析推出并断这 10000根筋的量是否合乎要钢质求。1.2 总体、个体、样本总体、个体、样本 1.2.1 总体与个体 我们把所研究对象的全体称为总体或母体。组成总体的每

2、个单元称为个体 总体 X 可看作一个随机变量,称 X 的概率分布为总体分布，称 X 的数字特征为总体的数字特征,对总体进行研究就是对总体的分布或对总体的数字特征进行研究.1.2.2 样本 从总体中抽取的一部分个体称为样本或者子样，其中所含个体的个数称为样本容量.样本具有二重性：随机性和确定性 定义定义 1.1 设总体 X 的样本满足 独立性：每次观测结果既不影响其它结果，也不受其它结果的影响；即相互独立；代表性：样本中每一个个体都与总体 X 有相同分布。则称此样本为简单随机样本。进行有放回抽样就是简单随机样本,无放回抽样就不是简单随机样本。但 N 很大，n 相对较小时无放回抽样得到的样本可以近

3、似看作简单随机样本.称样本的分布为样本分布。如果 为简单随机样本，为总体 X 的分布函数，则样本分布有比较简单的形式。),.,(1nXX)(xF 它完全由总体 X 的分布函数确定),(),221121nnnxXxXxXPxxxF（1122()()()nnP Xx P XxP Xx=LninixFxXP)(1 1)(11 如果总体中服从均匀分布则()00()01nnnxxFxxxqqq(1)00()()101nnxxFxxxqqqq 其分布密度为其它00)(1)(xnxxfnnn其它00)()(1)1(xxnxfnn充分统计量例：某厂要了解其产品的不合格率 p，检验员检查了 10 件产品，检查结

4、果是，除前二件是不合格品（记为 ）外，其它都是合格品（记为 ）。当厂长问及检查结果时检验员可作如下两种回答：(1)10 件中有两件不合格；(2)前两件不合格。这两种回答反映了检验员对样本的两种不同的加工方法。其所用的统计量分别为1,121XXniXi,4,3,0 显然，第二种回答是不能令人满意的，因为统计量不包含样本中有关 p 的全部信息。而第一种回答是综合了样本中有关 p 的全部信息。因为样本 提供了两种信息：(1)10 次检验中不合格品出现了几次；(2)不合格品出现在哪几次试验上。1011;IiXT212XXT),(1021XXX 第二种信息（试验编号信息）对了解不合格品率 p 是没有什么

5、帮助的.充分统计量就是能把含在样本中有关总体或者参数的信息一点都不损失地提取出来。或者说充分统计量包含了有关总体或有关参数的全部信息.考虑样本 的分布),(1021XXX111122101010101111010(,)()(1)(1)(1)iiiixxiiiixxTTP Xx XxXxP Xxpppppp-=-=-邋=-=-照L 由于 且 是服从二项分布故11112210101110101111010(,)()(1)(1)(1)iiiixxiiiixxttP Xx XxXxTtP Xxpppppp-=-=-邋=-=-照L1T111101110()(1)tttP TtC pp-=-它与 无关p1

6、11111111112210101110101010101010(,|)(1)/(1)(1)/(1)1iixxtttttttttP Xx XxXxTtppC ppppC ppC-=邋-=-=L定义 1.3 设总体 X 的分布为一个含未知参数的分布族 ，是 X 的一个样本。是一个统计量,对给定的 t，样本 在的条件 下的条件分布与参数 无关，则称统计量 T 是参数 的充分统计量。:FtT),.,(1nXX),.,(1nXX),.,(1nXXTT 上例的一般情况是 设 是来自 0-1分布 的一个简单随机样本，其中 ，则 是 参数的充分统计量。xxxXP1)1()(1,0 x01qqniiXT1),

7、.,(1nXX由定义可得定理 1.1 设 是参数 的充分统计量，是单值可逆函数，则 也是参数 的充分统计量。)(ts)(Ts),.,(1nXXTT当总体为连续型总体时，充分统计量要用条件分布密度来描述。奈曼（J.Neyman）和哈尔斯（P.R.Halmos）在 20 世纪 40 年代提出并严格证明了一个判别充分统计量的方法：因子分解定理。定理 1.2（因子分解定理）设样本的联合分布为一个含未知参数的分布族 ,则 是一个充分统计量当且仅当存在这样的两个函数：(1)与 无关的非负函数 ；(2)与 有关，且仅与统计量 T 的值有关的非负函数 使得 其中 在离散总体的情况下表示样本的分布列，在连续总体

8、的情况下表示样本的分布密度。),.,(1nXXTT:),.,(1nxxf),.,(1nXXh),.,(1nxxTg),.,(),.,(),.,(111nnnxxTgxxhxxf),.,(1nxxf例 设 是来自 分布,即它的分布密度为 的一个简单随机样本，其中 则 分别是参数 的充分统计量),(21nXXX),(2N221()2,1()2xfxemsm sps-=,0 xs-+,0ms-+21211,()nniiiiTX TXX=-邋2,m s解:样本 的联合分布密度为如果令由因子分解定理知 是 的充分统计量。),(21nXXX222221222,()(,)(2)exp()22nnTn Xfx

9、 xxm smpsss-=-L1),(21nxxxh12(,)ng T x xxqL222222()(2)exp()22nTn Xmpsss-=-),(21TT),(2例 设总体 X 的分布密度为 是 X 的一个简单随机样本，试证明最小顺序统计量 的充分统计量。),(21nXXX2);(xxfx0(1)Xq是证:样本 的联合分布密度为如果令由因子分解定理知 是 的充分统计量。12(,)nXXXL1212212(,),0,()nnnnfx xxx xxx xxqqq=+LLL122121(,)(,)nnh x xxx xx=LL12(,)ng T x xxqL(1),0nxqq=2021)2()

10、2(xxtedtexXPxXP0 x,0,00,21)(2xxexfx2 Xl)2(22X假定子样是简单随机子样,则且它们之间相互独立，故有22(2)iXlc2122(2)niin XXnllc=t 分布分布构造性的方式定义定义 1.6 设，且 X 与 Y 相互独立，记 则也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度为 n 的 t 分布，记为)1,0(NX)(2nYnYXT)(ntT它的密度函数为与参数 n 有关，不同的 n 其图形也有差异1221()2()(1),()2nnxf xxnnnp+-+G=+-()0,()2nTD TnE=+（）可以证明这是标准正态分布的分布密度，即当 n 充分大时

11、，T 近似服从标准正态分布 221lim()2xnf xep-=分布分布构造性的方式定义定义 1.设，且 X 与 Y 相互独立，记 则也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度为(m,n)的 F 分布，记为 2()Xmc)(2nYX mFY n=(,)FF m n它的密度函数为它与 m,n 有关，其图形也有一定差异0,00,)1()()2()2()2()(2122xxxnmxnmnmnmxfnmmm容易得到若，则),(nmFF1(,)F n mF例设试证明：证明：由 t 分布的构造性定义知，存在相互独立的变量和，使得于是，仍相互独立，由分布的定义知结论成立(),Tt n2(1,)TFnnYXT

12、2221XXTY nY n=2XY与 分位数：定义 1.6 设 X 为连续型随机变量，其密度函数为，对，如果存在数 满足 则称为此分布的分位数分位数的几何意义 可用图形表示，它的值可查表得到，不同的分布有不同的分位数，有不同的表可查)(xf10 xdxxfxXP)()(xa-x常见的分位数有它们的值可以通过附表 1、附表 2、附表 3、附表 4 查得 2,(),(),(,)Zn tn F m naaaac分位数具有性质(1)(2)(3)当 n 足够大时（一般 n 45）有近似公式)()(,11ntntZZ),(1),(1mnFnmF2(),2tnZnnZaaaac+换例:查表求下列分位数的值0

13、.050.9752220.050.990.050.050.990.050.050.99,(10),(10),(50)(10),(10),(100)(9,10),(9,10),ZZtttFFccc 抽样分布定理 定理 1.1 设总体 ，为 X 的一个简单随机样本，为样本均值与样本方差，则有：(1)(2),(2NX12(,)nXXXL2,SX),(2nNX);1()1(222nsn (3)相互独立；(4)2XS与)1(ntnSX定理 1.2 设有两个总体与，从两个总体与中分别独立抽取容量为 m，n 的简单样本，记为样本的样本均值与方差，为样本的样本均值与方差，则（）),(211NX),(222NY),(21mXXX),(21nYYY2,XSX),(21mXXX),(21nYYY2,YSY)1,0()()(222121NnmYX例 1.8 设总体，分别从 X 中抽取容量为 10 与 15 的两个独立样本，求它们的均值之差的绝对值大于 0.3 的概率)3,20(NX例 1.设总体，是从总体中抽取的简单随机样本，选取常数 c,d使得并求出 n.(0,1)XN),(521XXX)()()(22542321nXXdXXXc中南大学数学与统计学院中南大学数学与统计学院Thank You!