数学实验报告利用MALTAB进行回归分析.docx

1、数学实验报告利用MALTAB进行回归分析实验十 回归分析一、影院收入问题描述 调查电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响,得到数据,建立回归模型并进行检验,诊断异常点的存在并进行处理.简要分析本题属于多元回归分析,题目要求建立模型并进行检验。由于对于广告相关的知识不够了解，这里分别使用线性和多项式模型进行求解。建立模型见下节。 结果与分析首先画出三维散点图像，通过旋转观察趋势。可以大致看出，电影院收入与广告费的投入正相关。分别画出y与x1，y与x2的散点图。可以大概看出电视广告费用与电影院收入的正相关趋势，但是并不明显。可以看出报纸广告费用与电影院收入有着更好的正相关趋势。1、多元线性回归

2、 y = 0 + 1*x1 + *x2 y表示电影院收入，x1表示电视广告费，x2表示报纸广告费。 使用regress命令进行回归分析，得得到如下结果：b = 8.321160927008884e+001 1.298462204894947e+0002.337159771857618e+000即y = 83.2111.298x12.337x2bint = 7.880577047978311e+001 8.761744806039458e+001 4.007003329151720e-001 2.196224076874721e+000 1.485971104375634e+000 3.1883

3、48439339602e+000s =9.088948325450431e-001 2.494081449865064e+001 2.505287241894694e-0034.896902750703929e-001验证模型的有效性：(1)1、2的置信区间不含零点，说明有效；(2)R2约为0.91，说明有效性较好；(3) 1、2置信区间较大，说明有效性还不够好作出残差的置信区间图：可以看出第一个点的置信区间不包含零点，认为这个数据异常，将其取出再次计算。b = 8.148805113915761e+001 1.287657761022766e+000 2.976561219472206e+0

4、00bint = 7.878780950561033e+001 8.418829277270488e+001 7.963530683768555e-001 1.778962453668677e+000 2.328093878103018e+000 3.625028560841394e+000s = 9.768476263597862e-001 8.438423131380992e+001 5.360324051760790e-004 1.256843140468749e-001可以看出R2约为0.9768，较上次拟合有所提高，且1、2的置信区间有所减小，说明回归更加精确。2、多项式回归 建立模

5、型： y = 0 + 1*x1 + 2*x2 + 3*x12 + 4*x1*x2 + 5*x22 将之前剔除的离群点加入，进行回归分析得到：beta = 8.541353344890301e+001 -3.082142133837331e+000 3.886856973036645e+000 9.339761147729149e-001 2.830411521743378e-001 -4.748877056161781e-001剩余标准差s = 0.141484073634674剩余方差s2 = .020*可以看出剩余方差比之前两次回归分析得到的结果都小，说明模型更加准确。3、小结 从上面的实

6、验可以看出，使用二次回归模型更好地符合原问题，其实这是一个自然的结果，毕竟后者包含了前者的任意可能结果。不过此问题中线性规划已经取得了较好的结果，因此解决实际问题时不必使用二次回归模型。此外，在进行线性回归时，进行检验并剔除离群点会使拟合的精确度有很好的提高。程序清单1、线性模型clear;clc;y = 96 90 95 92 95 95 94 94;x1 = 1.5 2 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5;x2 = 5 2 4 2.5 3 3.5 2.5 3;plot3(x1,x2,y,b*);grid on;X=ones(length(x1),1),x1,x2;b,bint,

7、r,rint,s=regress(y,X);bbintsrcoplot(r,rint);2、二次回归clear;clc;y = 96 90 95 92 95 95 94 94;x1 = 1.5 2 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5;x2 = 5 2 4 2.5 3 3.5 2.5 3;X=x1,x2;rstool(X,y);rcoplot(r,rint);二、供货问题描述汽车销售商认为汽车销售量与汽油价格、贷款利率有关，给出两种类型汽车（普通型和豪华型）18个月的调查资料。(1)对普通型和豪华型汽车分别建立如下模型：给出的估计值和置信区间，决定系数，F值和剩余方差(2)用表示汽车

8、类型，建立统一模型：给出的估计值和置信区间，决定系数，F值和剩余方差等，以代入统一模型，将结果与（1）的两个模型的结果比较，解释两者的区别。(3)对统一模型就每种类型汽车分别作和与残差的散点图，有什么现象，说明模型有何缺陷(4)对统一模型增加二次项和交互项，考察结果有什么改进方法与模型 本题设计了多元线性回归以及残差分析、交互项等内容，具体方法和模型根据每一问的不同需要不断调整，具体内容见下一节。结果与分析1、线性回归首先画出y1与x1、x2，y2与x1、x2的三维图像。y1与x1、x2的图像： y2与x1、x2之间的关系：通过旋转观察到y1,y2都与x1,x2呈负相关。回归分析b1 = 9.

9、018136585730871e+001 -2.765882870806992e+001 -3.228346793716312e+000bint1 = 4.619708337901787e+001 1.341656483355995e+002 -5.455423361469730e+001 -7.634238014425385e-001 -4.274746088507830e+000 -2.181947498924794e+000s1 = 8.592850200702558e-001 4.579922943345883e+001 4.097816417303335e-007 2.0790961

10、40790696e+001b2 = 2.454705987370377e+001 -4.628453215108327e+000 -1.436031403352730e+000bint2 = 5.920074457824068e+000 4.317404528958348e+001 -1.601843815341429e+001 6.761531723197638e+000 -1.879172982685953e+000 -9.928898240195071e-001s2 = 8.402466171357945e-001 3.944736265068755e+001 1.06139118172

11、2549e-006 3.728762291889717e+000剔除离群点。得到：b1 = 1.075600951891631e+002 -3.792826917377474e+001 -3.031449173959885e+000bint1 = 7.531595365638566e+001 1.398042367219405e+002 -5.728422527544678e+001 -1.857231307210270e+001 -3.786243040717162e+000 -2.276655307202609e+000s1 = 9.333894507514000e-001 8.40758

12、2233869817e+001（F值） 8.734903034213204e-008 9.274571632833800e+000（剩余方差） b2 = 2.760195269937935e+001 -5.639268684072110e+000 -1.640688086715026e+000bint2 = 1.246313058112947e+001 4.274077481762922e+001 -1.488643040689478e+001 3.607893038750556e+000 -2.017510184513368e+000 -1.263865988916683e+000s2 =

13、9.219330114047505e-001 7.676182573405352e+001（F值）6.324675894120446e-008 2.028000209115517e+000（剩余方差）发现豪华车再次出现了离群点，这里不再剔除。2、统一模型修改X与Y，再次进行线性回归，得到结果如下：b = 6.457532397661750e+001 -1.614364096158921e+001 -2.332189098534525e+000 -1.442222222222222e+001 bint = 3.350074910681844e+001 9.564989884641656e+001

14、 -3.511933082065837e+001 2.832048897479957e+000 -3.070461995174191e+000 -1.593916201894859e+000 -1.765462575436173e+001 -1.118981869008271e+001 s =8.365956706337623e-001 5.461108153031960e+001 1.097566482144430e-012 2.266418048309717e+001发现了一个离群点这正是第一次回归时被剔除掉的那个。剔除掉再次进行计算，得到：b = 6.341072839681682e+0

15、01 -1.659325189834989e+001 -2.135885477561918e+000 -1.358235294117647e+001bint = 3.524089285479072e+001 9.158056393884291e+001 -3.379362808091857e+001 6.071242842187772e-001 -2.839717864163267e+000 -1.432053090960568e+000 -1.659600504370442e+001 -1.056870083864853e+001s = 8.435448032958891e-001 5.39

16、1606166276522e+001 3.408162640994306e-012 1.850878014942691e+001发现出现了两个离群点，但是考虑到他们离0较近，这里不再进行剔除。将得到的解化为(1)所设模型，对比如下：普通轿车豪华轿车分立模型统一模型分立模型统一模型0107.560095264.5753239827.601952750.153101751-37.92826917-16.14364096-5.639268684-16.143640962-3.031449174-2.332189099-1.640688087-2.332189099s29.27457163318.50

17、8780152.02800020918.50878015R20.9333894510.8435448030.9219330110.843544803可以看出，统一模型相当于将分立模型进行了统一：(1)统一模型的值趋近于给分立模型的“平均”；(2)统一模型的残差较大；(3)统一模型的决定系数较小；(4)统一模型的拒绝概率较小，到达了10的-12次方量级，说明模型更加有效；总体上讲，将两者统一后进行回归分析的结果有其优点，但是仍有许多不理想的成分。3、作残差图 普通轿车：豪华轿车：通过旋转，从图中可以看出，普通轿车的残差随着x1，x2的增加呈上升趋势，但豪华轿车的残差随x1，x2的增加呈下降趋势。

18、这是由于统一模型中x3的加入使得豪华轿车的y被直接抬高，导致了上述现象的出现。4、二次项和交互项(1)增加交互项，改用模型： 进行回归分析，得到： b = 1.411004377798469e+002 -5.743679205516632e+001 -1.258749562223860e+001 -6.563430598360479e+001 5.385499412767738e+000 1.792315390363587e+000 2.303037549296149e+001bint = 3.956253638526088e+001 2.426383391744329e+002 -1.170

19、970384200000e+002 2.223454309667375e+000 -3.029675426655443e+001 5.121763022077229e+000 -1.113383183433449e+002 -1.993029362386467e+001 -4.795263719990420e+000 1.556626254552590e+001 7.050032050169353e-001 2.879627575710239e+000 -4.916605769707012e+000 5.097735675562998e+001s = 9.203481760174530e-00

20、1 5.584742815672848e+001 1.276756478318930e-014 1.219057432979783e+001 发现R2、F和s2都有所改善，模型有效的概率也有所提高，但是x1，x2的置信区间都包含0，这应当是由于引入交互项x1x3和x2x3导致的。(2) 增加平方项，改用模型： 这里不增加x32是因为它和x3一样。 进行回归分析得到： b = -1.409670663904353e+002 2.173993993877811e+002 -6.002174836053398e+000 -1.442222222222222e+001 -6.2601809579969

21、29e+001 2.624522441422313e-001bint = -7.414504337579853e+002 4.595163009771146e+002 -4.561560206777966e+002 8.909548194533589e+002 -9.462597484034534e+000 -2.541752188072262e+000 -1.751423975213172e+001 -1.133020469231273e+001 -2.499892034078656e+002 1.247855842479270e+002 6.155502957082115e-003 5.1

22、87489853273806e-001s = 8.605579177461341e-001 3.702861735151443e+001 5.850209205959800e-012 2.062999126251862e+001 画出残差与各个变量之间的关系，发现分配比较均匀，但是置信区间仍存在包含0点现象，且R2、s2较上个模型有所增加，模型有效的概率略有降低。3、综合 通过对比各个模型，最后得出如下两个综合模型： 模型一： 通过回归分析得到：b = 6.632561316046274e+001 -7.521817398399753e+000 -7.055755884551737e+000

23、-2.829747956923546e+001 2.285037806461467e+000 2.705540937203730e-001bint = 4.500538106854981e+001 8.764584525237567e+001 -2.149970782515665e+001 6.456073028357144e+000 -9.515642732306020e+000 -4.595869036797455e+000 -3.378071979662776e+001 -2.281423934184316e+001 1.455970842770991e+000 3.1141047701

24、51943e+000 9.124210847449554e-002 4.498660789662505e-001s = 9.311296542416800e-001 8.112022473439008e+001 1.110223024625157e-016 1.018913808712425e+001 可以看到决定系数约为0.931，残差约为10.2，拒绝模型的概率达到了10的-16次方数量级，且各个参量的置信区间中仅x1包含零点，可以认为是较好的模型。 模型二： 回归分析得到：b = 8.499402636764765e+001 -1.903700514488066e+001 -6.8093

25、94676502798e+000 -6.563430598360529e+001 2.303037549296181e+001 1.792315390363582e+000 2.705540937203732e-001bint = 5.650498703443166e+001 1.134830657008636e+002 -3.718757380970865e+001 -8.864364800526623e-001 -9.183244425312040e+000 -4.435544927693555e+000 -1.056531023108610e+002 -2.561550965634957

26、e+001 -1.440223331257528e+000 4.750097431718115e+001 8.402562024954153e-001 2.744374578231748e+000 9.856901480460173e-002 4.425391726361446e-001s =9.389318009906731e-001 7.431315226377969e+001 3.330669073875470e-016 9.346382568379193e+000这个模型与书后答案所给模型一致。与之前一种相比，它有着更好的决定系数、更小的残差以及剩余方差，但是模型的有效性略低于前一种。

27、不过系数的置信区间中也出现了包含0的情况。 总体上讲第二个模型应当有一点略微的优势。程序清单1、观察clear;clc;x1=1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.76,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.61,1.64,1.67,1.68;x2=6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6,3.1,1.8,2.3;y1=22.1,15.4,11.7,10.3,11.4,7.5,13,12.8,14.6,18.9,19.3,30.1,28.2,25.6,

28、37.5,36.1,39.8,44.3;y2=7.2,5.4,7.6,2.5,2.4,1.7,4.3,3.7,3.9,7.0,6.8,10.1,9.4,7.9,14.1,14.5,14.9,15.6; figure;plot3(x1,x2,y1,b*);grid on;figure;plot3(x1,x2,y2,b*);grid on;2、分立模型X=ones(length(x1),1),x1,x2;b1,bint1,r1,rint1,s1=regress(y1,X);b1,bint1,s1figure;rcoplot(r1,rint1);pause; b2,bint2,r2,rint2,s2

29、=regress(y2,X);b2,bint2,s2figure;rcoplot(r2,rint2);3、统一模型x3 = zeros(1,length(x1),ones(1,length(x2);y1=22.1,15.4,11.7,10.3,11.4,7.5,13,12.8,14.6,18.9,19.3,30.1,28.2,25.6,37.5,36.1,39.8,44.3;y2=7.2,5.4,7.6,2.5,2.4,1.7,4.3,3.7,3.9,7.0,6.8,10.1,9.4,7.9,14.1,14.5,14.9,15.6; X=ones(length(x1)+length(x2),1),x1,x1,x2,x2,x3;Y = y1,y2;b,bint,r,rint,s=regress(Y,X);b,bint,sfigure;rcoplot(r,rint);4、观察残差X=ones(length(x1)+length(x2),1),x1,x1,x2,x2,x3;Y = y1,y2;b,bint,r,rint,s=regress(Y,X); plot3(x1,x2,r(1:18,:),*);grid on;pause;plot3(x1