二次函数压轴题专题分类训练.docx

1、二次函数压轴题专题分类训练中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线极点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB ；xCOyABD11图2（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是不是存在一点P，使SPABSCAB，假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由.【变式练习】1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，取得线段OB（1）求点B的坐标；（2）求通过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的

2、对称轴上是不是存在点C，使BOC的周长最小？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由（4）若是点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是不是有最大面积？假设有，求出现在P点的坐标及PAB的最大面积；假设没有，请说明理由AxyBO2.如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点别离为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，极点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴别离交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出极点D的坐标；CEDGAxyOBF（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）假设点K在x轴

3、上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积3如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c通过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是不是存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？若是存在，请求出点E的坐标；若是不存在，请说明理由题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线通过A（1，0）、C（0，3）两点，与x轴交于另一点B（1）求

4、这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求现在点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标E【变式练习】1如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）假设直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在

5、点B的左侧)，与y轴交于点C，其极点为M,假设直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COSBCO。（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是不是存在异于点C的点P，使以N、P、C为极点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？假设存在，求出点P的坐标：假设不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.假设将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，那么抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?3. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x1）的图象交于点A（1，k）和点B（1，k）（1）当k=2时，求反比例函

6、数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应知足的条件和x的取值范围；（3）设二次函数的图象的极点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值4.如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，什么缘故？（3）是不是存在如此的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，假设存在，求出b；假设不存在，说明理由. 第26题图（1）图（2）题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线（a0）与轴交于点A(1，0)和点B (3，

7、0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是不是存在一点Q使得ACQ为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是不是存在点P，使CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由【变式练习】1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），抛物线通过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）别离是方程x22x3=0的两根（1）求抛物线的解析式；（2）假设点P为线段OB上的一个动点（不与点

8、O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右边），连接OD、BD当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出现在点D的坐标2.如图，抛物线通过的三个极点，已知轴，点在轴上，点C在轴上，且AC=BC（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探讨：假设点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是不是存在是等腰三角形假设存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由ACByx0113已知抛物线极点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为

9、底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明现在PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是不是总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，假设存在请求出t值，假设不存在请说明理由.题型四：构造相似三角形【例4】如图，已知抛物线通过A（2，0），B（3，3）及原点O，极点为C（1）求抛物线的解析式；（2）假设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为极点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是不是存在点P，使得以P、M、A为极点的三角形BOC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由【变式练习】1.如图

10、，已知抛物线通过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得DCA的面积最大？假设存在，求出点D的坐标及DCA面积的最大值；假设不存在，请说明理由（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是不是存在P点，使得以A、P、M为极点的三角形与OAC相似？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由2. 如图，二次函数的图象通过点D(0，)，且极点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小

11、，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是不是存在点Q，使QAB与ABC相似？若是存在，求出点Q的坐标；若是不存在，请说明理由【例5】如图，已知抛物线y=x2 - (b+1)x+（b是实数且b2）与x轴的正半轴别离交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作

12、相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【变式练习】(图7)11xyAO1.如图，平面直角坐标系中，已知点A（2，3），线段垂直于轴，垂足为，将线段绕点A逆时针方向旋转90，点B落在点处，直线与轴的交于点（1）试求出点D的坐标；（2）试求通过、三点的抛物线的表达式，并写出其极点E的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点，使得以点、为极点的三角形与ACD相似2已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P，xyO11（1）求抛物线的表达式；（2）求POC的正切值；（

13、3）点M在x轴上，且ABM与APD相似，求点M的坐标。3如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0），B（2，0），交y轴于C（0，2），过A，C画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H假设M在y轴右边，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；假设M的半径为，求点M的坐标题型五：构造梯形【例6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D（1）求点D的坐标；（2）抛物线通过点A、D、O，求此抛物

14、线的表达式；（3）在那个抛物线上是不是存在点M，使O、D、A、M为极点的四边形是梯形？假设存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由【变式练习】1.已知平面直角坐标系xOy中， 抛物线yax2(a1)x与直线ykx的一个公共点为A(4，8) （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）假设点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的极点为M，点N在此抛物线上，假设四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积2.已知二次函数的图象通过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设极点为点P，与

15、x轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及极点P的坐标；（2）如图1，在直线 y2x上是不是存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，取得P1MN 在动点M的运动进程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部份的面积为S，运动时刻为t秒，求S关于t的函数关系式 3.如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上

16、的一点M（0，m）作y轴的垂线，假设该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是不是存在点D，使以A、B、C、D为极点的四边形为直角梯形？假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由题型六：构造平行四边形【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线通过A（1，0），B（3，0），C（0，1）三点。（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为极点的四边形是平行四边形，求所有知足条件的点P的坐标。 【变式练习】1如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C以直线x=1为对

17、称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）通过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右边抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是不是存在如此的点E，使得以A，C，E，F为极点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；假设不存在，请说明理由；（3）假设P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探讨是不是为定值，并写出探讨进程2.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线通过A(4,0)、B(0,4

18、)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）假设点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）假设点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判定有几个位置能使以点P、Q、B、O为极点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，3）点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行直线y=x+m过点C，交y轴于D点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线C

19、D交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为极点的四边形是平行四边形，求点N的坐标【例8】已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像通过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求那个二次函数的解析式；（3）若是点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标【变式练习】1.将抛物线c1：沿x轴翻折，取得抛物线c2，如图1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛

20、物线c1向左平移m个单位长度，平移后取得新抛物线的极点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后取得新抛物线的极点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移进程中，是不是存在以点A、N、E、M为极点的四边形是矩形的情形？假设存在，请求出现在m的值；假设不存在，请说明理由题型七：线段最值问题【例9】如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及极点D的坐标；（2）判定ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时

21、，求m的值【变式练习】1. 如图，已知抛物线yax 2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴别离交于B(1，0)、C(5，0)两点（1）求此抛物线的解析式；（2）假设一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A求使点P运动的总途径最短的点E、点F的坐标，并求出那个最短总途径的长OyxABC2. 如图13，抛物线y=ax2bxc(a0)的极点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，假设直线PQ

22、为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，那么x轴上是不是存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.假设存在，求出那个最小值及G、H的坐标；假设不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是不是存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，假设存在，求出点T的坐标；假设不存在，说明理由.【能力提升】1. 已知,如图11,二次函数图象的极点为,与轴交于、两点(在点右边),点、关于直线:对称.（1）求、两点坐标,并证明点在直线上;（2）求二次函数解析式;（3）过点作直线交直线于点,、别离为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小

23、值.图11备用图2.如图在直角坐标系中，已知点A(01)，B(4)将点B绕点A顺时针方向旋转90取得点C，极点在座标原点的抛物线通过点B(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；(2) 抛物线上一动点P设点P到x轴的距离为，点P到点A的距离为，试说明；(3) 在(2)的条件下，请探讨当点P位于何处时PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值。【例10】如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。【变式练习】1如下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD=90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标别离是A（1，0），B（l，2），D（3，0）连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON假设抛物线y=ax2+bx+c通过点D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是不是存在点P，使得PA=PC？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QEQC|最大？并求出最大值