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1、1绪言预备知识绪言（课程介绍）什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。数理逻辑研究什么？逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。逻辑研究这样的可推理关系。即，前提和结论之间的推理关系是否正确。演绎推理-演绎逻辑。它不同于归纳逻辑。归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。数理逻辑属于演绎逻辑范围。只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。例1. 前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。 7不被自身整除。 结论：7不是素数。例2. 前提：所有中学生打网

2、球。 王君不打网球。 结论：王君不是中学生。命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。如：前提：集合S中的所有元素具有R性质。 a不具有R性质。结论：a不是S中元素。命题的陈述需要语言。元语言：描述对象的所用的最基本语言。 如：自然语言（汉语）。对象语言：描述“对象所用元语言”的语言。如：形式语言（符号语言）。自然语言中语言上的相似并不保证逻辑形式上的相同。例1：X认识Y。（前提） Y是足球队长。（前提） X认识足球队长。（结论）例2：X认识A班某学生。（前提） A班某学生是足球队长。（前提） X认识足球队长。（结论）近代数理逻辑思想： Leibn

3、iz力图建立一种精确的、普适的科学语言作为形式语言。直到1879年，Frege才建立了这样的语言。近代数理逻辑介绍的就是这种形式语言。所以，数理逻辑史从1879年算起。在数理逻辑中要构造一种符号语言来代替自然语言，这种人工构造的符号语言称为形式语言。 对象的描述和对象间的推理关系全部用形式语言表示。数理逻辑研究的主要内容：（1）引入一个形式语言，以表示非结构化对象。并且要求表示公式的语言是递归生成的。（2）引入一套形式化推理规则， 基于这些规则进行符号化演算。引入形式证明的一般形式。()（3）引入一套解释系统-语义(映射)函数，赋予形式符号在给定环境下的具体含义。（4）基于语义模型，引入逻辑推

4、理概念。()（5）研究形式推理与逻辑推理之间的关系。（可靠性和完备性）。形式推理系统的可靠性：。形式推理系统的完备性：。一般，逻辑中的语言和推理是某类智能推理的抽象，语言解决表示问题(即，数据结构问题)。从某种意义上讲，应该是先有具体实例，想找一种一般描述，这就产生了形式语言和形式推理。实例数据对形式符号给出一种解释(或赋值)。两者之间的映射关系形成一个解释系统。实例数据与形式符号有解释(或赋值)和被解释(或赋值)之分。如：a:=0. 可以理解为：将数字0赋给符号a. 也可理解为：a被解释为0. 其中，a是抽象的，而0是具体的。为什么会有各种逻辑？ 由逻辑研究内容，我们可以观察下表： 语法 语

5、义形式语言(表达方式和能力)解释系统语义(映谢)函数形式推理： 逻辑推理： 可靠性： 完备性： 在表中，形式语言、解释系统、推理规则是可变的。 (1) 当形式语言的表达能力不够用时，新的语言就会出现。 (2) 不同规则系统的引入，直接关系到形式推理的能力说、有效性、以及单调性等。 (3) 不同的解释系统，给出不同的语义模型。 思考题：1、逻辑研究的主要内容。2、为什么会有各种逻辑？第一章 预备知识集合：某些对象全体。集合表述方式： 内涵：元素具有的性质P。 外延：所含元素的全体。自然数集合N上的二元关系 （作为集合）：（内涵）mn: 存在不为0的自然数x,使得m+x=n。（外延）（0，1），（

6、0，2），二元关系的性质：自反，对称，等价，。集合等势： 可数无限集：与自然数集等势的集合。可数集：有限集或可数无限集。定理：（1）可数集的子集仍然可数。（2）有限个可数集的并仍为可数集。（3）可数个可数集的并仍为可数集。自然数集合N的归纳定义：（1）.（2）如果，则（后继）。（3）N只含通过（1）（2）有限次使用得到的数。等价定义：自然数集合N是满足如下条件的最小集合S（1）。（2）如果，则（后继）。设R是一个性质，表示x具有性质R。定理1（数学归纳法）如果（1）。（2）对于任意的，如果则。则对于任意的有。设h,g为两个N上的己知函数。递归定义N上一个函数f如下： (1).(2).定理2（递归原理）对于给定的函数g和h，能唯一定义N上一个函数f满足上述递归条件。一般集合S的归纳定义：(1) 指定一个集合M。（基元，生成元）(2) 指定k个函数为生成函数.分别为元函数。归纳定义. 集合S是满足如下条件的最小集合T：（1）。（2）对于每个，如果，则。设为k+1个己知基函数： .递归原理定义S上的一个函数f:定理3（递归原理）对于给定的函数，能唯一定义S上一个函数f满足上述递归条件。归纳系统：。递归系统：。 例：自然数（算术）系统