大学高等数学公式汇总大全(珍藏版).pdf

1、大学高等数学公式汇总大全（珍藏版）高等数学（上册）高等数学（上册）高等数学（上册）高等数学（上册）常用导数公式：常用导数公式：常用导数公式：常用导数公式：常用基本积分表：常用基本积分表：常用基本积分表：常用基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=Caxxax

2、dxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdx+=+=+=+=+=+=+=+=arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222+=+=+=+=CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnar

3、csin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020222212211cos12sinududxxtguuuxuux+=+=+=，一些初等函数：一些初等函数：一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：两个重要极限：两个重要极限：三角函数公式：三角函数公式：三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：诱导公式：诱导公式：诱导公式：函数角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctg

4、tg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式：和差角公式：和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式：和差化积公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin+=+=+=+=+ctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg=1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx+=+=+=+=+

5、=11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0=+=exxxxxx倍角公式：倍角公式：倍角公式：倍角公式：半角公式：半角公式：半角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sin=+=+=+=+=+=ctgtg正弦定理：正弦定理：正弦定理：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin=余弦定理：余弦定理：余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2222+=反三角函数性质：反三角函数性质：反三角函数性质：反三角函

6、数性质：arcctgxarctgxxx=2arccos2arcsin高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibnizLeibnizLeibniz）公式：）公式：）公式：）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+=中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=)(F)()(

7、)()()()()()()(曲率：曲率：曲率：曲率：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg=222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg=.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss=+=+=的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：定积分的近似计算：定积分的近似计算：定积分的近似计算：+bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyyn

8、abxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：=babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：高等数学（下册）高等数学（下册）高等数学（下册）高等数学（下册）空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离

9、：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaa ja jaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu=+=+=+=+=+=（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211

10、;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxu

11、fztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz=+=+=+=+=+=+=+=，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu=隐函数方程组：微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：微分法在几何上

12、的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy=+=+=、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向

13、量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：方向导数与梯度：方向导数与梯度：方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(+=+=+=多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：=不确定时值时，无极为极小值为极大值时

14、，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：重积分及其应用：重积分及其应用：重积分及其应用：+=+=+=+=DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0

15、(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：+=+=+=dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin

16、,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：曲线积分：曲线积分：曲线积分：=+=)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公

17、式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00=+=+=+=+=+=+=+=yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：曲面积

18、分：曲面积分：曲面积分：+=+=+=dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：高斯公式：高斯公式：高斯公式：=

19、+=+nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：+时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：幂级数：幂级数：幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032=+=+=+RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛

20、半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：+=+=+=+nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+=qpxrxrececy2121+=两个相等实根)04(2=qpxrexccy1)(21+=一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir=+=，)sincos(21xcxceyx+=二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx+=+