清华大学大一线性代数总复习.pdf

1、1 1线性代数1杨晶杨晶2011年年12月月28日日第二十九讲第二十九讲总复习总复习2 线性代数的核心线性代数的核心:空间与变换空间与变换对空间的认识分局部和整体对空间的认识分局部和整体:局部局部:向量的线性关系向量的线性关系整体整体:基基,维数维数,内积内积,对空间的研究方法对空间的研究方法:直接直接:研究抽象的向量研究抽象的向量间接间接:化为坐标来研究化为坐标来研究一、研究对象一、研究对象3 线性代数中变换分两类线性代数中变换分两类:空间结构类与空间变换类空间结构类与空间变换类空间结构类空间结构类:基变换引起坐标变换基变换引起度量阵改变基变换引起坐标变换基变换引起度量阵改变 空间变换类空间

2、变换类:线性变换正交变换线性变换正交变换4 结构化结构化:向量组的极大无关组解空间基础解系空间的基向量组的极大无关组解空间基础解系空间的基 标准型标准型:矩阵相抵矩阵相抵,相似相似,合同标准形二次型的标准形与规范形合同标准形二次型的标准形与规范形二、思想方法二、思想方法5行列式行列式线性方程组线性方程组矩阵矩阵三、研究工具三、研究工具四、具体手段四、具体手段抽象转化为具体抽象转化为具体一般转化为特殊一般转化为特殊61.会计算行列式会计算行列式,尤其是含参数的行列式尤其是含参数的行列式.2.熟悉那些可化为行列式来处理的问题熟悉那些可化为行列式来处理的问题2.1.齐次线性方程组有非零解的问题齐次线

3、性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解的问题齐次线性方程组有非零解 系数行列式系数行列式 D=0.2.2.求矩阵的特征值求矩阵的特征值2.3.矩阵特征值与行列式值的关系矩阵特征值与行列式值的关系:12()()()(),AnfIA|A|=1 2n2.4.判定向量组的线性相关性判定向量组的线性相关性2.5.实二次型正定性的判定实二次型正定性的判定2.6.求向量积求向量积,混合积混合积,平行六面体体积和判断三向量共面平行六面体体积和判断三向量共面.一、行列式一、行列式71.基本运算及其性质基本运算及其性质2.求逆、求秩求逆、求秩2.1.可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形来求矩阵的秩可以通过初等变换把矩

4、阵化为阶梯形来求矩阵的秩.2.2.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数.2.3.若若 A 是一个是一个 n 阶方阵阶方阵,则则 r(A)=n A 可逆 可逆|A|0 A 的的 n 个列个列(行行)向量线性无关向量线性无关 Fn 中任意一个向量可由中任意一个向量可由 A 的列向量线性表出 齐次线性方程组的列向量线性表出 齐次线性方程组 AX=0 只有零解 对任意只有零解 对任意 b Fn,线性方程组线性方程组 AX=b 有唯一解有唯一解 X=A 1bA 没有零特征值没有零特征值A 可通过一系列初等变换化为单位阵可通过一系列初等变换化为单位阵A 可分解为一系列初等矩

5、阵的乘积可分解为一系列初等矩阵的乘积.二、矩阵二、矩阵8例例1 设设 A=(aij)是是3阶实非零矩阵阶实非零矩阵,已知已知 aij=Aij,求求|A|及其及其 A-1.解解 根据已知根据已知,A=(aij).假定假定 A 的第一行有非零元素的第一行有非零元素,把把|A|分别按照第一行展开分别按照第一行展开,可以得到可以得到:2221111121213131112130Aa Aa Aa Aaaa由已知由已知,A*=AT,故故 AAT=|A|I,容易由此得到容易由此得到|A|2=|A|3，所以，所以|A|=1,A-1=A*=AT.例例2 证明矩阵的非零子式所在的行向量组和列向量组均线性无关证明矩

6、阵的非零子式所在的行向量组和列向量组均线性无关.（缩水原则，水货判别）（缩水原则，水货判别）.思考：思考：例例2的逆命题是否成立？的逆命题是否成立？提示提示：分情况讨论，所讨论行：分情况讨论，所讨论行,列向量组的秩列向量组的秩原矩阵的秩；所讨论行原矩阵的秩；所讨论行,列向量组的秩列向量组的秩=原矩阵的秩时，成立原矩阵的秩时，成立.31,22,3I如：00109例例3(1)若若 AB=O,且且 A+B=I,则则 r(A)+r(B)=.(2)若若A2=I，则，则r(A+I)+r(A-I)=?(3)若若A2=A(幂等阵幂等阵)，则，则r(A)+r(I-A)=?(4)若若A2-4A+3I=0,且且AI

7、,3I,则则A在相似意义下是否可对角化？在相似意义下是否可对角化？证明证明：(A-3I)(A-I)=0,AI,3I 1,3是是A的两个特征值，另一方面的两个特征值，另一方面(A-3I)+(I-A)=-2I r(3I-A)+r(I-A)=n dimV1+dimV2=nA有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量A可对角化可对角化.提示提示(2)不妨设不妨设 r(A)=r,且且A 的前的前 r 行和前行和前 r 列均线性无关列均线性无关(?),记记1234,AAAAA这里这里 A1为为 r 阶方阵阶方阵,则则24AA的列均可由的列均可由13AA的列向量线性表出的列向量线性表出,故故A2的列向量

8、均可由的列向量均可由 A1的列向量线性表出的列向量线性表出,故故 r(A1)=r(A1,A2)=r,所以所以|A1|=r.103.矩阵的三大关系及相关问题矩阵的三大关系及相关问题4.矩阵与线性映射，对称阵与二次型的一一对应矩阵与线性映射，对称阵与二次型的一一对应5.灵活利用标准形把一般问题化为特殊问题来解决灵活利用标准形把一般问题化为特殊问题来解决6.特殊矩阵数量阵，三角阵，对角阵正交阵，对称阵，反对称阵幂等阵，幂零阵特殊矩阵数量阵，三角阵，对角阵正交阵，对称阵，反对称阵幂等阵，幂零阵例例4 证明反对称矩阵的秩均为偶数证明反对称矩阵的秩均为偶数.(思路见黑板思路见黑板)证明证明 不妨设不妨设

9、r(A)=r,且且A 的前的前 r 行线性无关行线性无关(?),由由 A的反对称性可知的反对称性可知A的前的前r列也线性无关列也线性无关,由例由例2的逆命题知的逆命题知A的左上角的左上角r阶子方阵是可逆的，且仍然是反对称阵阶子方阵是可逆的，且仍然是反对称阵.再由奇数阶反对称矩阵的行列式为再由奇数阶反对称矩阵的行列式为0可知可知 r 必为偶数必为偶数.11(1)会求解齐次、非齐次线性方程组的基础解系、通解会求解齐次、非齐次线性方程组的基础解系、通解(2)含参数方程组的讨论含参数方程组的讨论:何时有非零解、唯一解、无穷解等等何时有非零解、唯一解、无穷解等等(3)会灵活利用解的结构性质、几个特殊参数

10、会灵活利用解的结构性质、几个特殊参数(未知量个数、秩未知量个数、秩)求通解求通解.(4)齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集合的极大无关组齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解集合的极大无关组(5)熟悉那些可化为方程组来解决的问题熟悉那些可化为方程组来解决的问题三、方程组三、方程组12例例5 线性方程组线性方程组1231231232124xxxxxxaxbxcxd有两个解有两个解,求这个线性方程组的一般解求这个线性方程组的一般解.解解 这个线性方程组有两个解这个线性方程组有两个解,解不唯一解不唯一,所以其系数矩阵所以其系数矩阵A 的秩小于的秩小于3,又由于又由于 A 有一个二阶子式有一个二阶子

11、式110,()2.12r A又因为这个线性方程组有解又因为这个线性方程组有解,其增广矩阵其增广矩阵(A,b)的秩亦为的秩亦为2.用初等行变换化增广矩阵为有两行非零的既约阶梯形矩阵用初等行变换化增广矩阵为有两行非零的既约阶梯形矩阵:112111211214033302abcdbacada1310121012011101110020000cabdab由于由于n-r=3-2=1,所以有一个自由未知量所以有一个自由未知量:x3,导出组的基础解系也由一个解向量组成导出组的基础解系也由一个解向量组成,可解出为可解出为=(-1,1,1)T.这个阶梯形矩阵对应的线性方程组为这个阶梯形矩阵对应的线性方程组为:1

12、323 2 1xxxx 取取x3=0,求出一个特解为求出一个特解为X1=(2,1,0)T.方程组的通解是方程组的通解是:1,XXk 其中其中 k是任意常数是任意常数.141.会求向量组的极大无关组和秩会求向量组的极大无关组和秩.向量组极大无关组和秩的求法：向量组极大无关组和秩的求法：1)将列向量组将列向量组 1,2,s 排成矩阵排成矩阵 A=(1,2,s);2)用初等行变换化用初等行变换化 A 为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 U;3)U 的列向量组的极大无关组所对应的的列向量组的极大无关组所对应的 A 的列向量是原向量组的极大无关组的列向量是原向量组的极大无关组;4)阶梯形矩阵阶梯形矩阵 U 的列向

13、量组的极大无关组就是的列向量组的极大无关组就是 U 中每个非零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组中每个非零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组.2.注意下列特殊向量的关系：注意下列特殊向量的关系：正交向量组线性无关正交向量组线性无关 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交四、向量及其关系四、向量及其关系151 了解了解n 维线性空间、子空间、基、维数、坐标等概念；维线性空间、子空间、基、维数、坐标等概念；2 掌握基变换和坐标变换的公式，会求过渡矩阵；掌握基变换和坐标变换的公式，会求过渡矩阵；3 了解线性了解线性(映射映射)变换的概念，了解像空间与

14、核空间的数量关系；掌握线性变换的矩阵表示；变换的概念，了解像空间与核空间的数量关系；掌握线性变换的矩阵表示；4 了解内积、欧氏空间的概念；了解内积、欧氏空间的概念；5 掌握掌握Schmidt 正交化方法。正交化方法。6 了解线性映射在不同基下的矩阵表示是相抵的了解线性映射在不同基下的矩阵表示是相抵的.五、线性空间与线性五、线性空间与线性(映射映射)变换变换161.灵活求特征值和特征向量例如灵活求特征值和特征向量例如|2A+3I|=0-3/2为为A 特征值特征值.又例如若又例如若|A|=0,则则 0 为为A 的特征值的特征值,AX=0 的非零解向量为的非零解向量为 A 的属于特征值的属于特征值0

15、的特征向量的特征向量.2.熟悉特征值和特征向量的性质熟悉特征值和特征向量的性质3.了解矩阵相似的概念及性质；了解矩阵相似的概念及性质；4.了解矩阵可对角化的充要条件，会求其相似对角阵及变换矩阵；了解矩阵可对角化的充要条件，会求其相似对角阵及变换矩阵；5.掌握实对称矩阵的性质，会将实对称矩阵化为对角阵。掌握实对称矩阵的性质，会将实对称矩阵化为对角阵。六、特征值与特征向量六、特征值与特征向量17例例6 设设A的每行元素之和为定值的每行元素之和为定值t，请给出，请给出A的一个特征值和特征向量的一个特征值和特征向量.解解 设设A=(aij)，则由行和固定有，则由行和固定有111212122212nnm

16、mmnaaataaataaat 1111tAtt 因此因此t是是A的一个特征值，的一个特征值，(1,1)T是属于是属于t的一个特征向量的一个特征向量.问题问题：若例：若例7中的条件改为“中的条件改为“A的每的每列列元素之和为定值元素之和为定值t”，结论将如何？”，结论将如何？18例例7 设有设有4阶方阵阶方阵 A 满足条件满足条件|3I+A|=0,AAT=2I,|A|0,求求 A*的一个特征值的一个特征值.解解 由由|-3I-A|=|3I+A|=0,知道知道=-3 是是A 的一个特征值的一个特征值.由条件由条件 AAT=2I 以及以及|A|0A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 Pi 0,i=

17、1,2,n.A=CTC,C 可逆可逆A的所有主子式的所有主子式 04.其他有定实二次型和有定实对称阵其他有定实二次型和有定实对称阵 实二次型实二次型 Q()=XTAX 半正定半正定A 的特征值均的特征值均 0A=CTC A的所有主子式的所有主子式 0七、二次型与空间七、二次型与空间(R3)几何几何23例例10 设设 A,B 是实对称矩阵是实对称矩阵,且且AB=BA,证明存在正交矩阵证明存在正交矩阵 Q,使得使得 Q-1AQ 和和 Q-1BQ 同时为对角矩阵同时为对角矩阵.证明证明 由为实对称阵由为实对称阵,存在正交矩阵存在正交矩阵 P,使得使得PTAP 为对角阵为对角阵1212,snnsnII

18、I,.ijij 其中其中由书上第由书上第76页页Ex2.10,PTBP 为准对角阵为准对角阵12,sAAA其中其中 Ai是是ni阶实对称方阵阶实对称方阵.24对每个子方阵，存在正交矩阵对每个子方阵，存在正交矩阵 Qi,使得使得 QiTAiQi为对角阵于是为对角阵于是12sQQPQQ是正交矩阵是正交矩阵,且且 Q1AQ 和和Q1BQ 同时为对角矩阵同时为对角矩阵6.几何空间中的问题几何空间中的问题(1)熟悉几何空间中一些基本计算熟悉几何空间中一些基本计算:距离、夹角、正交性判定距离、夹角、正交性判定(2)直线、平面方程与位置相关直线、平面方程与位置相关(3)了解曲面与方程的概念，熟悉二次曲面的标

19、准方程与图形，以及类型判定了解曲面与方程的概念，熟悉二次曲面的标准方程与图形，以及类型判定25考试安排考试安排时间时间:2012年年1月月4日日(星期三星期三)下午下午:2:30-4:30地点地点:三教三教2101,2102,2301考场分配考场分配:2101:010093 010178(土水学院土水学院)2102:010179 010264(土水学院土水学院)2301:010265 010299+其它院系其它院系26答疑安排答疑安排时间时间:1月月2日、日、1月月3日日上午上午:9:00-11:30下午下午:2:30-5:00地点地点:理科楼理科楼A107本讲无习题下节内容下节内容:例题与答疑