高考数学易错点梳理80条.pdf

1、 高考数学高考数学易错点梳理易错点梳理 80 条条 1 一、一、集合与简易逻辑集合与简易逻辑 易错点易错点 1 1 对集合表示方法理解存在偏差对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1:已知|0,1Ax xBy y，求AB。错解：AB 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果：ABB【问题】2:已知22|2,(,)|4Ay yxBx yxy，求AB。错解：(0,2),(2,0)AB 正确答案：AB 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。易错点易错点 2 2 在解

2、含参数集合问题时忽视空集在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】:已知2|2,|21AxaxaBxx，且BA，求a 的取值范围。错解：-1，0）剖析：忽视A的情况。正确答案：-1，2 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合BA就有可能忽视了A，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。易错点易错点 3 3 在解含参数问题时忽视元素的互异性在解含参数问题时忽视元素的互异性 2【问题】:已知 12a,2(1)a,233aa，求

3、实数a的值。错解：2,1,0a 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a 时，2(1)a=233aa=1；当1a 时，2a=233aa=1；均不符合题意。正确答案：0a 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。易错点易错点 4 4 命题的否定与否命题关系命题的否定与否命题关系不明不明 【问题】:写出“若aMaP或，则aMP”的否命题。错解一：否命题为“若aMaP或，则aMP”剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。错解二：否命题为“若aMaP或，则aMP”剖析：

4、知识不完整，aMaP或的否定形式应为aMaP且。正确答案：若aMaP且，则aMP 反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；审题不够细心。易错点易错点 5 5 充分必要条件颠倒出错充分必要条件颠倒出错 【问题】:已知,a b是实数，则“0a 且0b”是“0ab且0ab”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 错解：选 B 3 剖析：识记不好，

5、不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。正确答案：C 反思：对于两个条件,A B，如果AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，如果AB，则A是B的充要条件。判断充要条件常用的方法有定义法；集合法；等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。易错点易错点 6 6 对逻辑联结词及其真值表理解不准对逻辑联结词及其真值表理解不准 【问题】:命题 p：若a、bR，则1ab是1ab的充分而不必要条件；命题 q：函数 y=2|1|x的定义域是（，13，+)，则

6、A“pq或”为假 B“pq且”为真 C pq真 假 D pq假 真 错解一：选A或B 剖析：对真值表记忆不准，本题中pq假 真，因此“pq或”为真，而“pq且”为假。错法二：选C 剖析：基础不牢，在判断命题,p q真假时出错。正确答案：D 反思：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：“pq或”有真则真；“有真则真；“pq且”有假则假；“有假则假；“p非”真假相反。真假相反。易错点易错点 7 7 否定全称、特称命题出错否定全称、特称命

7、题出错 【问题】写出下列命题的否定：4 p：对任意的正整数 x,2xx；q：存在一个三角形，它的内角和大于0180；r:三角形只有一个外接圆。错解：p：对任意的正整数 x,2xx；q：所有的三角形的内角和小于0180；:r存在一个三角形有且只有一个外接圆。剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。正确答案：p：存在正整数 x,使2xx；q：所有的三角形的内角和都不大于0180；:r存在一个三角形至少有两个外接圆。反思：全称命题:,()pxM p x，它的否定:,()pxMp x，特称命题:,()pxM p x，它的否定:,()pxMp x。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

8、切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论()p x，而且还要对量词“和”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。二、函数与导数二、函数与导数 易错点易错点 8 8 求函数定义域时条件考虑不充分求函数定义域时条件考虑不充分 【问题】:求函数y=2231xx+0(1)x的定义域。错解：-3，1 剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为0(1)x=1 对任意实数成立。正确答案：3,11,1 5 反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是

9、该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是非空的数集。易错点易错点 9 9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”【问题】已知函数,9,1,2log3xxxf求函数 22xfxfy的值域。错解：设3logtx，1,9,0,2xt，266ytt，0,2t，6,22函数的值域是。剖析：知识欠缺，求函数 22xfxfy定义域时，应考虑21919xx.正确答案：6,13函数的值域是 反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的

10、值域，求复合函数定义域类型为：若已知()f x的定义域为,a b,其复合函数()f g x的定义域可由不等式()ag xb解出即可；若已知()f g x的定义域为,a b,求()g x的定义域，相当于 xa,b时，求()g x的值域（即()f x 的定义域）。易错点易错点 10 10 判断函数奇偶性时忽视定义域判断函数奇偶性时忽视定义域 【问题】1:判断函数2(1)(1)(1)xxyx x的奇偶性。错解：原函数即21xyx，为奇函数 剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。正确答案：非奇非偶函数。【问题】2:判断函数22()11f xxx 的奇偶性。错解：()()fxf x，为偶函数 6 剖析：不

11、求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。正确答案：既奇且偶函数。反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意 x 都有()()fxf x，则()f x为奇函数；如果对定义域内任意 x 都有()()fxf x，则()f x为偶函数，如果对定义域内存在0 x使00()()fxf x，则()f x不是奇函数；如果对定义域内存在0 x使00()()fxf x，则()f x不是偶函数。易错点易错点 11 11 求复合函数单调区间时忽视定义域求复合函数单调区间时忽视定义域 【问题】:求函

12、数20.5log(43)yxx的增区间。错解一：外层函数为减函数，内层函数243uxx减区间为3,)2，原函数增区间为3,)2。剖析：基础不牢，忽视定义域问题 错解二：2430 xx，函数定义域为1,4，又内层函数243uxx在 3(1,2为增函数，在3,)2为减函数，原函数增区间为3(1,2。剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。正确答案：3,4)2 反思：求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是“同增异减”法则不会或法则用错。易错点易错点 12 12 解“二次型函数”问题时忽视解

13、“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论对二次项系数的讨论 【问题】:函数2()(1)2(1)1f xmxmx的图象与x轴只有一个交点，求实数 m 的取值范围。7 错解：由0 解得03mm或 剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m 的情况。正确答案：3,0,1 反思：在二次型函数2yaxbxc中，当0a 时为二次函数，其图象为抛物线；当0,0ab时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意2x项的系数是否为 0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：20axbxc解集为R0,0a 或a=b=0,c0 20axbxc解集为0

14、,0a 或a=b=0,c0 易错点易错点 13 13 用函数图象解题时作图不准用函数图象解题时作图不准 【问题】:求函数2()f xx的图象与直线()2xf x 的交点个数。错解：两个 剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。正确答案：三个 反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。易错点易错点 14 14 忽视转化的等价性忽视转化的等价性 【问题】1:已知方程2310mxx 有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数 m 的取值范

15、围。错解：方程2310mxx 有且只有一个根在区间（0，1）内，函数231ymxx的图象与x轴在（0，1）内有且只有一个交点，(0)(1)0ff，解得2m 8 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到(1)0f的情况。正确答案：,2m 【问题】2:函数|1|lnxeyx的图象大致是（）剖析：在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。在图象变换过程中出错，搞错平移方向。正确答案：D 反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。易错点易错点 15 15 分段函数问题分段函数问题 【问题】1:.已知21

16、1()1xa xxf xax是R上的增函数，求a的取值范围。错解：(1,2)剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视()f x在分界点附近函数值大小关系。正确答案：3,2)2【问题】2:设函数2,0,0,()(4)(0),(2)22,0.xbxc xxf xfffx 若，求关于x的方程xxf)(解的个数。9 错解：两个 剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程xxf)(分两种情况来解。正确答案：三个 反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确

17、定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。易错点易错点 16 16 函数零点定理使用不当函数零点定理使用不当 【问题】若函数()f x在区间-2,2上的图象是连续不断的曲线，且()f x在（-2,2）内 有一个零点，则(2)(2)ff的值 （）A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、不能确定 错解：由函数零点存在定理知(2)(2)0ff，故选 B 剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数()f x在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则(2)(2)0ff，否则(2)(2)0ff 正确答案：D 反思：函数零点定理是指如果函数()f x在区间

18、,a b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有()()0f a f b，那么函数()f x在区间(,)a b内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。易错点易错点 17 17 混淆两类切线的概念混淆两类切线的概念【问题】:若直线 y=kx 与曲线3232yxxx相切试求 k 的值。（提示 y=kx即过原点的切线）10 错解：2362yxx，斜率2k，剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。正确答案：124kk 或 反思：曲线在点 P 处的切线”P 为切点且 P 在曲线

19、上，而“过点 P 的切线”仅能说明点 P 在曲线的切线上。易错点易错点 18 18 误解“导数为误解“导数为 0 0”与“有极值”的逻辑关系”与“有极值”的逻辑关系【问题】:函数322()f xxaxbxa在 x=1 处有极值 10，求,a b的值。错解：由(1)10,(1)0ff 解得4,113,3abab 或 剖析：对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把0()f x为极值的必要条件当作充要条件。正确答案：a=4,b=-11 反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0 的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于 0 的点就是函数

20、的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为 0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是00()0()fxfxx 且在两侧异号。易错点易错点 19 19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 【问题】:若函数3()f xaxx在R上为减函数，求实数a的取值范围。错解：由2()=310fxax 在R上恒成立，0120aa ，解得0a 剖析：概念模糊，错把()f x在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上0a 时满足题意。正确答案：0a 11 反思：一个函数在某个区间上单调增

21、（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为 0。切记导函数在某区间上恒大（小）于 0 仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。易错点易错点 20 20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 【问题】:已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是_.错解：选,A B D 剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于(0)(2)0ff，且两边值符号相反，故 0 和 2 为极值点；又因为当02xx和时，(x)0f，当02x时，(x)0f，所以函

22、数(x)f在(,0)和(2,+)上为增函数，在(0,2)上为减函数。正确答案：C 反思：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原函数的极值点关系极值极值点点的导数值为的导数值为 0 0；导函数值的符号与原函数单调性的关系原函数看增减，导函数原函数看增减，导函数看正负看正负。三、数列三、数列 易错点易错点 21 21 由由nS求求na时忽略对“时忽略对“1n”检验”检验 【问题】:已知数列na的前 n 项和21nSnn，求na。12 错解：由n1=nnaSS解得=22nan 剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了n1=nnaSS成立的条件 n2，实际上当 n=1 时就出现了 S0，而 S0是无意义的，

23、所以使用n1=nnaSS求na，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个na表示，尚需检验。正确答案：*1(1)22(2,)nnannnN 反 思：在 数 列 问 题 中，数 列 的 通 项na与 其 前 n 项 和nS之 间 关 系 如 下1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列 na 的na与nS关系时，先令1n 求出首项1a，然后令2n求出通项1nnnaSS，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令2n求出通项1nnnaSS，也不对1n 进行检验。易错点易错点 22 22 忽视两个“中项”的区别忽视两个“中项”的区别 【问

24、题】:2bac是,a b c成等比数列的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分有不必要条件 错解：C 剖析：思维不缜密，没有注意到当2bac 时，,a b c可能为 0。正确答案：B 反思：若,a b c成等比数列，则b为a和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，“2bac”仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。易错点易错点 23 23 等比数列求和时忽视对等比数列求和时忽视对q讨论讨论 13【问题】:在等比数列na中，nS为其前 n 项和，且333Sa，求它的公比 q。错解：3133(1)=31aqSaq，解得1q

25、=-2 剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比 q 是否等于 1 进行讨论，导致失误。正确答案：1q=-q=12或 反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为 0，等比数列的其前 n 项和nS为分段函数，其中当 q=1 时，1nSna。而这一点正是我们解题中被忽略的。易错点易错点 24 24 用错了等差、等比数列的相关公式与性质用错了等差、等比数列的相关公式与性质 【问题】:已知等差数列na的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求它的前 3m 项和3mS。错解一：170 剖析：基础不实，记错性质，误以为23,mmmSSS成等差数列。

26、错解二：130 剖析：基础不实，误以为23,mmmSSS满足32mmmSSS。正确答案：210 反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。易错点易错点 25 25 用错位相减法求和时项数处理不当用错位相减法求和时项数处理不当 【问题】:求和211 35(21)nnSaana。14 剖析：考虑不全面，未对a进行讨论，丢掉1a 时的情形。将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。将两个和式错位相

27、减后，丢掉最后一项。正确答案：212(1)12(1)21(1)1(1)1nnnnasaanaaaaa 反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为 Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分原来数列的第一项；一个等比数列的前 n-1 项和；原来数列的第 n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n项，有时只有1n项。另外，如果公比为字母需分类讨论。易错点易错点 26 26 数列中的最值

28、错误数列中的最值错误 【问题】:在等差数列na中，125a，916SS，求此数列的前几项和最大。剖析：解题不细心，在用等差数列前 n 和求解时，解得 n=12.5，误认为 n=12.5。考虑不全面，在用等差数列性质求解得出13a=0 时，误认为只有13S最大。正确答案：1213aa或 反思：数列的通项公式与前 n 项和公式都是关于正整数 n 的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视 n 为正整数的特点，有时即使考虑了 n 为正整数，但对于 n 为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数 n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。15 四、三

29、角函数四、三角函数 易错点易错点 27 27 求解时忽略角的范围求解时忽略角的范围 【问题】1:在ABC中，sin A=53,cosB=513，求cosA，sinB的值。错解：cosA=45，sinB=1213 剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。正确答案：cosA=45，sinB=1213【问题】2:在ABC中，AB、为锐角，且510sin,sin510AB，求AB的值。错解：先求出 sin(AB)=22，0AB（，），3=44AB或 剖析：知识残缺，由于AB、为锐角，所以0AB（，）。又由于正弦函数在0（，）上不是单调函数，所以本题不宜求 sin(AB)，宜改求 cos(AB)或 tan

30、(AB)。正确答案：=4AB【问题】1:在ABC中，已知 a=2,b=3,B=3,求角 A 错解：用正弦定理求得2sin2A，3=44A或 剖析：基础不牢，忽视隐含条件ba出错。正确答案：=4A 反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。易错点易错点 28 28 求关于求关于sin,cosxx最值时忽视正、余弦函数值域最值时忽视正、余弦函数值域 【问题】:已知1sinsin3xy，求2sincosyx的最大值。错解：令intsx，得222sincos(11)3yxttt ，通过配方、作图解

31、得2sincosyx的 16 最大值为43 剖析：本题虽注意到insx的值域，但未考虑到insx与sin y相互制约，即由于-1siny1，insx必须同时满足1sin111sin13xx 。正确答案：49 反思：求关于sin,cosxx最值的常规方法是通过令intsx（或 cosx）将三角函数的最值问题转化为关于t的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，t只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。易错点易错点 29 29 三角函数单调性判断错误三角函数单调性判断错误 【问题】:已知函数 y=cos(4-2x)，求它的单调减区间。错解：2k4-2x2k 剖析：概念混淆，错因在于把

32、复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成 y=cos(2x-4)求解 正确答案：5(,)()88kkkZ 反思：对于函数)sin(xAy来说，当0时，由于内层函数ux是单调递增的，所以函数)sin(xAy的单调性与函数xysin的单调性相同，故可完全按照函数xysin的单调性来解决；但当0时，内层函数ux是单调递减的，所以函数)sin(xAy的单调性与函数xysin的单调性正好相反，就不能按照函数xysin的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。易错点易错点 30 30 图象变换的方向把握不准图象变换的

33、方向把握不准 【问题】:要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象（）A 向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 17 错解一：C 剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。错解二：D 剖析：基础不牢，弄错了平移方向。正确答案：A 反 思：图 像 的 平 移 变 换，伸 缩 变 换 因 先 后 顺 序 不 同 平 移 的 量 不 同，sinsin()(0)yxyxw平移的量为，sinsinsin()(0)yxywxywxw平移的量为w。易错点易错点 31 31 由图象求函数解析式忽略细节由图象求函数解析式忽略细节 【问题】：如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)yAxB A.(1)求这段时间的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式。剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求时，多数学生由于点的位置取得不当，致使