2021年全国统一新高考数学试卷(新高考II卷).pdf

1、2021年全国统一高考高考数学 全国卷文科试题2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）使用省份:海南、辽宁、重庆一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】2-i1-3i=2-i1+3i1-3i1+3i=5+5i10=12+12i.选A2.设集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,6,B=2,3,4,则A UB=()A.3B.1,6C.5,6D.1,3【答案

2、】B【解析】UB=1,5,6,A UB=1,6,选B3.抛物线y22px p0的焦点到直线yx+1的距离为2,则p=()A.1B.2C.2 2D.4【答案】B4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O,半径r为6400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2r2(1-cos)(单位:km2),则S占地球表面积的百分比

3、约为()A.26%B.34%C.42%D.50%【答案】C5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A.20+12 3B.28 2C.563D.28 23【答案】D6.某物理量的测量结果服从正态分布N 10,2,下列结论中不正确的是()A.越小,该物理量在一次测量中在 9.9,10.1的概率越大B.越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.越小,该物理量在一次测量中落在 9.9,10.2与落在 10,10.3的概率相等【答案】D7.已知a=52log,b=83log,c=12,则下列判断正

4、确的是()A.cbaB.bacC.acbD.abc【答案】C第1页 共7页博观而约取 厚积而薄发【解析】a=log52log93=12故bca.故选C.8.已知函数f x的定义域为R,f x+2为偶函数,f 2x+1为奇函数,则()A.f-12=0B.f-1=0C.f 2=0D.f 4=0【答案】B【解析】法一:f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2).又f(2x+1)是奇函数,则f(-2x+1)=-f(2x+1).f(1)=-f(1)可得f(1)=0.f(-1)=-f(3)=-f(1)=0.故B正确.法二:可构造f(x)=2(x-2)cos符合题意，故选B二、选择题：本题共4小题

5、，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列统计量中,能度量样本x1,x2,xn的离散程度的是()A.样本x1,x2,xn的标准差B.样本x1,x2,xn的中位数C.样本x1,x2,xn的极差D.样本x1,x2,xn的平均数【答案】AC10.如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MNOP的是()MNOPMNOPMNOPMNOPABCD【答案】BC11.已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线

6、l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】选项A,点A在圆C上，a2+b2=r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2=r,直线l与圆C相切,A正确.选项B,点A在圆C内，a2+b2r,直线l与圆C相离,B正确.选项C,点A在圆C外,a2+b2r2,圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b20,b0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为 y=3x.【答案】y=3x14.写出一个同时具有下列性质的函数f(x):f(x)=x2xR.f(x1x2)=f(x1)f(x2);

7、当x(0,+)时,f(x)0;f(x)是奇函数.【答案】f(x)=x2xR,答案不唯一.15.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,ab+b.c+ca=-92.【答案】-92【解析】法一:a+b+c2=a2+b2+c2+2 ab+b.c+ca=02 ab+b.c+ca+9=0ab+b.c+ca=-92.法二:由a+b=-ca2+b2+2ab=c2ab=-12.由a+c=-ba2+c2+2ac=b2ac=-12.由b+c=-ab+c+2bc=a2bc=-72.ab+bc+ca=-92.第3页 共7页博观而约取 厚积而薄发16.已知函数f(x)=|ex-1|,x10,函数f(x)

8、的图象在点A x1,f(x1)和点B x2,f(x2)的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则|AM|BN|的取值范围是(0,1).【答案】0,1【解析】f x=-ex+1,xan成立的n的最小值.【解析】(1)设公差为d,S5=5a3=a3a3=0,S4=2 a2+a3=2a2.a2a4=S4a2a4=2a2.由公差d0及a3=0知a20,a4=2,d=2,则an=a3+2 n-3=2n-6.2Sn=n(a1+an)2=n(-4+2n-6)2=n2-5n,由Snann2-5n2n-6(n-1)(n-6)0n6,nN*,n的最小值为7.18.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,

9、b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】1由2sinC=3sinA及正弦定理可得2c=3a,结合b=a+1,c=a+2,解得a=4,b=5,c=6.在ABC中,由余弦定理Ccos=a2+b2-c22ab=16+25-3640=18,所以Csin=1-2Ccos=3 78,SABC=12abCsin=12453 78=15 74.(2)设存在正整数a满足条件,由已知cba,所以C为钝角,所以Ccos=a2+b2-c22ab0a2+b2c2a2+a+12 a+22

10、 a+1a-3b0),右焦点为F(2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.【解析】(1)由题意知c=2ca=63 a=3,又a2=b2+c2,b=1.第5页 共7页博观而约取 厚积而薄发故椭圆C的方程为:x23+y2=1.(2)证明：必要性若M,N,F三点共线,设直线MN的方程为x=my+2,圆心O(0,0)到MN的距离d=2m2+1=1m2=1.联立x=my+2x2+3y2=3(m2+3)y2+2 2my-1=04y2+2 2my-1=0|MN|=1+m28m

11、2+164=2 244=3,必要性成立.充分性当|MN|=3 时,设直线MN的方程为x=ty+m.此时圆心O(0,0)到MN的距离d=|m|t2+1=1m2-t2=1联立x=ty+mx2+3y2=3(t2+3)y2+2tmy+m2-3=0,=4t2m2-4(t2+3)(m2-3)=12(t2-m2+3)=24.MN=1+t224t2+3=3 t2=1,m2=2.MN与曲线x2+y2=b2(x0)相切，m0,m=2直线MN的方程为x=ty+2 恒过点F(2,0),M,N,F三点共线,充分性成立.由可得M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设

12、一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)1时,p=1,当E(X)1时,p0.令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x,f(x)=p1+2p2x+3p3x2-1,f(x)=2p2+6p3x0,f(x)在(0

13、,+)上单调递增.当E(X)=p1+2p2+3p31时,当x(0,1时,f(x)f(1)=p1+2p2+3p3-10f(x)在(0,1上单调递减，注意到f(1)=0,f(x)在x(0,1上有唯一零点x=1,即p=1.当E(X)=p1+2p2+3p31时，注意到f(0)=p1-10.f(x)在(0,+)上单调递增.存在唯一x0(0,1),使得f(x0)=0,当0 xx0时,f(x)0,f(x)单调递减;当x0 x0,f(x)单调递增.f(0)=p00,f(1)=0,f(x0)f(1)=0.f(x)在(0,x0)上有唯一零点x1,p=x11.解法二:由题意知p0+p1+p2+p3=1,E(X)=p

14、1+2p2+3p.p0+p1x+p2x2+p3x3=xp0+p2x2+p3x3-(1-p1)x=0.p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0(x-1)p3x2+(p2+p3)x-p0=0.令f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0,f(x)的对称轴为x=-p2+p32p30.注意到f(0)=-p01,f(1)0,f(x)的正实根x01,原方程的最小正实根p=x01.(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还

15、有继续繁殖的可能.22.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点.122a;0a12,b2a.【解析】f(x)=xex-2ax=x(ex-2a),当a0时，令f(x)=0 x=0且当x0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)单调递增.当0a12时，令f(x)=0 x1=0,x2=ln2a0且当x0,f(x)单调递增,当ln2ax0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)单调递增.当a=12时,f(x)=x(ex-1)0,f(x)在R上单调递增.当a12时，令f(x)=0 x1=0,x2=ln2a0且当x0,f

16、(x)单调递增;当0 xln2a时,f(x)ln2a时,f(x)0,f(x)单调递增.综上：略.(2)若选,由(1)知f(x)在(-,0)上单调递增,(0,ln2a)单调递减,(ln2a,+)上f(x)单调递减.注意到f-ba=-ba-1e-ba2a-10.f(x)在-ba,0 上有一个零点;f(ln2a)=ln2a-12a-aln22a+b2aln2a-2a-aln22a+2a=aln2a(2-ln2a)由12ae22得00,当x0时,f(x)f(ln2a)0,此时f(x)无零点.综上:f(x)在R上仅有一个零点.若选,则由(1)知:f(x)在(-,2aln)上单调递增,在(2aln,0)上

17、单调递减,在(0,+)上单调递增.f(ln2a)=(ln2a-1)2a-aln22a-2a+b2aln2a-2a-aln22a+2a=aln2a(2-ln2a).0a12,ln2a0,aln2a(2-1n2a)0,f(ln2a)0,当x0时,f(x)f(ln2a)0时,f(x)单调递增，注意到f(0)=b-12a-10,取c=2(1-b)+2,b2a2 1,又可证ecc+1,f(c)=(c-1)ec-ac2+b(c-1)(c+1)-ac2+b=1-ac2+b-112c2+b-1=1-b+1+b-1=10.f(x)在(0,c)上有唯一零点,即f(x)在(0,+)上有唯一零点.综上:f(x)在R上有唯一零点.第7页 共7页