2020高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结.pdf

1、1概率与统计概率与统计高考常见题型高考常见题型解题思路及解题思路及知识点总结知识点总结一、解题思路一、解题思路（一）解题思路思维导图（一）解题思路思维导图（二）常见题型（二）常见题型及解题思路及解题思路1.正确读取统计图表的信息正确读取统计图表的信息典例典例 1：（2017 全国 3 卷理科 3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.解题思路及步骤注意事项理解背景读懂题目所给的背景，理解统计图表各个量的意义对选项逐一判断对选项逐一判

2、断，统计图表是否能得出该选项的结论，错误选项一般是概念错误、计算错误、以偏概全的错误等2A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，选A.2古典概型概率问题古典概型概率问题典例典例 2：（2018 全国 2 卷理科 8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，

3、其和等于 30 的概率是A.B.C.D.解：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为，选 C.典例典例 3：(2014 全国 2 卷理科 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为 p,则据条件概率公式得 p=?ul

4、?uh?=?u?，故选A.3几何概型问题几何概型问题典例典例 4：(2016 全国 1 卷理科 4)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解题思路及步骤注意事项求基本事件总数 m每个基本事件要求等可能，若是条件概率问题，在有条件则基本事件总数相对减少求事件 A 包含基本事件个数 n确定 A 包含基本事件个数时要不重不漏代入公式求概率 nmAP，事件 A已经发生的条件下在事件 B发生概率)()(AABAPABPABP解题思路及

5、步骤注意事项求试验全部结果所构成区域长度（或面积或体积）明确表示实验结果的是一个变量、两个变量还是三个变量，它们分别用长度（或角度）、面积和体积来表示求构成事件 A 的区域长度（或面积或体积）确定构成事件 A 的区域长度（或面积或体积）代入公式求概率3解：如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中,而当他到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他等车的时间不超过 10 分钟,根据几何概型,所求概率 P=101040=12.选 B.4类似超几何分布的离散型随机变量分布列问题（古典概型求概率）类似超几何分布的离散型随机变量分布列问题（古典概型求概率）5类似二项分布的离

6、散型随机变量分布列问题（频率估计概率，相互独立事件概率计算）类似二项分布的离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，相互独立事件概率计算）典例典例 5（超几何分布与二项分布辨析超几何分布与二项分布辨析）：某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10 件进行抽样检验，检测出有两件次品.（1）从这 10 件产品中随机抽取 3 件，其中次品件数为 X，求 X 分布列和期望；（2）用频率估计概率，若所生产的产品按每箱 100 件装箱，从一箱产品中随机抽取 3 件，其中次品件数为 Y，求 Y 分布列和期望;（3）用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取 3 件，其中次品件数为 Z，求 Z

7、 分布列和期望.分析：第（1）问中，抽取产品的总体 N=10，所含次品件数 M=2，都是明确的，所以该随机变量的分布为超几何分布。第（2）问是从一箱产品中抽取，产品的总体 N=100 是明确的，但其中有多少件次品 M 是不明确的，有的同学根据样本可认为 M=20，但违背了题目中的“用频率估计概率”这一条件，或者说没有理解这句话的含义，本质上就是概率的定义没有理解。根据概率定义，“用频率估计概率”这一条件应理解为：从这 100 件产品中任意抽取 1 件产品，该件产品是次品的概率是 0.2，同时抽取 3 件等同于不放回抽 1 件 3 次，由于每次的概率都是 0.2，因此，可以看成独立重复实验，该随

8、机变量的分布为二项分布。第（3）问是从所生产的全部产品中抽取，而全部产品有多少件题目条件没给出，这时总体 N 不明确（若总体 N 明确，就属于第（2）问情况），其中所含次品件数 M 自然也是不明确的。因此，类似的，在“用频率估计概率”这一条件，该随机变量的分布为二项分布。解：（1）x 的可能取值为 0，1，2，根据题意 XH(10、2、3)，所以 x 分布列为：)2,1,0(,210282kCCCkXPkk，6.01023XE（2）Y 的可能取值为 0，1，2，3，根据题意 YB(3,0.2)，所以 Y 分布列为：)3,2,1,0(,2.012.033kCkYPkkk，6.02.03YE解题思

9、路及步骤注意事项写出随机变量可能取值明确随机变量取每一个值的意义求出随机变量取每个值的概率“从 M 个不同元素中不放回抽取（或同时抽取）n 个元素”类型概率问题，用古典概型求概率写出分布列检验所有概率之和是否等于 1求数学期望若服从超级和分布nMNHX,，则可带入公式 NMnxE快速求出解题思路及步骤注意事项写出随机变量可能取值明确随机变量取每一个值的意义求出随机变量取每个值的概率当有“把频率当成概率或用频率估计概率”条件时，“从 M 个不同元素中抽出 n 个元素”类型概率问题就变成相互独立事件的问题写出分布列检验所有概率之和是否等于 1求数学期望若服从二项分布pnBX,，则可带入公式 npx

10、E快速求出4（3）Z 的可能取值为 0，1，2，3，根据题意 ZB(3,0.2)，所以 Z 分布列为：)3,2,1,0(,2.012.033kCkZPkkk，6.02.03ZE以上分析用一个表归纳如下：抽取总体个数 N总体中所含次品 M 个数随机变量分布类型明确明确超几何分布明确不明确二项分布不明确不明确二项分布从该例以看到，当NM保持不变，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与NM相差越小，因此，当N很大时，超几何分布可以近似看成二项分布。典例典例 6：据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人

11、士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人?人社会人士500 人?人?人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 300 人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数?的分布列和数学期望解：（1）抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06

12、，解得?=l?，持“无所谓”态度的人数为?砀 晦?砀?砀 晦?砀 l?=晦晦?，应在“无所谓”态度抽取 晦晦?=晦晦 人（2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生人数为晦?l=，社会人士人数为l?l=晦，于是第一组在校学生人数?的可能取值为 t晦t?晦?=晦=?晦晦?l?=?t?晦?=晦晦=?晦?晦?l?=?t?晦?=?晦=?晦?l?=?5即?的分布列为：?123?=?晦?=晦典例典例 7（与函数结合与函数结合）：（2018 全国 1 卷理科 20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，

13、则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为,求的最大值点（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：（1）2

14、0 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于，故应该对余下的产品作检验.6其他离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，方案选择，随机变量取值意义其他离散型随机变量分布列问题（频率估计概率，方案选择，随机变量取值意义，与其他知识结合，与其他知识结合）典例典例 8（与函数结合与函数结合）：（2107 全国 3 卷理科 18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4

15、 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20 25，需求量为300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？解

16、题思路及步骤注意事项写出随机变量可能取值这类题重点考查是否理解随机变量取每一个值的意义求出随机变量取每个值的概率注意对随机变量所取的值表示多种的情况，多数情况由频率估计估计概率写出分布列检验所有概率之和是否等于 1求数学期望通过数学期望进行决策最高气温1015，15 20，20 25，25 30，30 35，35 40，天数2163625746解：（1）易知需求量x可取200,300,500，21612003035P X；3623003035P X；257425003035P X.则分布列为：X200300500P152525（2）当200n时：642Ynn，此时max400Y，当200n 时

17、取到.当200300n时：4122002200255Ynn 880026800555nnn，此时max520Y，当300n 时取到.当300500n时，12220022002300230022555Ynnn 320025n此时520Y.当500n时，易知Y一定小于的情况.综上所述当300n 时，Y取到最大值为520.典例典例 9（与与数列数列结合结合）：（2019 全国 1 卷理科 21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下

18、一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,7)i，其中

19、(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)i 为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性解：（1）由题意可知X所有可能的取值为：1，0，1 11P X；011P X；11P X则X的分布列如下：7X101P1 111（2）0.5，0.80.5 0.80.4a，0.5 0.80.5 0.20.5b，0.5 0.20.1c（i）111,2,7iiiipapbpcpi即110.40.50.11,2,7iiiippppi整理可得：11541,2,7iiipppi1141,2,7iiiippppi1iipp0,1,2,

20、7i 是以10pp为首项，4为公比的等比数列（ii）由（i）知：110144iiiippppp78714ppp，67614ppp，01014ppp作和可得：88017801111 44144411 43ppppp18341p44012344011841 44131144441 434141257ppppp4p表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.7连续型随机变量分布问题连续型随机变量分布问题正态分布正态分布典例典例 10：（2107 全国

21、 1 卷理科 19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2,N 解题思路及步骤注意事项明确总体的均值和方差一般用样本的均值和方差估计总体的均值和方差求随机变量在某范围概率利用正态密度曲线关于x对称性求概率8（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在3,3 之外的零件数，求1P X及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3,3 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行

22、检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1 216i，用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 3,3 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2,N，则33

23、0.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09【解析】（1）由题可知尺寸落在33，之内的概率为0.9974，落在33，之外的概率为0.00260016160C10.99740.99740.9592P X，11010.95920.0408P XP X ，由题可知160.0026XB，所以160.00260.0416E X.（2）（i）尺寸落在33，之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在33，之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理（ii）39.973 0.2129.334，39.973 0.21210.606，339.33410.606，因为9.229.334

24、10.606，所以需对当天的生产过程检查 因此剔除9.22，剔除数据之后：9.97 169.2210.0215222222 9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.01 10.02222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.91 10.0222222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.020.00815所以0.0080.09.98最小二乘法求两个线性变量的回归方程问题最小二乘法求两个线性变量的回归方程问题典例典例 11：（2016 全国 3 卷理科

25、18）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码 1-7 分别对应年份 2008-2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明.(2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:7i 1yi=9.32,7i 1tiyi=40.17,72ii 1(yy)=0.55,72.646.参考公式:相关系数 r=niii 1nn22iii 1i 1ttyy(tt)(yy)回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:niii

26、1n2ii 1ttyy(tt)b,a=y-bt解：(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得 7722iii 1i 1777iiiiii 1i 1i 1t4,tt28,yy0.55.ttyyt yty40.1749.322.89,2.89所以r0.99.0.5522.646因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t的关系.解题思路及步骤注意事项画散点图若样本点大致分布在一条直线附近，则可判断两个变量具有线性相关，若题设已知两个变量线性相关，可省略该步骤求x和y准确计算x和y列表计算b根据样本数据特点合理选用公式计算

27、，若各数据与平均数差的有效数学字比原数据少，则选用作差再相乘的公式求a，写出回归方程运算结果保留两位小数位数应与题目要求10(2)由9.32y7=1.331 及(1)得 7iii 172ii 1ttyy2.8928ttb0.103,a=y-bt1.331-0.10340.92.所以,y 关于 t 的回归方程为y=0.92+0.10t.将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得:y=0.92+0.109=1.82.所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨.9两个变量通过换元可转化为线性相关问题两个变量通过换元可转化为线性相关问题典例典例 12：（2015 全国 1

28、卷理科 19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.x?y?w?i=?(xi-x?)2i=?(wi-w?)2i=?(xi-x?)(yi-y?)i=?(wi-w?)(yi-y?)46.65636.8289.81.61 469108.8表中 wi=xi,w?=1?i=?wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(

29、给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程.(3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对 于 一 组 数 据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其 回 归 线 v=+u 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别为:=i=n晦ui砀u?晦晦vi砀v?晦i=n晦ui砀u?晦晦,=v?-u?.解题思路及步骤注意事项画散点图根据样本点分布情况确定两个变量适用

30、的函数模型，若题设已知两个变量的函数模型，可省略该步骤换元通过换元，使得换元后的两个变量线性相关（一次函数关系）求线性回归程用最小二乘法求线性回归方程还原还原为原来两个变量的回归方程11解：(1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.(2)令 w=x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于()().()iiiiiwwyydww =y?-w?=563-686.8=100.6,所以 y 关于 w 的线性回归方程为=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为=100.6+68 x.(3)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预

31、报值=100.6+68 49=576.6,年利润z的预报值=576.60.2-49=66.32.根据(2)的结果知,年利润z的预报值，=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12.所以当 x=13ul晦=6.8,即x=46.24时,取得最大值.故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.10两个分类变量是否有关的独立性检验问题两个分类变量是否有关的独立性检验问题典例典例 13：（2018 全国 3 卷理科 18）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组

32、 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，解题思路及步骤注意事项22 列联表注意是用样本数据而不是总体数据计算卡方注意运算策略，处理分子的交叉相乘时应先提公因式，平方数写成乘积形式再约分，最后除法运算保留三位小数比较经验

33、值要根据题设中的百分比找对应的经验值做比较下结论根据比较结果，把结论完整的表述出来，不能只是说有关或无关12解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时