定积分在实际问题中的应用.docx

1、定积分在实际问题中的应用第二节 定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的 : 熟练掌握求解平面图形的面积方法 ,并能灵活、恰当地选择积分变量 ;会求平行截 面面积已知的立体的体积 ,并能求解旋转体的体积 ;能够解决物理应用中变力作 功、液体压力方面的问题 .内 容 : 定积分几何应用 ;定积分在物理中的应用 .教学重点 : 求解平面图形的面积 ;求旋转体的体积 .教学难点 : 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积教学方法 : 精讲:定积分的几何应用 ;多练 :用定积分求平面图形的面积和立体的体积教学内容 :一、定积分的几何应用1.平面

2、图形的面积设函数 y f1(x),y f2(x)均在区间 a,b上连续,且 f1(x) f2(x),x a,b,现计算 由 y f1(x), y f2(x), x a,x b所围成的平面图形的面积 .分析求解如下 :(1) 如图 6-3 所示,该图形对应变量 x 的变化区间为 a,b ,且所求平面图形的面积 S对区 间 a,b 具有可加性 .(2) 在区间 a,b 内任取一小区间 x,x dx ,其所对应的小曲边梯形的面积 ,可用以 dx 为底,f1(x) f 2(x)为高的小矩形的面积 (图6-3)中阴影部分的面积 )近似代替 .即面积微元为 dS f1(x) f 2( x)dx(3) 所求

3、图形的面积bS a f2(x) f2(x)dx【例1】求曲线 y ex，直线 x 0,x 1及 y 0所围成的平面图形的面积 . 解 对应变量 x的变化区间为 0,1 ,在0,1 内任取一小区间 x,x dx ,其所对应小窄 条的面积用以 dx为底,以 f (x) g(x) ex 0 ex为高的矩形的面积近似代替 ,即面积 微元x dS e dx 于是所求面积S exdx ex 10 e 100【例 2】 求曲线 y x2及 y 2 x2 所围成的平面图形的面积 .y x2解 由 y x 2求出交点坐标为 ( 1,1)和(1,1) ,积分变量 x的变化区间为 1,1,面 y 2 x2积微元dS

4、 f(x) g(x)dx即dS (2 x2 x2)dx 2(1 x2 )dx于是所求面积12S 2(1 x2)dx124 0 (1 x2)dx4 x 1 x2 14 x x3083若平面图形是由连续曲线 x (y),x (y),( (y) (y),y c,y d所围成的 ,其 面积应如何表达呢 ?分析求解如下 :(1) 对应变量 y的变化区间为 c,d,且所求面积 S对区间 c,d 具有可加性 .(2) 在 y的变化区间 c, d 内任取一小区间 y,y dy ,其所对应的小曲边梯形的面积 可用以 (y) (y) 为长,以dy 为宽的矩形面积近似代替 ,即面积微元为dS (y) (y)dy 于

5、是所求面积dS c (y) ( y)dyc【例 3】 求曲线 x y2,直线 y x 2 所围成的平面图形的面积 .x y2解 由 解得交点坐标为 ( 1,1)和 (4,2) ,则对应变量 y的变化区间为 1,2 , yx2此时 (y) y 2, (y) y2 ,则面积微元dS (y) (y)dy2(y 2 y2)dy于是所求面积2 2 2S 1dS 1(y 2 y2)dy1 y2 2y 1 y3 2 y2 2y y32 3 192【例 4】 求由 y x2 及 y x所围成的平面图形的面积 解 为了确定积分变量的变化范围 , 首先求交点的坐标y x2 由 得交点 (0,0),(1,1) .y

6、x方法一2选x为积分变量 ,则对应 x的变化区间为 0,1 ,此时 f(x) x, g(x) x2面积微元2dS f (x) g( x)dx ( x x2 )dx12S 0 ( x x 2 )dx1 2 1 3 1 xx2 3 01 1 1236方法二选 y为积分变量 ,对应 y的变化区间为 0,1 ,此时 (y) y, ( y) y 则面积微元 dS (y) ( y)dy ( y y)dyS 0 ( y y)dy2 y323y2213212y2016注 :由此例可知 ,积分变量的选取不是唯一的 ,但在有些问题中 ,积分变量选择的不同 ,求解问题的难易程度也会不同 .22xy【例 5】 求椭圆

7、 2 2 1 的面积 .ab解 椭圆关于 x轴, y轴均对称 ,故所求面积为第一象限部分的面积的aS 4S1 4 0 ydx利用椭圆的参数方程4 倍 ,即x a costy bsin t应用定积分的换元法 ,dx a sintdt ,且当 x 0时,t ,x a 时,t 0,于是 20S 4 bsint( acost)dt24ab 2 sin2tdt02 1 cos2 t4ab 2 dt02t14ab sin 2t242 ab02.空间立体的体积(1) 平行截面面积为已知的立体的体积 设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知 ,则这个立体的体积可用微元法求解 .不失一般性 ,不妨取定轴为 x

8、 轴,垂直于 x 轴的各个截面面积为关于 x的连续函数 S(x), x的变化区间为 a,b.该立体体积 V 对区间 a,b 具有可加性 .取x为积分变量 ,在a,b 内任取一小区间 x,x dx ,其所对应的小薄片的体积用底面积为 S(x),高为 dx的柱体的体积近似代替 ,即体积微元为dV S(x)dx 于是所求立体的体积bV S(x)a【例 6】 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成角 ,计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积 .2 2 2 解 取该平面与底面圆的交线为 x 轴建立直角坐标系 ,则底面圆的方程为 x2 y2 R2 , 半圆的方程即为 y R2 x2 .在

9、x 轴的变化区间 R,R 内任取一点 x,过 x作垂直于 x 轴的截面 ,截得一直角三角形 , 其底长为 y,高度为 ytan ,故其面积1 S(x) y y tan212y tan21 2 2(R2 x2 )tan2于是体积RV R S( x)dxR 1 2 2 tan (R2 x2)dx1 R 2 2 tan (R2 x2)dx2R1tan (R2x 1x3)232R3 tan3(2) 旋转体的体积类型 1:求由连续曲线 y f (x),直线 x a,x b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转 一周而成立体的体积 .过任意一点x a,b作垂直于x轴的平面,截面是半径为 f(x)的圆,其面

10、积为 2S(x) f 2 ( x) ,于是所求旋转体的体积bV S(x)dxab2f 2(x)dx a2【例7】求由 y x2及 x 1,y 0所围成的平面图形绕 x轴旋转一周而成立体的体积 .解 积分变量 x 轴的变化区间为 0,1 ,此处 f (x) x2 ,则体积11 1 x5V ( x ) dx x dx0 0 5 0 5【例8】连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线,直线 x h及x轴围成一个直角三角形 求将它绕 x 轴旋转一周而成的圆锥体的体积 .r解 积分变量 x的变化区间为 0, h ,此处 y f(x)为直线 OP的方程 y x ,于是体h类型 2:求由连续曲线 x ( y

11、),直线 y c,y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转 一周而成的立体的体积 (c d ).过任意一点 y c,d,作垂直于 y轴的平面,截面是半径为 (y)的圆,其面积为 S(y) 2( y) ,于是所求旋转体的体积d d 2V c S( y)dy c 2( y)dy【例9】求由 y x3,y 8及 y轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体的体 积.解 积分变量 y 的变化区间为 0,8 ,此处 x ( y) 3 y .于是体积【例 10】求椭圆 x2 y2 1分别绕 x轴、 y 轴旋转而成椭球体的体积a 2 b2解 若椭圆绕 x 轴旋转 ,积分变量 x 的变化区间为 a,

12、a ,此处y f ( x) b a 2 x 2 ,于是体积a若椭圆绕 y轴旋转,积分变量 y的变化区间为 b,b,此处x (y) a b2 y2 ,于b体积1. 变力所做的功 如果一个物体在恒力 W F S.如果一个物体在变力 Ox轴上的点 a 移动到点b 2 2 b(b2 y2 )dy b4 a2b3二、定积分在物理中的应用F 的作用下 ,沿力 F 的方向移动距离 s,则力 F 对物体所做的功是F(x) 的作用下作直线运动 , 不妨设其沿 Ox 轴运动 ,那么当物体由 b时,变力 F( x)对物体所做的功是多少 ?我们仍采用微元法 ,所做的功W对区间a,b具有可加性.设变力F(x)是连续变化

13、的 ,分 割区间 a,b ,任取一小区间 x,x dx,由 F(x)的连续性 ,物体在 dx这一小段路径上移动时 , F( x)的变化很小 ,可近似看作不变的 ,则变力 F(x) 在小段路径上所做的功可近似看作恒力 做功问题 ,于是得到功的微元为dW F(x)dx将微元从 a到b积分 ,得到整个区间上力所做的功bW F(x)dxa【例 11】将弹簧一段固定 ,令一段连一个小球 ,放在光滑面上 ,点 O为小球的平衡位置 .若 将小球从点 O拉到点 M(OM s) ,求克服弹性力所做的功 .,方向指向平衡位置解 由物理学知道 ,弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比 O,即F kx其中 k 是比

14、例常数 .若把小球从点 O(x 0)拉到点 M(x s) ,克服弹性力 F,所用力 f 的大小与 F相等, 但方向相反 ,即 f kx, 它随小球位置 x 的变化而变化 .在 x 的变化区间 0,s 上任取一小段 x,x dx ,则力 f 所做的功的微元dW kxdx于是功s k 2W kxdx s202【例 12】某空气压缩机 ,其活塞的面积为 S ,在等温压缩的过程中 ,活塞由 x1处压缩到 x2 处 ,求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功 .解 由物理学知道 ,一定量的气体在等温条件下 ,压强 p 与体积 V 的乘积为常数 k,即pV k由已知 ,体积V 是活塞面积S与任一点位置 x的乘积

15、 ,即V Sx,因此 kkpV Sx于是气体作用于活塞上的力kkpS SSx xk活塞作用力 f F ,则力 f 所做的功的微元x于是所求功kW dxxk ln x xx12 k ln x12 x2【 例 13】一圆柱形的贮水桶高为 5 米,底圆半径为 3 米 ,桶内盛满了水 .试问要把桶内的水 全部吸出需做多少功 .解 取深度 x 为积分变量 ,则所求功 W 对区间 0,5 具有可加性 .应用微元法 ,在 0,5 上 任取一小区间 x,x dx ,则所对应的小薄层的质量 32 dx 9 dx.将这一薄层水吸出桶外时 ,需提升的距离近似为 x ,因此需做功的近似值 ,即功的微元为 dW x 9

16、 dx 9 xdx于是所求功5 W 9 xdx05 2253 3 225 6将 9.8 103N /m3 ,得W 9800 3.46 106 J22.液体压力现有面积为 S 的平板 ,水平置于密度为 ,深度为 h 的液体中 ,则平板一侧所受的压力F pS h S( p为水深为 h 处的压强值 )若将平板垂直放于该液体中 ,对应不同的液体深度 ,压强值也不同 ,那么平板所受压力应 如何求解呢 ?设平板边缘曲线方程为 y f(x),(a x b) ,则所求压力 F 对区间具有可加性 ,现用微 元法来求解 .在a,b 上任取一小区间 x,x dx ,其对应的小横条上各点液面深度均近似看成 x,且液体

17、对它的压力近似看成长为 f (x)、宽为 dx的小矩形所受的压力 ,即压力微元为dF x f (x)dx于是所求压力bF x f ( x)dxa【例 14】有一底面半径为 1 米,高为 2 米的圆柱形贮水桶 ,里面盛满水 .求水对桶壁的压力 解 积分变量 x的变化区间为 0,2 ,在其上任取一小区间 x,x dx ,高为 dx的小圆柱 面所受压力的近似值 ,即压力微元为dF x 2 1dx 2 xdx于是所求压力为2x22 xdx 202将 9.8 103N /m3代入F 4 9.8 103 3.92 104 N【例 15】有一半径 R 3米的圆形溢水洞 ,试求水位为 3米时作用在闸板上的压力

18、 .解 如果水位为 3 米,积分变量 x的变化区间为 0, R,在其上任取一小区间 x,x dx, 所对应的小窄条上所受压力近似值 ,即压力微元dW x 2ydxx 2 R2 x2dx于是所求压力2 x R2 x2dxF 2 x R2 x2dx32 0R21 R2 x2d(R22R32 R3333将 9.8 103N /m3,R 3m代入得 5F 1.764 105 N课堂练习 :1. 求由曲线 y x 与 y x 所围成的图形的面积 .32. 求由 y x3,y 1,x 0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成立体的体积 .23.有一截面积 S 20m2 ,深为 5m 的水池盛满了水 .用抽水泵把这水池中的水全部抽 出需做多少功 ?小结 : 学习了定积分的几何应用和物理应用 ,要求能熟练应用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 .作业 :P123-2(2),(6).4(3),11