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1、勾股定理培优讲义doc勾股定理知识点汇总一、基础知识点：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ；表示方法： 如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 41ab (b a)2c2 ，化简可证2方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积a2 b2 c2DCHEGFb a

2、A c B四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S41abc22ab c2大正方形面积为 S(ab) 2a22abb2bac2ab所以 a2b2c2c111c方法三： S梯形(ab) ( ab) ， S梯形2S ADES ABE2abc2 ，化简得证 a2b 2c2bca222ab .勾股定理的适用范围Aa勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形D和钝角三角形的三边就不具有这一特征。bc .勾股定理的应用cEa已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C90，则 ca 2b2 ，bc2a 2 ， BbCac2b2知道直角三角形一边，

3、可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2b 2c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状， 在运用这一定理时， 可用两小边的平方和a 2b2 与较长边的平方 c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形； 若 a2b2c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； 定

4、理中 a ， b ， c 及 a 2b 2c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c 满足a 2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 .勾股数满足 a2 + b 2= c2 的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整

5、数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（ 3， 4， 5） (5 ，12， 13) (6， 8， 10) (7， 24， 25 )( 8， 15， 17)(9 ， 12， 15 )精选用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n2 1,2n, n2 1 （ n 2, n 为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n 2 2n 1 （ n 为正整数） m2 n2 ,2 mn, m2 n2 （ m n, m ， n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什

6、么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线 （通常作垂线） ，构造直角三角形， 以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中， 是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：C CC30A B A D B

7、 B D A10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。经过证明被确认正确的命题叫做定理如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理精选考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积： （ 1）阴影部分是正方形； （ 2）阴影部分是长方形； （ 3）阴影部分是半圆2.如图，以 Rt ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、 S2、S3，则它

8、们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S31），那么它的斜边长是（）精选A、2nB、 n+1C、 n2 1D、 n 217、在 Rt ABC中， a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A. a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能8、已知 Rt ABC中， C=90，若 a+b=14cm， c=10cm，则 Rt ABC的面积是（）A、 24 cm 2B、 36cm2C、 48 cm2D、 60 cm29、已知 x、y 为正数，且 x2-4 +（ y2-3 ）2=0，如果以 x、 y 的长为直角边作一个直角三角

9、形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、 5 B、 25 C、 7 D、 15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰 中， ， 是底边上的高，若 .求 AD的长； ABC的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4 ， 5， 6 B. 2 ， 3， 4 C. 11 ， 12，13 D. 8 ， 15， 172、若线段 a， b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A 、 23 4 B、 3 4 6 C 、 5 12 13 D 、

10、4 673、下面的三角形中： ABC中， C= A B； ABC中， A： B： C=1： 2： 3； ABC中， a： b： c=3： 4： 5； ABC中，三边长分别为 8， 15， 17其中是直角三角形的个数有（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个4、若三角形的三边之比为 2 : 1 :1 ，则这个三角形一定是（ ）2 2A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不等边三角形5、已知 a， b， c 为 ABC三边，且满足 (a 2 b2)(a 2+b2 c2) 0，则它的形状为（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰

11、三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 , 得到的三角形是 ( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若 ABC的三边长 a,b,c 满足 a2 b2 c2 200 12a 16b 20c，试判断 ABC的形状。8 、 ABC 的两边分别为 5,12 ，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。精选例 3：求（ 1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（ 2）已知三角形三边的比为1：3 ： 2，则其最小角为。D考点五 : 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题B某楼梯的侧面视图

12、如图3 所示，其中米，因某种CA活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为, 面积为考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？AC B2、一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，（填 “大于

13、”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m处的池塘 A 处； ?另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？86精选5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A 和 B的距离为.60AB02C1014066、如图：有两棵树，一棵高8 米，另一棵高2 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走 8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西

14、走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅 1km?就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少？8 米2 米8 米第 6 题图考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6， BC=8，将 ABC折叠，使点 C 落在 A 边上上的点 E，折痕为 AD，连接 DE，则 CD等于（ ）A. 25 B. 22 C. 7 D.34 3 42、如图所示，已知 ABC中， C=90， AB的垂直平分线交 BC?于 M，交 AB于 N，若 AC=4，MB=2MC，求 AB的长3、折叠矩形 ABCD的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F 处 , 已知 AB

15、=8CM,BC=10CM,求CF 和 EC。精选4、如图，在长方形 ABCD中， DC=5，在 DC边上存在一点E，沿直线 AE把 ABC折叠，使点 D 恰好在 BC边上，设此点为 F，若 ABF的面积为 30，求折叠的 AED的面积ADEBFC5、如图，矩形纸片 ABCD的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠， 使点 D 与点 F 重合， 那么折叠后 DE的长是多少？6、如图，在长方形 ABCD中，将 ABC沿 AC对折至 AEC位置， CE与 AD交于点 F。（1）试说明： AF=FC；（ 2）如果 AB=3， BC=4，求 AF 的长7、如图 2 所示，将长方形 ABCD沿直线 AE折叠

16、，顶点 D 正好落在 BC边上 F 点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 _8、如图，把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠， 使点 C 落在 C的位置上， 已知 AB=?3，BC=7，重合部分 EBD的面积为 _9、如图 5，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD边上的点 M重合，折痕交 AD于 E，交 BC于 F，边 AB折叠后与BC边交于点 G。如果 M为 CD边的中点，求证： DE： DM： EM=3：4： 5。精选10、如图 2-5 ，长方形 ABCD中， AB=3， BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合， ?则折叠后痕迹 EF 的长为（ ）A

17、 3.74 B 3.75 C 3.76 D 3.772-511、如图 1-3-11 ，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD边上（不与 A、 D 重合），在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由 .再次移动三角板位置， 使三角板顶点 P 在 AD上移动， 直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC的延长线交于点 Q，与 BC交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明

18、理由 .12、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC， D 是斜边 BC的中点， E、F 分别是 AB、AC边上的点，且 DE DF，若 BE=12，CF=5求线段 EF的长。13、如图，公路 MN和公路 PQ在点 P处交汇，且 QPN30，点 A 处有一所中学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

19、角形，其中最大的正方形的边长为 5，则正方形 A， B， C，D 的面积的和为精选2、已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD的斜边 AD为直角边， 画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 考点九、图形问题1、如图 1，求该四边形的面积2、如图 2，已知，在 ABC中， A = 45 ， AC = 2， AB = 3+1，则边 BC的长为 3、某公司的大门如图所示 , 其中四边形是长方形 , 上部是以为直径的半圆 , 其中 =2.3 ， =2 , 现有一辆装满货物的卡车 ,

20、 高为 2.5 , 宽为 1.6 , 问这辆卡车能否通过公司的大门 ?并说明你的理由 .C3 B12D413A4、将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 ，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h ，则 h 的取值范围 。5、如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄， DA?垂直 AB于 A，CB垂直 AB 于 B，已知 AD=15km，BC=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相等， 则 E 站建在距 A 站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地，已知 AD=8m， CD=6m， D=9

21、0， AB=26m， BC=24m，求这块地的面积。精选考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D的表面上，求从顶点 A 到顶点 C的最短距离B2、 如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cmA3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线考点十二、航海问题1、一轮船以 16 海里 / 时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里 / 时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 _海里2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M处，在点 A 处测得某岛 C在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。CADB