高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线106圆锥曲线的综合问题专用题组理新人教B版Word格式文档下载.docx

1、（2）设P（x0,y0）（y03）为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.解析（1）解法一:设M的坐标为（x,y）,由已知得|x+2|=-3.易知曲线C1上的点位于直线x=-2的右侧,于是x+20,所以=x+5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法二:由题设知,曲线C1上任意一点M到圆心C2（5,0）的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C1是以（5,0）为焦点,直线x=-5为准线的抛物线.故其方程为y2=20x.（2）当点P在直线x=-4上运动时,P的坐标为（-4,y0）,

2、又y03,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y-y0=k（x+4）,即kx-y+y0+4k=0,于是=3.整理得72k2+18y0k+-9=0.设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程的两个实根.故k1+k2=-=-.由得k1y2-20y+20（y0+4k1）=0.设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,则y1,y2是方程的两个实根,所以y1y2=.同理可得y3y4=.于是由,三式得y1y2y3y4=6 400.所以,当P在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6 400

3、.评析本题考查了直线、圆、抛物线的基础知识;考查了学生的运算求解能力.在运算时运用整体运算的技巧至关重要.考点二最值与范围问题7.（xx福建,9,5分）设P,Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6答案D设Q（cos ,sin ）,圆心为M,由已知得M（0,6）,则|MQ|=5,故|PQ|max=5+=6.8.（xx安徽,19,13分）如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x（p10）和E2:y2=2p2x（p20）,过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两

4、点.（1）证明:A1B1A2B2;（2）过O作直线l（异于l1,l2）与E1,E2分别交于C1,C2两点.记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.解析（1）证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x（k1,k20）,则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以=2p1,=2p2,故=,所以A1B1A2B2.（2）由（1）知A1B1A2B2,同理可得B1C1B2C2,C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此=.又由（1）中的=知=.故=.9.（xx四川,20,13分）已知椭圆C:+=1（ab0）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角

5、形.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.（i）证明:OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）;（ii）当最小时,求点T的坐标.解析（1）由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.（2）（i）由（1）可得,F的坐标是（-2,0）,设T点的坐标为（-3,m）.则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得

6、（m2+3）y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8（m2+3）0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m（y1+y2）-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.（ii）由（i）可得,|TF|=,|PQ|=.所以=.当且仅当m2+1=,即m=1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是（-3,1）或（-3,-1）.评析本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想.10.（x

7、x重庆,21,12分）如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4.（1）求该椭圆的标准方程;（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQPQ,求圆Q的标准方程.解析（1）由题意知点A（-c,2）在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=得b2=8,从而a2=16.故该椭圆的标准方程为+=1.（2）由椭圆的对称性,可设Q（x0,0）.又设M（x,y）是椭圆上任意一点,则|QM|2=（x-x0）2+y2=x2-2x0x+8=（x-2x0）2-+8（x-4,4）.设P

8、（x1,y1）,由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1（-4,4）,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.因为PQPQ,且P（x1,-y1）,所以=（x1-x0,y1）（x1-x0,-y1）=0,即（x1-x0）2-=0.由椭圆方程及x1=2x0得-8=0,解得x1=,x0=.从而|QP|2=8-=.故这样的圆有两个,其标准方程分别为+y2=,+y2=.评析本题考查了椭圆的标准方程、几何性质、函数的最值等知识,考查了运算能力,分析问题和解决问题的能力,综合性较强.11.（xx北京,19,14分）已知曲线C:（5-m）x2+

9、（m-2）y2=8（mR）.（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;（2）设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方）,直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.解析（1）因为曲线C是焦点在x轴上的椭圆,所以解得m0,即k2设点M,N的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=,kAG=-,所以kAN-kAG=+=+=k+=k+=0.即kAN=kAG,故A,G,N

10、三点共线.评析本题主要考查直线与椭圆的位置关系.考查学生计算能力及转化与化归思想.12.（xx四川,21,12分）如图,动点M与两定点A（-1,0）、B（2,0）构成MAB,且MBA=2MAB.设动点M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程;（2）设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|0,且y0.当MBA=90时,点M的坐标为（2,3）.当MBA90时,x2,由MBA=2MAB,有tanMBA=,即-=.化简可得,3x2-y2-3=0.而点（2,3）在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x1）.（5分）（2）由消去y,可得x2-

11、4mx+m2+3=0.（*）由题意,方程（*）有两根且均在（1,+）内,设f（x）=x2-4mx+m2+3,所以解得m1,且m2.设Q、R的坐标分别为（xQ,yQ）、（xR,yR）,由|PQ|1,且m2,有1-1+n）,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记=,BDM和ABN的面积分别为S1和S2.（1）当直线l与y轴重合时,若S1=S2,求的值;（2）当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2?并说明理由.解析依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1:+=1,C2:+=1.其中amn0,=1.（1）解法一:如图1,若直线l与y

12、轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|OM|=a|BD|,S2=|AB|ON|=a|AB|,所以=.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,于是=.若=,则=,化简得2-2-1=0.由1,可解得=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=S2,则=+1.如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=|BD|OM|=a|BD|,S2=|AB|ON|=a|AB|.所以=.（2）解法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx（k0）,点M（-a,0）

13、,N（a,0）到直线l的距离分别为d1,d2,则d1=,d2=,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以=,即|BD|=|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=（-1）|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=（+1）|AB|,于是=.将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得xA=,xB=.根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是=.从而由和式可得=.令t=,则由mn,可得t1,于是由式可解得k2=.因为k0,所以k2于是式关于k有解,当且仅当0,等价于（t2-1）1,可解得t1,即1,解得1+,所以当11+时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=S2.0）,点M（-a,0）,N（a,0）到直线l的距离分别为d1,d2,则又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以=.因为=,所以=.由点A（xA,kxA）,B（xB,kxB）分别在C1,C2上,可得+=1,+=1,两式相减可得+=0,依题意xAxB0,所以所以由上式解得k2=.因为k20,所以由0,可解得1.从而1评析本题综合考查直线与圆锥曲线相交得到的三角形的面积的问题.解决此问题的关键:首先将面积比转化成线段比,再通过常规方法的计算构造方程或不等式进行求值或求范围.难度较大,对计算能力、转化能力要求很高.