二次函数动态综合问题.docx

1、二次函数动态综合问题课程名称：二次函数综合问题 -动点问题教学内容1. 二次函数是整个初中数学的难点，也是考试的热点和重点。在中考中，二次函和地位：数一般都会与几何问题有机整合，再加上动点运动，成为中考的压轴大题。这类题目往往难度较大，需要考生有较强的整合能力和分析、计算能力。分值11 分。教材分析重点：数形结合思想在二次函数性质中的应用，求点坐标，函数表达式，与动点结合问题。难点：函数思想与几何思想相互转化求解。课时规划3 课时1 解决二次函数与图形共存问题 ,教学目标2 根据二次函数图像与性质，解决动点等综合问题分析1、复习、检查上次课重点知识2、梳理本节课重要知识教学思路3、例题精讲4、

2、重点、常见题型（图形变换）5、易错点，常用解题方法和技巧6、课堂总结，课下安排必讲知识点一、复习重要内容二、梳理本节课重要知识：当题目中出现动点时，学会解题思路“化动为静” ，将动点的几种特殊的运动状态定格，这样动点就不是动点了。动点问题它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力， 不要被 “动” 所迷惑， 而是要在 “动” 中求“静”，化“动”为“静” ，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。例 1：动点问题如图，点 A，B 的坐标分别为（ 1, 4）和（ 4, 4）,抛物线 y a( xm)2n 的顶点在线段 AB

3、 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点（ C 在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为3，则点 D的横坐标最大值为（）A 3B1C 5D8例 2、动线问题如图，已知 A， B 两点坐标分别为（ 28，0）和（ 0， 28），动点 P 从 A 开始在线段AO 上以每秒 3个单位长度的速度向原点 O 运动动直线 EF从 x 轴开始以每秒 1 个单位长度的速度向上平行移动（即 EF x 轴），并且分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E， F，连接 FP，设动点 P 与动直线EF同时出发，运动时间为 t 秒（1）当 t=1 秒时，求梯形 OPFE的面积（2） t 为何值时，梯形 OPFE的面积最大，

4、最大面积是多少？例 3、动点与动线相结合如图，在平面直角坐标系中， 矩形 OABC的两边分别在 x 轴和 y 轴上， OA= cm，OC=8cm，现有两动点 P、 Q 分别从 O、 C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 cm的速度匀速运动， Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1cm 的速度匀速运动、设运动时间为 t 秒（1）用 t 的式子表示 OPQ 的面积 S；（2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（ 3）当 OPQ 与 PAB和 QPB相似时，抛物线 经过 B、P 两点，过线段 BP上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N，当线段

5、 MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比例 4、动形问题如图，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD和等腰 PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点 B、C、 Q、R在同一条直线 l 上，当 C、Q 两点重合时，等腰PQR 以1cm/ 秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动， t 秒后正方形 ABCD与等腰 PQR重合部分的面积为 Scm2解答下列问题：（1）当 t=3 秒时，求 S 的值；（2）当 t=5 秒时，求 S 的值；（ 3）当 5 秒 t 8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值提示：四种运动状态三、例题精讲例 1、

6、如图，抛物线 与 y 轴交于点 A，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC x 轴，垂足为点 C（ 3， 0）.（ 1）求直线 AB 的函数关系式；（ 2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点P 作 x 轴，交直线AB 于点M，抛物线于点N，设点P 移动的时间为t 秒， MN的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（ 3）设（ 2）的条件下（不考虑点 P 与点O，点C 重合的情况），连接CM， BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为

7、菱形？说明理由 .分析：第（ 1）根据 A 、B 两点坐标，用待定系数法易得。第（2）s 即为线段 MN 的长度，因 P在 OC 上移动，所以点 N 必在 M 的上方，所以s 就是N 点的纵坐标减去 M 点的纵坐标。第（ 3）要 四边形 BCMN为平行四边形，因 BC MN，只要 BC MN即可；平行四边形 BCMN是否为菱形，只要把所求 t 的值代入，看邻边是否相等。例 1：解（ 1）把 x=0 代入 ，得把 x=3 代入 ，得 ， A、B 两点的坐标分别（ 0， 1）、（ 3， ）设直线 AB的解析式为 ，代入 A、B 的坐标，得，解得所以，（ 2）把 x=t 分别代入到 和分别得到点 M

8、、 N 的纵坐标为 和MN= - （ ）=即点 P 在线段 OC上移动，0 t 3.(3)在四边形 BCMN中， BC MN当 BC=MN时，四边形 BCMN即为平行四边形由 ，得即当 时，四边形 BCMN为平行四边形当 时， PC=2， PM= ， PN=4，由勾股定理求得 CM=BN= ,此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形 BCMN为菱形；当 时， PC=1， PM=2，由勾股定理求得 CM= ,此时 BC CM，平行四边形 BCMN不是菱形；所以，当 时，平行四边形 BCMN为菱形例2、如图，已知抛物线y ( )2( )经过点( ， ) ，抛物线的顶点为D，a x 1a 0A2 0

9、过O作射线 OM AD 过顶点 D 平行于轴的直线交射线OM 于点 C，B 在轴正半轴上，连结 BC（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P运动的时间为 t（ s）问：当 t 为何值时， 四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）若 OC OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为 t（ s），连接 PQ，当 t 为何值时，四边形BCPQ 的面

10、积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长分析：（ 2）关键是合理转化为相应线段之间的关系；（ 3）把不规则最值图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。例 2：解：（ 1）把 A( 2，0) 代入 y a( x 1) 2 ，得 0a( 2 1) 2 a该抛物线的解析式为 y ( x 1) 2即 y x2 x （ 2）设点 D 的坐标为 ( xD， yD ) ，由于 D 为抛物线的顶点 xD 1， yD12 1 点D 的坐标为( 1，) 如图，过点D 作DN x轴于N，则DN ，AN3， AD6 DAO 60OM AD当 AD OP 时，四边形 DAOP 为平行四边形OP 6t 6（ s）当 DP

11、OM 时，四边形 DAOP 为直角梯形过点 O 作 OEAD 轴于 E在 Rt AOE 中， AO 2， EAO 60， AE 1（注：也可通过 Rt AOE RtAND 求出 AE 1）四边形 DEOP 为矩形， OP DE 6 15 t 5（ s）当 PDOA 时，四边形 DAOP 为等腰梯形，此时 OP AD 2AE 62 4t 4（ s）综上所述，当 t 6s、5s、 4s 时，四边形 DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3） DAO 60， OM AD ， COB 60又 OC OB， COB 是等边三角形， OB OC AD 6BQ 2t， OQ 6 2t（0 t3）过

12、点 P 作 PF x 轴于 F，则 PF tS 四边形 BCPQ S COB S POQ 6 ( 6 2t) t( t )2当 t （ s）时， S 四边形 BCPQ 的最小值为 此时 OQ 6 2t 6 2 3，OP ， OF ， QF 3 ，PF PQ 四、本节课重点、常见题型本节课重点内容是二次函数图像与几何图形：三角形，四边形的动点结合，是函数性质，图像的判定等综合问题。1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y =+1，点 C 的坐标为 (4， 0)，平行四边形 OABC的顶点 A， B 在抛物线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，

13、 0)在 x 轴上 .(1)写出点 M 的坐标；(2)当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时 . 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1： 2 时，求 t 的值 .分析：分析：（ 2）有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另两边也平行的情况排除掉；（3）因两边大小不定，要进行分类讨论，解 (1) OABC 是平行四边形， AB OC，且 AB = OC =4，A ， B 在抛物线上， y 轴是抛物线的对称轴， A ， B 的横坐标分别是 2 和 2，代入 y = +1 得， A(2, 2 ) ， B

14、( 2， 2)，M (0， 2)，(2) 过点 Q 作 QH x 轴，设垂足为 H， 则 HQ = y ， HP = xt ，由 HQP OMC ，得： , 即： t = x 2y ,Q(x,y)在y =+1上， t = + x 2.当点当 QP 与点与 B 或C 重合时，梯形不存在，此时， t = 4，解得A 重合时，四边形为平行四边形，此时， x =x = 12, x 的取值范围是 x1, 且 x2 的所有实数. 分两种情况讨论：1）当 CM PQ 时，则点 P 在线段 OC 上，CMPQ，CM = 2PQ ，点 M 纵坐标为点 Q 纵坐标的 2 倍，即 2 = 2( +1) ，解得 x

15、= 0 ， t = + 0 2 = 2 .2）当 CM PQ 时，则点 P 在 OC 的延长线上，CM PQ， CM =PQ，点 Q 纵坐标为点 M 纵坐标的 2 倍，即 +1=2 2，解得： x = . 当 x = 时，得 t = 2 = 8 , 当 x = 时， 得 t = 2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林8.专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1 与投资量 x 成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润y2与投资量x 成二次函数关系，如图 12-所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润 y1 与 y2

16、关于投资量 x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？六、课堂小结、课下安排1、（ 2008年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.有最小值2.（ 09 洛江）我区某工艺厂为迎接建国 60 周年，设计了一款成本为 20 元 件的工艺品投放市场进行试销经过调查，其中工艺品的销售单价 x （元 件）与每天销售量 y （件）之间满足如图 3-4-14 所示关系（ 1）请根据图象直接写出当销售单价定为 30 元和 40 元时相应的日销售量；（ 2）试求出 y 与 x

17、之间的函数关系式；若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元 / 件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润 =销售总价成本总价） 。3 如图，等腰梯形 ABCD中， AB=4， CD=9， C=60，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动 .（1）求 AD 的长；（2）设 CP=x，问当 x 为何值时 PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（ 3）探究：在点 M，并求出BC边上是否存在点 M 使得四边形BM 的长；不存在，请说明理由 .PDQM 是菱形？若存在，请找出