六年级数学下册第四单元正比例与反比例单元分析.docx

1、六年级数学下册第四单元正比例与反比例单元分析四、正比例与反比例单元学习目标1.结合具体情境,体会生活中存在着大量互相依赖的变量,体会数学与生活的联系；在体情境中,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系,知道列表或画图都是表示变量之间关系常用的方法。2、结合丰富的实例,经经历正比例、反比例意义的建构过程,能能从变化中看到“不变”,认识正比例和反比例;能根据正比例和反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比或反比例;能举出生活中成正比例和成反比例量的实例。3.初步了解正比例的图象是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象。单元学习内容分析本单元是在学生已经学习了比和比例

2、等知识的基础上进行学习的,主要学习正比例和反比例的相关知识。组织本单元学习内容的思路如下。我们生活在一个变化的世界中,从数学的角度研究变量和变量之间的关系,将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。同时,研究现实世界中的变化规律,也使学生从常量的世界进人了变量的世界,开始接触一种新的思维方式。我们们知道,函数是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型,函数思想就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系,虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式,也不需要学生掌握“函数”和“函数思想”的名称,但进行函数思想的渗透的教学是必要的。国际数学课程发展的趋势也表明,对变量之间关系

3、的探索、描述应从小学阶段非正式地开始,早期对函数的丰富经历是十分重要的。在小学阶段渗透函数思想,运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析问题的数量关系,可以使学生懂得一切事物都是不断变化且相互联系的,从而了解事物的变化趋势及其运动的规律,可以为学生以后进一步学习数学、物理等知识莫定良好的基础。本单元的正比例例、反比例就是两个重要的函数关系。其实,在本单元学习之前,学生学习的探索数、形的变化规律,字母表示数等,已经为学生积累了研究变量之间关系的经验。本单元开始正式学习简单的函数知识,学习正比例、反比例后,还能帮助学生初步学会从变量的角度来认识以前学过的一些数量关系,运运用运动和变化的观点、集合

4、和对应的思想分析问题的数量关系,从而初步体会函数思想。本单元教科书编写的基本思路主要体现在以下几个方面。1.提供具体情境,引导学生体会生活中存在大量互相依存的变量,拓宽知识学习的背景。函数是刻画变量之间相互关系的重要模型,体会函数思想需要丰富的情境,学生需要结合具体的情境感受生活中存在着很多变量,并体会到有的变量之间是存在一定关系的,如一个变量随另一个变量的变化而变化等。因此,在正式学习正比例、反比例之前,教禾科书设了“变化的量”一课,通过日常生活中的问题,使他们体会变量和变量之间相相互依存的关系,并尝试对这些关系进行大致的描述。同时,教不科书在呈现具体情境中变量之间的关系时,分别运用了表格表

5、示、图象表示等多种表示方式,使学生对函数的多种表示有丰富的经历、体验。这样的设计,拓宽了学生理解正比例、反比例的知识背景,使学生能较好地在“变量”的知识背景中理解正比例和反比例,有助于学生运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析数量关系,初步体会函数思想。2.经历知识的形成过程,引导学生从变化中看到到“不变”,理理解正比例和反比例的意义正比例和反比例在生活中有着广泛应用,但是对于六年级的小学生来说很难自己从生活现象中抽象出数学关系。因此,教不科书密切联系学生已有的生活经验和学习经验,设计了一系列情境,引导学生从变化中看到“不变”,经历从具体情境中抽象出正比例和反比例的过程。如正比例的学习,教

6、科书首先呈现了正方形面积与边长、周长与边长的表格,通过实例让学生看到每一组中的两种量的变化情况,引导学生初步发现“正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加”;再通过对比这两组量的变化的区别,从变化中看到“不变”,初步体会周长与边长、面积与边长之间的变化规律不同。然后再结合“路程与时间”两个变量关系的研究,丰富学生认识正比例的例证,初步理解正比例的意义。在正文两个正例个反例的基础上,试一试中又提供了一正一反两个情境,帮助学生辨析理解正比例的意义。反比例的教学也是如此。这样,教科书从不同的角度(实际生活、图形)提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境,既既包括“时间与路程”的生活情境,也包括正

7、方形周长与边长、面积与边长等数学情境,情境中有正例也有反例,为学生理解解“正比例“反比例”的意义提供了丰富的直观背景和具体案例,以引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例的过程,从而理解正比例和反比例的意义。3.充分利用直观图象,数形结合,帮助学生进一步认识正比例教科书安排了“画一画”的活动,让学生先填表判断“看电影的人数与所付票费”是否成正比例,再将这组数据用“描点法”画在方格纸上,引导学生发现描出的点正好在一条直线上,了解正比例图象的特点。然后,引导学生读懂图,理解正比例图象上的点所表示的实际意义,并利用直线上的点的特征进行分析推断,借助图象直观进一步认识成正比例的两个量的变化规律。需要说

8、明的是,由于反比例图象是一条曲线,对小学生来说理解比较困难,根据标准(20111年版)的要求,教不科书没有安排反比例图象的教学。另外,教科书还特别注重知识之间的联系,呈现了大量学生以前学过的量与量之间的关系。如,底一定时,平行四边形的面积与高;圆的周长与直径等。鼓励学生判断它们之间的变化关系,进一步从正比例、反比例的角度认识这些变化关系课时安排建议内容 建议课时数变化的量 1课时正比例 2课时画一画(正比例图象) 1课时反比例 2课时练习四 1课时本单元建议教学课时数为7课时。教师在理解教科书意图的基础上,可以根据学生的实际情况对课时进行适当调整。变化的量学习目标1.结合具体的数学情境认识“变

9、化的量”,并通过描述活动,了解其中一个变量是怎样随着另一个变量而变化的,知道列表与画图都是表示变量关系的常用的方法,积累表征变量的数学活动经验。2.通过举例与交流活动,体会生活中存在着大量互相依存的变量,了解日常生活中一个变量随着另一个变量而变化是普遍存在的现象。编写说明“变化的量”是学习正比例与反比例的起始课。正比例与反比例是刻画变量之间相互关系的重要模型,在正式学习正比例、反比例之前,教科书安排了“变化的量”一课,设计了系列情境,结合日常生活中的问题,使学生体会变量和变量之间相互依存的关系,并尝试对这些关系进行大致的描述。教科书这样安排的目的是拓宽学生理解正比例、反比例的背景,使学生能较好

10、地在“变量”的知识背景中理解正比例和反比例,对函数的表格表示、图象表示等多种表示有丰富的经历、体验,有助于学生体会函数思想。需要说明的是,本节课的本质是认识变量及变量之间的变化关系,但对小学生来说,变量和常量的概念比较抽象,所以本节课用了“变化的量”这样一个生活化的概念作标题,以有利于学生的理解。教师自身要清楚关于变量的知识,具体教学时,只要引导学生用“变化的量”“一个量随着另一个量的变化而变化”等通俗的语言描述就可以了。教科书呈现了两个具体情境,鼓励学生在观察、思考、讨论和交流中,体会在生活情境中,存在着大量互相依赖的变量:一个量变化,另一个量也会随着发生变化;一个量取确定的值,另一个量的取

11、值也随着确定,两个变量之间存在着对应关系。教科书正文中选择的两个情境都不是正比例或反比例关系,是希望学生从一般的变化关系人手认识变化的量,再到逐步认识正比例与反比例有特定规律的变化关系。这两个情境分别用表格、图象呈现变量之间的关系,以使学生体会表示变量之间关系的多种形式。淘气和笑笑分别用表格和图表示了妙想6岁前的体重变化情况。教科书用表格和图两种不同的方法表示了妙想6岁前的体重变化情况。目的是引导学生借助生活经验,通过读懂表格和图,了了解妙想6岁前年龄和体重的变化及其对应关系:妙想的年龄在增长,体重也在增加,妙想的体重随着年龄的增长而増加。教学建议教学时,建议参考以下教学环节。(1)教师可同时

12、呈现表格和图,先让学生独立观察和思考“哪些量在发生变化?妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的”?(2)组织交流,鼓励学生用自己的话描述,如“年舲在变化,体重也在变化”“妙想的年龄在增长,体重也在增加,妙想的体重随着年龄的増长而增加”等,要引导学生倾听别人的观点,并进行质疑、对话。从图中学生还可能会发现:从出生到1岁,妙想体重增长得最快等(3)组织讨论。为了防止学生对“妙想的体重随着年龄的增长而增加”的理解产生偏差,在学生充分交流后,教师可以追同:在成长过程中,妙想的体重是不是一直这样变化的呢?通过讨论,引导学生关注“6岁前”的信息.了解这一变化规律其实是在特定年龄段的规律,超出图象和表格中

13、的年龄段,所发现的规律就没有意义,增进学生对量与量之间变化关系的理解。骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化。教科书呈现了骆驼体温随时间变化的图象,并提出了三个问题,引导学生读懂图象蕴含的数学信息,发现骆驼体温的变化规律,体会变量之间的关系。在读图的过程中，学生初步体会到骆驼每一天的体温变化随时间的变化而呈周期性的变化。教学建议教学时,教师应首先指导学生读懂图,先明确图中表示的是哪两个量在发生变化,并能够从图中读出某一时间所对应的体温,以及某一体温所对应的时间变化的范围。然后要求学生带着教科书中的问题,从图中寻找答案;在小组交流的基础上,进行全班展示,进行质疑、释疑;最后

14、,教师要针对学生的交流情况,进行教学第一个问题,一天中骆驼体温最高是40,最低是35。第二个问题,教师应引导学生整体观察图中所反映出来的变化情况。一天中,从0时到4时,骆驼的体温在下降;从4时到16时,骆驼的体温在上升;从16时到24时,骆驼的体温又在下降。学生也可以这样说,从4时到16时,骆驼的体温在上升;从16时到第二天的4时,骆驼的体温在下降。第三个问题,教学时,要让学生明白第二天的8时与第一天的8时相比,增加了24时,应是图中的32时。再引导学生发现第二天8时骆驼的体温与前一天8时相同,还可以让学生发现骆驼体温相同的其他时间点。在上述三个问题的交流过程中,教师引导学生逐步发现骆驼的体温

15、随时间的变化而呈现“周期性变化”的变化规律,并体会“周期”的具体意义:在第一天任何一个时刻路驼的体温在24时后都会重复出现,这就是“周期”现现象,这个变化规律的周期是24时。在大自然和日常生活中有很多变化的量。你还能找出一个量随着另一个量变化面变化的例子吗?与同伴交流。在初步认识上述变化的量的基础上,通过学生举例说明生活中变化的量,拓展学生对变化的量的认识。教学建议通过举例,进一步促进学生对“变化的量”的理解。生活中一个变量随着另一个变量变化的例子虽然很多,但举例对小学生而言是很有挑战性的,所以,可以开展小组合作,在组内互相启发,集思广益,教师也可以作一定的提示等;然后再全班展示交流,丰富学生

16、对变量的认识,体会变量与现实生活有密切的联系。学生举的例子可以有很多,如,一天的气温随时间的变化而变化,汽车行驶的路程随时间的变化而发生变化等。交流时,只要学生说得合理,教师就应给予肯定。正比例学习目标1.结合“正方形的周长与边长,正方形的面积与边长,路程、时间与速度”等情境,经历正比例意义的建构过程,能从变化中看到“不变”,认识正比例。2.能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例,能举出生活中成正比例的实例,感受正比例在生活中的广泛应用。3.经历比较、分析、归纳等数学活动,提高分析比较、归纳概括能力,初步体会函数思想。编写说明学生已经学习过比和比例的有关知识,并结合具体情境体会了

17、生活中常见的变量之间的关系,这些都为学生学习正比例莫定了基础。正比例在生活中有着广泛的应用,但对小学生来说正比例的意义的理解还是有一定难度的。因此,教科书密切联系学生已有的生活经验和学习经验设计了一系列情境,引导学生研究两个变量之间的关系,从变化中看到“不变”,经历从具体情境中抽象出正比例的过程。通过对具体间题的讨论,使学生初步理解正比例的意义,会根据正比例的特征,判断一些变量关系是否是正比例,体会正比例在生活中的广泛存在。下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况,把表格填写完整,并说说你分别发现了什么。在前一节课课“变化的量”的学习基础上,教科书提供了正方形周长与边长、面积与边长两个

18、表格,引导学生填表,观察分析正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况,发现每组中的两个量都在变化,而且两组变化有共同的特点,即“正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加的”。教科书选择这两个变量关系的例子,是学生熟悉的数学世界里的几何量之间的变化关系,是把学生已有的经验作为探究新知的基础。教学建议教学时,在学生把表格填写完整的基础上,让学生先针对正方形周长与边长的变化情况说说自己的发现。学生可能有如下发现:(正方形的周长总是它边长的4倍;正方形的周长与它边长的比不变;正方形的边长每增加1cm,它的周长都增加4cm;(正方形的边长扩大几倍,它的周长也扩大相同的倍数;正方形的周长随着边长的增加

19、而增加。然后,针对正方形边长与面积的变化情况,再让他们说一说自己的发现。通过对比与思考,学生不难发现面积与边长之间的对应关系,和周长与边长之间的对应关系有哪些相同和不同的特点。进而,让学生再思考:面积与边长、周长与边长之间有哪些相同的特点?当学生都认同面积和周长都是随边长的增加而增加时,就就可以进入下面一个问题的讨论了。周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗?在学生发现两组量的变化情况的基础上,引导学生发现两组量变化的不同点,从变化中发现“不变”,为理解正比例意义莫定基础。也就是要让学生认识到正方形的周长随边长的变化过程中,周长与边长的比值保持不变,而正方形面积随边长变化的过程中,面积与边

20、长的比值也在变化。这是学生后续认识正比例的一个正例和一个反例,反例的存在有利于学生在对比中理解正比例的意义。教学建议顺着上面问题的讨论,学生可以根据下面任何一个“不同”说明周长与边长、面积与边长之间的变化规律是不同的:正方形的周长是边长的4倍,但面积与边长的倍数关系是不确定的;正方形周长与边长的比不变,但面积与边长的比是不相等的;正方形边长每增加1cm,周长都增加4cm,但面积增加的数量却不相等;正方形边长扩大2倍,周长也扩大2倍,但面积却扩大了4倍。上述相对是学生比较容易发现的,也要让学生自己去发现;与如果学生没有发现,教师也不必补充。倍数的角度与比值的角度,其实是等价的;当学生发现比值的角

21、度有困难时,教师可以作一定的提示,引导学生写出两组量的对应的比,并求出比值,观察比值的特点,从变化中看到“不变”,从而发现规律。一辆汽车以90千米/时的速度行驶,行驶的路程与时间如下。把下表填写完整,你从表中发现了什么?这是现实世界学生最熟悉的路程、时间与速度之间的数量关系。速度不变,就是路程随着时间变化而变化的过程中,路程与时间的比值保持不变,由此引人“路程与时间成正比例”,为学生理解正比例丰富了实例支撑。在上述两个情境讨论、发现的基础上,教科书结合路程、时间与速度描述了正比例的意义,并让学生思考“在第1个问题中,正方形的周长与边长、面积与边长成正比例吗?”需要注意的是,根据小学生的年龄特征

22、和学习特点,教科书没有给出抽象的正比例定义,而是给出了结合具体情境的描述性定义,因此,需要通过举一反三的方法,即通过一些实例来丰富对正比例的认识。本节教科书中提供了两个正例和一个反例,正是为了帮助学生认识正比例的意义。教学建议建议先让学生把汽车行驶的时间和路程表填完整,引导学生观察并思考:当时间发生变化时,路程怎样变化,变化有什么规律。教师要鼓励学生用自己的语言描述变化关系如:时间是原来的几倍,路程也是原来的几倍;时间是原来的几分之一,路程也是原来的几分之一等。学生的语言只要合理都应鼓励。在此基础上,教师可以引导学生从比值不变的角度认识路程与时间的变化关系,即这个规律就是路程与时间的比值不变。

23、在此基础上,教师引导学生结合情境认识正比例。在像教科书一样结合“路程与时间的比值不变”揭示正比例意义的基础上,教师要引导学生举一反三,分析判断“第1个问题中,正方形的周长与边长、面积与边长是否成正比例”。试一试在前面学生探索、初步理解正比例的基础上,“试一试”主要要教学“根据正比例的意义,判断两个量是否成正比例”,关键是引导学生交流怎样思考和判断。圆的面积与半径成正比例吗?你是怎么想的?与同伴交流。引导学生用正比例的意义判断是否成正比例,关键是要让学生明白怎样去思考这样的问题。教科书呈现了学生可能出现的两种想法,第一种直接用公式想,第二种列个表通过举实际数据来试一试、想一想。这里要让学生学会第

24、二种这样思考问题的方法。一是通过列举并用表格表示相关的两个变量之间的数值对应关系;二是计算两个变量每一对数值的比值是根据上述比值是否不变,来判断这两个变量是否成正比例。教学建议建议先让学生独立思考,引导学生用自己的语言说说是怎样想的,与同学交流。再把全体同学不同的方法和观点呈现出来,组织全班交流讨论。特别是要引导学生通过举例列出几组相对应的数值来思考,发现“尽管圆的面积随着半径的变化而变化,但圆圆的面积与半径的比值在发生变化”,所以圆的面积与半径不成正比例。通过教学,让学生初步学会怎样判断两个量是否成正比例。乐乐和爸爸的年龄变化情况如下,把表填写完整。他们的年龄成正比例吗?为什么?乐乐和爸爸的

25、年龄是否成正比例是反例,目的是加深学生对正比例意义的理解,克服思维定式:认为只要一个量随另一个量的增加而增加、减少而减少,两个量就成正比例。实际上,爸爸的年龄减乐乐的年龄=26,差相等,不成正比例。这样通过判断一个不成正比例的实例,既能加深正比例特征的认识,而且还能体会只要找出两个变量的两对对应值的比值不等,就可以确定这两个变量不成正比例。教学建议建议先让学生把表格填写完整,再引导学生观察、交流。引导学生发现:虽然乐乐的年龄增加,爸爸的年龄也增加,但是乐乐的年龄与爸爸的年龄的比值随着时间的变化发生变化,两者的比不是一个确定的值。所以,父子的年龄不成正比例。分别举一个成正比例和一个不成正比例的例

26、子,与同伴交流。在上述辨析、判判断的基础上,引导学生尝试举出成正比例和不成正比例的例子,加深对正比例的认识教学建议在上面两个问题讨论的基础上,引引导学生自己举出生活中的例子,教师要关注学生所举实例的合理性,并注意引导学生说说自己是怎么想的。例如,一辆汽车每时行驶300k汽车行驶的路程与时间成正比例。本例中学生给出的数量关系和得出的结论都是正确的,教师可以引导学生关注汽车每时行驶300km不合理。画一画(画正比例图象)学习目标1.结合具体情境,通过“画一画”的活动,初步认识正比例图象,体会“正比例图象是一条直线”的特点,深化对正比例的认识。2.会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,理解正比例图

27、象上的点所表示的意义。编写说明本内容主要是让学生初步认识正比例图象,并借助直观图象加深对正比例的认识。画函数图象需要在直角坐标平面上画,由于小学生还没有学直角坐标系方面的知识,所以教科书正文和练习都是在标明纵横轴相关数据的方格纸上让学生画正比例图象,这就要求教师要注意把握教学目标:本节课的重点是学生会读懂正比例图象,理解正比例图象上的点所表示的意义。教科书创设了“看电影的人数与所付票费”的情境,精心设计问题串,促进学生的“读图”和深人思考,引导学生学会读懂图,认识正比例图象及其特征,体会可以用图的形式去直观表示两个成正比例的量的变化关系,促进对正比例的理解。把上表填写完整,并判断看电影的人数与

28、所付票费是否成正比例。联系上节课已学的正比例知识,让学生填到断两个量是否成正比例,并为画和和理解正比例图象提供素材,也有利于知识之间的联系。教学建议先让学生把表格填写完整,再判断看电影的人数与所付票费是否成正比例,并说说是么想的根据上表,可以描出下图中的点,说说(2,4)是如何得到的,(8,16)呢?通过根据“数”描“点”的过程,解图上的点是如何得到的,这些点分别表示什么,初步体会正比例图象的形成过程。教学建议呈现标明纵横轴相关数据的方格纸,引导学生联系上面表中的数据,了解横轴和纵轴表示的意义。然后,可以与学生一起讨论怎样根据表中的数据来描点,如点(2,4)怎么描,先看横轴2,再找纵轴4,两者

29、的交又点就是(2,4),表示2人看电影要付4元钱。再呈现表中画好的其他各点,让学生根据表中的数据说说各点的含义,如,点点(8,16)表示8人看电影要付16元等。连接图上各点,你发现了什么?让学生通过连线,初步感知正比例关系的图象是一条直线。教学建议让学生连接各点,并说说自己的发现,即所描的点都在同一条直线上。点A是直线上一点,这一点表示什么含义?小明说点(100,200)也在这条直线上你认为他说得对吗?通过点A表示什么含义的讨论,引导学生解读和理解正比例图象上的点所表示的意义，如点A表示5人看电影要付10元钱,每个点都表示看电影的人数与所付票费的一组对应数值,即可用(5,10)表示。通过讨论进

30、一步理解直线上的点的特征,即表示所付票费与看电影的人数的比的比值都是2。然后,通过讨论“点(100,200)是否也在这条直线上”,是让学生判断一个图中看不到的点是否在这条直线上,目的是突破图象的限制,让学生能看到图上看不到的点,利用直线上的点的特征判断,从而促进数学思考,增增长学生智慧。教学建议根据画出的正比例图象,引导学生讨论点的意义,判判断点(100,200)是否在这条直线上。先让学生结合图象说说点A表示的意义,横轴对应的是5人,纵轴对应的是10元,联系起来就是5人看电影要付10元。再让学生说说直线上的点有什么特点,学生可以用自已的话描述,如“纵轴上的数是横轴上的数的2倍”“所付票费与看电

31、影的人数的比的比值是2”等。然后,再让学生讨论点(100,200)是否在这条直线上,并说说自己是怎么想的反比例学习目标1.结合“长方形相邻两边的边长,路程、时间与速度”等情境,经历反比例意义的建构过程,能从变化中看到“不变”认识反比例。2.能根据反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成反比例,能举出生活中成反比例的实例,感受反比例在生活中的广泛应用。3.经历比较、分析、归纳等数学活动,提高分析比较、归纳概括能力,初步体会函数思想。编写说明本内容是在学生已经学习“比和比例”“正比例的意义”的基础上进行教学的，着重让学生理解反比例的意义,并会判断两个量是否成反比例关系,体会函数思想。对于反比例意义

32、的认识,学生的生活经验也不是很丰富,学生理解相对要困难一些,学过之后也比较容易遗忘。因此,教科书密切联系学生已有的生活经验和学习经验,从不同的角度(图形、生活实例)提供了有利于学生探索并理解反比例意义的情境,引导学生研究两个变量之间的关系,从变化中看到到“不变”,经历从具体情境中抽象出反比例的过程。本节教科书的设计与“正比例”的结构是相同的,主情境用空间图形的知识引入反比例,充分利用图形直观,与正比例的引入一致,丰富了反比例知识的背景,逐步形成本套教科书的特色。另外,需要说明的是,反比例图象不作要求。用xy表示长方形相邻两边的边长,表1是面积为24cm2的长方形相邻两边边长的变化关系,表2是周长为24cm的长方形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整,并说说你发现了什么。教科书提供了长方形相邻两边边长的变化关系的两个表格,引导学生填表,观察分析长方形“面积一定”和“周长一定”时相邻两边的边长之间的变化情况,发现每组中的两个量都在变化,而且两组变化有共同的特点,即“长方形