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1、高中数学概率公式大全第一章随机事件和概率(1)排列组 合公式从m个人中挑岀11个人进行排列的可能数。 从m个人中挑岀n个人进行组合的可能数。(2)加法和 乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种 方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由in种方法完成，第二个步骤可由11种 方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。(3)一些常 见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 噸序问题(4)随机试 验和随机事 件如果一

2、个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在 进行一次试验之前却不能断言它岀现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事 件、样本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从英中找岀这样一组事件，它具有如下 性质：1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件：2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A, B,C,表示事件，它们是的子集。为必然事件，0为不可能事件。不

3、可能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一左是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。6)事件的 关系与运算1关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)： 如果同时有,则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B.A、B中至少有一个发生的事件：AB.或者A+B.属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示 为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB,或者AB。AB=0,则表示A与B不可能同时发生，称事件 A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A

4、的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。 互斥未必对立。2运算：结合率：A(BC)=(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC) (AUB)nC=(AC)U(BC)徳摩根率： ，(7)概率的 公理化泄义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条 件：lOP(A)0,则称为事件A发生条件下，事件B发生 的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q.B)=1 P(/A)=1-P(B. A)(13)乘法公 式乘法公式：更一般地，对事件Al, A2,An,若P(A1A2Anl

5、)0,则有(14)独立性1两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。2多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)： P(BC)=P(B)P(C)： P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABCP(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件满足1两两互不相容，2 , 则有G(16)贝叶斯设事件，及满足公式1 ,两两互不相容，0, 1, 2,，2 ,则

6、 i=l, 2, . .n此公式即为贝叶斯公式。),通常叫先验概率。，(，.，),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果的概率规律，并作出了“由果朔因“的推断。(17)伯努利概型我们作了次试验，且满足11 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生：11 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；11 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验 发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出 现次的概率，第二章随机变虽及其分布(1)离散型 随机变量的 分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=l,2,.

7、)且取各个值的概率，即事件 (X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk k=l 2则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给 出：O显然分布律应满足下列条件：(1) , , (2) o(2)连续型 随机变量的 分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有9则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 O2 o3)离散与 连续型随机 变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起 的作用相类似。(4)分布函 数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变疑X的分布函数，本质上是一

8、个累积函数。可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间(-X, X内 的概率。分布函数具有如下性质：1 :2。是单调不减的函数，即时，有：3，:4。，即是右连续的：5对于离散型随机变量，： 对于连续型随机变量，(5)八大分 布04分布P(X=l)=p. P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数 是随机变量，设为，则可能取值为。,其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，,，这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布 的特例。泊松分布设随机变量的分布律为 , 则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P() 泊松分布为二项分布的

9、极限分布(np=l n*8)。超几何分布随机变疑X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中 pN)，q=l-po随机变疑X服从参数为P的几何分布，记为G(p)0均匀分布设随机变量的值只落在a,b内，其密度函数在a,b上为常数， 即axb其他，则称随机变量在a, b上服从均匀分布，记为XU(a, b) 分布函数为axb0, x1, xb。当awxivpd时，X落在区间()内的概率为O指数分布0, ,其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为x0o记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或 髙斯(Gau

10、ss)分布，记为。具有如下性质：1的图形是关于对称的：2当时，为最大值；若，则的分布函数为O O参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，英密度函数 记为分布函数为O是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)=l-(X)且(0)= o如果，则。O(6)分位数下分位表：: 上分位表：O(7)函数分 布离散型已知的分布列为9的分布列(互不相等)如下：若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)0(2)连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一 个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D.即 D=(X,Y)|ax

11、b.cy0;(2)(2)二维随 机变量的本 质(3)联合分 布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布 函数。分布函数是一个以全平而为其泄义域，以事件的概率为函数值的一个实值函 数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)(2)F (x,y)分别对x和y是非减的，即当 x2xl 时，有 F (x2,y) F(xl,y);当 y2yl 时,有 F(x,y2) F(x,yl);(3)F (x,y)分别对x和y是右连续的，即(4)(4)对于(4)离散型 与连续型的 关系(5)边缘分离散型 X的边缘分布为

12、布Y的边缘分布为0连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分 布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件：1可分离变疑2正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数若X1,X2,XimXm+1,Xn相互独立，h.g为连续函 数，贝U：h (XI, X2,Xm)和 g (Xm+1,Xn)相互独立。 特例：若X与Y独立，

13、贝1：h (X)和g (Y)独立。 例如：若X与Y独立，贝1：3X+1和5Y-2独立。(8)二维均 匀分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为苴中SD为区域D的而积，则称(X, Y)服从D上的均匀分布，记为(X, Y) U (D)o例如图3.1、图3.2和图33。y1D10 1 x图3.1yD2110 2 X图3.2yD3dc0 a b x图3.3(9)二维止 态分布设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中是5个参数，则称(X, Y)服从二维正态分布，记为(X, Y)N (由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布, 即XN (但是若XN ( , (X, Y)未必

14、是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，fZ(z)= 两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。9Z=max,min(X 1, X2 .Xii)若 相互独立，英分布函数分别为，则Z=max,nnn(X 1 ,X2，Xn)的分布函数为：分布设n个随机变疑相互独立，且服从标准正态分布，可 以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为 W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变 量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率

15、密度为我们称随机变戢T服从自由度为11的t分布，记为TKn)oF分布设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为nl,第二个自 由度为n2的F分布,记为Ff(nl,n2).第四章随机变量的数字特征(1)- 维随机 变量的 数字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变疑，其分布 律为 P()=pk, k=l,2,卫，(要求绝对收敛)设X是连续型随机变疑，其槪率密 度为f(x),(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2, 标准差91对于正整数k,称随机变量X的 k次幕的数学期望为X的k阶原点 矩，记为vk,即k=

16、E(Xk)=, k=l,2,.2对于正整数k,称随机变量X与E (X)差的k次幕的 期望为X的k阶中心矩，记为，即=,k=l,2,.1对于正整数k,称随机变竝X的k 次幕的数学期望为X的k阶原点矩, 记为*即vk=E(Xk)=k=l,2,.2对于正整数k,称随机变虽X与E(X)差的k次幕的数学期望为X的 k阶中心矩，记为，即k=l,2, .切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X)=小方差D (X) =02,则对于任 意正数有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 的一种估计，它在理论上有重要意义。期 望的性 质(1)E(CC(2)E(CX)=CE(X)(3

17、)E(X+YE(X)+E(Y),(4)E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X和Y不相关。(3)方 差的性 质(1)D(C)=O： E(C)=C(2)D(aX)=a2D(X)： E(aX)=aE(X)(3)D(aXb)= a2D(X): E(aX+b)=aE(X)*b(4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D(XY)=D(X)+D(Y),充分条件：X 和 Y 独立：充要条件：X和Y不相关。D(X=Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常 见分布 的期望 和方差期望方差0

18、-1分布P二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2n分布0(n2)(5)二 维随机 变量的 数字特 征期望函数的期望方耒协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差 或相关矩，记为，即与记号相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为与相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X) 0、D(Y)0,则称 为X与Y的相关系数，记作(有时可简记为)。|b当|=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的：；2cov(X.Y)=0;3E(XY)=E(X)E(Y);4D(X+Y)=D(X)W(Y);D(X-Y)=D

19、(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,如果有存在，则称之为X与Y的k+1阶混合 原点矩，记为：k+1阶混合中心矩记为：(6)协 方差的 性质(I)cov (X, Y)=cov (Y, X);(II)cov(aX.bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(Xl+X2, Y)=cov(Xl ,Y)十 cov(X2,Y)：(iv)cov(X.Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)独 立和不 相关(I)若随机变疑X与Y相互独立，则：反之不真。(II)若(X, Y)N (人则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限立理(1)大数总律切比雪 夫大数 宦律

20、设随机变量XI, X2,.相互独立，均具有有限方差，且彼同 一常数C所界：D (Xi) 2,，nt .o 二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理统 计的基本概 念总体在数理统汁中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品 数称为样本容戢，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本 看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变疑，这样 的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示 n个随

21、机变量（样本）：在具体的一次抽取之后，表示11个具体 的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统 计量设为总体的一个样本，称（）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知 参数，则称（）为一个统计呈:。常见统汁量及 其性质样本均值样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩样本k阶中心矩9,其中，为二阶中心矩。（2）正态总 体下的四大 分布正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中t（n-l）表示自由度为n-1的t分布。设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中表示自由度为1的分布。F分布设为来自正态总体的一个样本，而为来自正

22、态总体的一个 样本，则样本函数其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。(3)正态总 体下分布的 性质与独立。第七章参数估计(1)点估 计矩估计设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原 点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，英样 本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估il鱼时，总体矩等于相应的样本矩的 原则建立方程，即有由上而的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数()的矩估计 量。若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。极大似然 估计当总体X为连续型随机变量时，设英分布密度为,苴中为未知参数C 又设为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln

23、.当总体X为离型随机变疑时，设英分布律为，则称为样本的似然函数。若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相 应的统计量称为最大似然估计量。若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。(2)估计 虽:的评选 标准无偏性设为未知参数的估计疑。若E ()=，则称为的无偏估计量。E ( ) =E (X), E (S2) =D (X)有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有则称为的一致估计量(或相合估计量)。若为的无偏估计，且则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致

24、估计量。(3)区间 估计置信区间 和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个 统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度(或置信水平单正态总设为总体的一个样本，在宜信度为下.我们来确泄的置信区间O体的期望具体步骤如下：和方差的(1)选择样本函数；区间估计(II)由置信度，查表找分位数：(III)导出宜信区间。已知方差，估计均值(1)选择样本函数(11)查表找分位数(iii)导出置信区间未知方差，估计均值(1)选择样本函数(五)査表找分位数(111)导出置信区间方差的区间估计(1)选择样本函数(ii)查表找分位数(诳)导出的置信区间第八章假设检验基本思想假设检验的统计思想是，槪率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会 发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假立H0是成立的。如果根据这个假 左导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们 拒绝接受H0：如果由