数值分析作业思考题.docx

1、数值分析作业思考题数值分析思考题11、 讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。2、 相对误差在什么情况下可以用下式代替？e x xerX X3、 查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。4、 取-2 1.41，计算 迁 J，下列方法中哪种最好？为什么？（1） 3 2.2 （ 2）7 5 2 2 ,（ 3） ，（4） ,（ 5） 99 7.23 22 42 1数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。 求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法一一指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可 求得方程组的精确解的方法，因此也称为

2、精确法。 当系数矩阵是方的、 稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时， Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关， 对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。数值计算方法上机题目11、实验1.病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感， 反之属于好问题。希望读者通过本实验

3、对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方 程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决， 当然一般要付出 一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等） 。问题提出：考虑一个高次的代数多项式20p(x) (x 1)( x 2)(x 20) (x k) (E1-1)k 1显然该多项式的全部根为 l, 2,，20,共计20个，且每个根都是单重的(也称为简单的)。现考虑该多项式方程的一个扰动p(x)19 x0(E1-2)其中 是一个非常小的数。这相当于是对(E1-1)19中x的系数作一个小的扰动。我们希望比较(E1

4、-1)和(E1-2)根的差别，从而分析方程(E1-1)的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab函数：roots”和poly”，输入函数u = roots (a)其中若变量a存储n 1维的向量，则该函数的输出 u为一个n维的向量。设 a的元素依次为a1,a2,，an 1，则输出u的各分量是多项式方程n n 1 小a1x a2x .anx an 1 0的全部根，而函数b=poly(v)的输出b是一个n+ 1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。 可见“ roots”和“ Poly”是两个互逆的运算函数.ve=zeros(1,21); ve(2)=ess

5、;roots(poly(1:20)+ve)上述简单的Matlab程序便得到(E1-2)的全部根，程序中的“ess”即是(E1-2)中的 。 实验要求：(1) 选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项 的系数 很小，我们自然感觉(E1-1)和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意 料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？(2) 将方程(E1-2)中的扰动项改成 x18或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？(3) 请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程 (E1-2)写成展开的形 式，“ 、 20 19 小p(x, ) x x .

6、0同时将方程的解x看成是系数 的函数，考察方程的某个解关于 的扰动是否敏感，与研究它关于 的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于 的变化更敏感？2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格( Runge)现象问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。 显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，实验内容：考虑区间1,1的一个等距划分，分点为其中的h(x)，i 0,1,2,., n是n次拉格朗日插值基函数。实验要求：(I)选择不断增大的分点数目 n 2,3,.，画出原函数f(x)及插值多项式函数 Ln(x)在1,1上的图像，比较并分析实验结果。(2) 选择其他的函数，例如

7、定义在区间 -5，5上的函数xh(x) 4, g (x) arcta nx1 x重复上述的实验看其结果如何。(3)区间a,b上切比雪夫点的定义为以X1 , X2 ,., Xn 1为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。3、实验3。样条插值的收敛性并与拉格朗目多项式插值比较。(2)样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某 汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：Xk012345678910yk0.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.29yk0.80.2(3)计算此实验的B-样条插值(选做

8、)。数值计算方法(二)1、 利用Newt on方法和Muller (抛物线)方法计算下列方程f(x) 2 x ex 2cos(x) 6 0在区间1,3上的实根，要求精度为 10 5，并比较迭代次数2、 用Gauss列主元消去法求解下列方程组6224X10128410X21031333X33964218X4163、用改进的平方根(A LDLt分解)法求解下列方程组40602X11201302X26631926X33600255X42226516X521实验一、实验名称：矩阵的LU分解、实验目的：用不选主兀的LU分解和列主元LU分解求解线性方程组Ax=b,并比较这两种方法三、实验内容与要求（1）用

9、所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元 LU分解编成通用的子程序， 然后用编写的程序求解下面的84阶方程组/ (i 11 7S 6 1158 6 1+158 61+:如1586 1阳158 6 /斶丿 14/将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对 Gauss消去法的看法。（2 ）写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组实验二一、 实验名称：实对称正定矩阵的 A的Cholesky分解二、 实验目的：用平方根法和改进的平方根方法求解线性方程组 Ax=b.三、 实验内容与要求用所熟悉的计算机语言将 Cholesky分解和改进的 Cholesky分解编成通用的子程序，然

10、后用编写的程序求解对称正定方程组 Ax=b，其中（1） b随机的选取，系数矩阵为 100阶矩阵1() 1I 10 I10 1i in丿(2)系数矩阵为40阶Hilbert矩阵，即系数矩阵 A的第i行第j列元素为(3)用实验一的程序求解这两个方程组，并比较所有的计算结果，然后评价各个方法的优劣。实验三实验名称：直接法的时间复杂性试验。实验目的：分别用三种不同方法求解线性方程组 Ax=b，不同工作量得出不同时间。实验内容与要求：生成方程组 Ax b中矩阵A和右端项b，分别用x A b，x inv(A)* b和三角分解法计算，并分别记录所花费的 CPU时间，进行分析比较。实验要求：(1) 取n 30

11、0，随机生成A的一条主对角线元素和二条次对角线元素，使 A为严格 对角占优的三对角阵和 b;其中三条对角线元素分别用三个一维数组存储；(2)用Matlab语言自编M文件分别用x A b，x inv(A)* b和追赶法计算这三对角方程组；并分别记录所花费的 CPU时间；(3)分析结果，得出你的结论。数值分析思考题41、 Gauss消去法和LU三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工 作量为多少？平方根方法的工作量为多少？2、 求解一个线性方程的LU分解法什么条件下可以保障成功？选主元 的目的是什么？分别用列主元和全主元 Gauss消去法求解下列方程 组：12x,18x3x23x2X23x3X3X

12、315153、用平方根方法（Cholesky分解法）求解下列方程组，并用紧凑格 式存储。16 4 8 x, 44 5 4 x2 38 4 22 x3 104、已知线性方程组2.0002 1.9998 x, 41.9998 2.0002 x2 4（1） 求系数矩阵的逆A1和条件数cond（A）；4 4 T（2） 若方程组右端有微小扰动 b 2 10 , 2 10 ，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。数值分析思考题51、 插值与拟合的相同点和不同点分别是什么？2、 写出n次多项式拟合的一般形式，奇函数和偶函数的多项式拟合 的一般形式。3、 详述你所知道的矩阵分解，

13、它们的意义如何？4、 超定（矛盾）线性方程组的最小二乘解有哪些情况？说明它与广 义逆的关系。5、 给出各种正交化方法的优劣比较。6、 用Householder变换求解下列线性方程组的极小最小二乘解112 4 4x1 2 3 5 5X21 3 4 6 6%1 4 5 7 7X41 5 6 8 4 9实验一1.根据Matlab语言特点，描述 Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2.编写Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和 SOR迭代法的 M文件。20 203.给定A R 为五对角矩阵13213211421174113241311724113142711

14、342(1)选取不同的初始向量 x(0)及右端面项向量b,给定迭代误差要求，分别用编写的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。用编写的SOR迭代法程序，对于 所选取的初始向量 x(0)及右端面项向量b进行求解, 松驰系数3取13 2的不同值，在 x(k) x(k 1) 10 5时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。实验二题目：多项式最小二乘法摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过 实验的观察和测量给出离散的一些点， 再来求出具体的函数解析式。又因为测量

15、误差的存在，实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。 最小二乘法是求解这一问题的很好的方法，本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。数学原理：对于给定的测量数据(Xi,fi)(i=1,2,，n)，设函数分布为my(x) aj j(x)o特别的，取j(X)为多项式j (X) Xj (j=0, 1,，m)则根据最小二乘法原理，可以构造泛函mf(x) 3j j(x)j 0程序设计：编写求解多项式拟合的 Matlab函数子程序 实验要求：用最小二乘法处理下面的实验数据.Xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出f (x)的近似分布图分别采用一次，二次

16、、五次和偶数次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项 式，并分别作出它们的曲线图。实验三实验名称：非线性方程组数值求解的 Newt on类方法试验。实验目的：用Newt on类方法求解线性方程组 F（x）=0,理解其解的复杂性、 初始点选择策略、 减少算法工作量的方法等。实验内容与要求：分别用Newt on法用Broyde n秩1校正法求解下面非线性方程组3x1 cos（x2x3） 0.5 02 2xi 81（X2 0.1） Sinx3 1.06 0e 沁 20x3 g（10 3） 0（1） 写出MATLAB源代码；（2） 给出迭代五次以上的结果；（3） 尝试不同的初值，如可取 （0.1,0.1, 0.1）；（4） 计算两种方法的用时。数值分析思考题61、 数值计算中迭代法与直接法的区别是什么？2、 详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。3、 详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。4、 举例说明解线性方程组的 SOR方法的最佳松弛因子与何种因素有 关？5、 指出解非线性方程组的 Newt on法的主要工作量所在。分别用 Newton法和Broyden秩1校正方法求解如下方程组在 1, 1, 1 T点附 近的根：212% x2 4x3 7 0,2% 10x2 x3 11 0,3x2 10x3 8 0.